MathCAD. Решение задач математического анализа: интегрирование

Московский госурственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
 
Ф.Х. Ахметова, П.А. Власов 
 
MathCAD. 
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ  
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА: 
ИНТЕГРИРОВАНИЕ 
 
 
Методические указания  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 8 

УДК 681.332.3(076) 
ББК  22.193  
          А954 
 
 
Рецензент А.В. Котович 
 
А954 
    Ахметова Ф.Х., Власов П.А. 
MathCAD. Решение задач математического анализа: 
интегрирование:  Метод. указания. – М.: Изд-во МГТУ  
им. Н.Э. Баумана, 2008.  –  36 с.: ил. 
Рассмотрены основные понятия, свойства интегралов и методы их вычисления. Дано подробное руководство по интегрированию в среде MathCAD. 
Для студентов первого курса МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
          
УДК 681.332.3(076)  
                                                                                               ББК 22.193 
 
 
 
 
Учебное  издание 
 
Ахметова Фаина Харисовна  
Власов Павел Александрович 
 
MathCAD. Решение задач математического анализа:  
интегрирование 
 
 
Редактор А.В. Сахарова 
Корректор С.А. Виноградова 
Компьютерная верстка О.В. Беляевой 
 
Подписано в печать  12.02.2008.  Формат 60×84/16. Бумага офсетная.  
Усл. печ. л.  2,09. Уч.-изд. л.  1,95. Тираж  500 экз.  
Изд. № 172. Заказ   
 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5 
 
          
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008          

Данные методические указания предназначены для студентов 
первого курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих программную 
среду компьютерной алгебры – MathCAD, позволяющую выполнять на компьютере разнообразные математические и технические 
расчеты. В отличие от других систем компьютерной алгебры, 
MathCAD – это не язык программирования, а средство работы с 
документами, которое позволяет проводить вычисления непосредственно в документе. 
Работа состоит из четырех частей. В первых трех частях рассматриваются основные понятия, свойства, методы вычислений 
неопределенного и определенного интегралов. В четвертой части 
разобраны задачи интегрирования в среде MathCAD. Рассмотрены 
приемы работы и операции вычисления неопределенного и определенного интегралов в MathCAD.  
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 
Занимаясь дифференцированием функций, мы ставим перед 
собой следующую задачу: по данной функции найти ее производную. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти 
функцию, зная ее производную. 
Определение. Функция 
( )
F x  называется первообразной для 
функции 
( )
f x на интервале (
)
,
,
a b
 если для 
)
( ,
x
a b
∀∈
 выполняется равенство 
( )
( )
F x
f x
′
=
 или 
( )
( )
.
dF x
f x dx
=
 
Замечание. Определение первообразной справедливо и для 
интервалов (
)
,
,
−∞+ ∞
 (
)
,
,
b
−∞
 (
)
,
.
a + ∞
 
Чтобы лучше понять соотношение между первообразной 
( )
F x  
и самой функцией 
( )
f x  рассмотрим пример. 
Пример. Найти первообразную 
( )
F x для функции 
( )
.
f x
x
=
 Из 
определения следует 
 
3

( )
( ).
2
x
F x
x
f x
′
⎛
⎞
′
=
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
 
Очевидно, что первообразными будут также любые функции 
2
( )
,
2
x
F x
C
=
+
 
где C – постоянная. 
Основные свойства первообразной 
1. Если 
)
(x
F
 – первообразная функции 
)
(x
f
 на интервале 
)
( ,
,
a b
 то 
( )
F x
C
+
 также будет первообразной для функции 
( )
f x  
на 
)
( ,
,
a b
 где С – постоянная. 
2. Если 
)
(x
Φ
 дифференцируема на интервале 
)
( ,
a b
и производная 
( )
0
x
′
Φ
=
 для 
)
( ,
,
x
a b
∀∈
 то функция 
( )
x
Φ
 – постоянная 
на 
)
( ,
.
a b
 
3. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от 
друга только постоянным слагаемым. 
Определение. Если 
( )
F x  – одна из первообразных для функции 
( ),
f x  то множество всех первообразных 
( )
F x
C
+
 для 
( )
f x называется неопределенным интегралом и обозначается как 
( )
( )
,
f x dx
F x
C
=
+
∫
 
где
( )
f x  – подынтегральная функция; 
( )
f x dx – подынтегральное 
выражение; x  – переменная интегрирования, ∫
– знак неопределенного интеграла. 
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой 
семейство «параллельных» кривых 
( )
.
y
F x
C
=
+
 График каж- 
дой первообразной (кривой) называется интегральной кривой  
(см. рисунок). 
 
4