Безусловные и условные экстремумы функций нескольких переменных

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»
Н.М. Меженная, О.В. Пугачев
Безусловные и условные  
экстремумы функций  
нескольких переменных 
Учебное пособие

УДК 517.272
ББК 22.161.1
        М43
Издание доступно в электронном виде по адресу 
https://bmstu.press/catalog/item/6485/
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Прикладная математика»
Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
Меженная, Н. М.
Безусловные и условные экстремумы функций нескольких 
М43
переменных : учебное пособие / Н. М. Меженная, О. В. Пуга- 
чев. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2020.  — 
56, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-5299-6
Издание содержит основные теоретические сведения из 
следующих разделов анализа функций нескольких переменных: 
безусловные и условные экстремумы, дифференцирование неявных функций, введение в теорию гладких поверхностей. По 
каждой теме приведены необходимые теоремы с доказательствами и разобраны примеры решения задач. В конце каждой главы 
даны задания для самопроверки.
Для студентов первого курса, обучающихся на факультете 
«Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана по всем 
специальностям. Может быть использовано студентами других 
факультетов.
УДК 517.272
ББК 22.161.1
©	 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
©	 Оформление. Издательство 
	
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
ISBN 978-5-7038-5299-6

Предисловие
Издание предназначено для студентов первого курса факультета «Фундаментальные науки», изучающих модуль «Функции 
нескольких переменных» дисциплины «Математический анализ». 
Пособие дополняет курс лекций, помогая усвоить теоретический 
материал, а также содержит разнообразные примеры решения задач, более подробные, чем те, которые можно дать на лекциях.
Цель пособия — представление лекционного материала, включающего аналитические методы исследования функции нескольких 
переменных на безусловный экстремум и условный экстремум 
 
(с одним или несколькими условиями) и введение в теорию гладких поверхностей. 
Пособие состоит из четырех глав, разделенных на параграфы. 
В начале каждой главы приведена краткая аннотация, в которой 
даны сведения об основных изучаемых понятиях, и ключевые 
слова. В конце каждой главы представлены вопросы и задачи для 
самостоятельного решения. 
В каждой главе пособия сформулированы и доказаны теоремы, 
относящиеся к данной теме: в первой главе — необходимое условие безусловного экстремума функции нескольких переменных 
(ФНП) и его достаточное условие для дважды дифференцируемой 
функции; во второй — теоремы о дифференцируемости функций, 
заданных неявно; в третьей — теоремы о различных способах представления гладких поверхностей в пространстве произвольной 
размерности и о строении касательных и нормальных плоскостей 
к гладким поверхностям; в четвертой — необходимое условие условного экстремума функции нескольких переменных (при одном 
условии или системе условий) и его достаточное условие в случае 
дважды дифференцируемой функции. Каждая теорема проиллюстрирована одной или несколькими задачами с подробным решением и рисунками.
Для освоения материала студентам необходимы базовые знания 
математического анализа, аналитической геометрии и линейной 
алгебры.
	
3

После изучения материала пособия студенты узнают методы 
решения задач на безусловные и условные экстремумы, а также 
способы задания гладких поверхностей и построения касательных 
плоскостей к ним; сумеют применять их при решении задач на 
экстремумы; приобретут навыки использования базовых понятий, 
теорем и основанных на них методов решения практических задач.
Вводимые понятия выделены жирным шрифтом. Доказательства 
теорем начинаются словом «Доказательство» и заканчиваются 
символом □. Решения типовых задач начинаются символом ► и 
заканчиваются символом ◄.

Принятые обозначения
A a
an
( ,...,
)
1
	— точка пространства и ее координаты
D f
( ) 	
— область определения функции f
F U
V
:
 


	 — функция на множестве U со значениями на множестве V
g
gm
1,...,
	
— координатные функции векторнозначной функции G
H f X
(
)	
— матрица Гессе функции f в точке X

i j k
, ,
	
— ортонормированный базис трехмерного пространства
J
A
F ( )	
— матрица Якоби функции F в точке A
L(
,...,
)
x
xn
1
	— функция Лагранжа
N A 	
— нормальная плоскость к поверхности в точке A 
O	
— начало координат в пространстве
OP
 

	
— радиус-вектор точки P
Oxi 	
— i-я координатная ось
n 	
— n-мерное евклидово пространство с декартовыми
координатами
TA 	
— касательная плоскость к поверхности в точке A
U
A
ε( )	
— ε -окрестность точки A

( )	
— проколотая ε -окрестность точки A
U
A
ε
u x
xn
(
,...,
)
1
	 — функция-условие 
u x
x
u
x
x
n
k
n
1
1
1
(
,...,
),...,
(
,...,
)  — набор условий

v 	
— вектор-столбец с координатами v
vn
1,...,

v т 	
— транспонированный вектор, вектор-строка
|
|

v 	
— длина вектора 
v

v w
⋅
	
— скалярное произведение векторов 
v  и 
w


v
w
×
	
— векторное произведение векторов 
v  и 
w
∇f A
( )	
— градиент функции f в точке A
ρ(
,
)
X Π 	
— расстояние от точки X до плоскости Π
	
5

Введение
Инженеру в своей деятельности постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять оптимальное решение. Огромное число подобных проблем возникает в технике и в экономике. 
При этом часто оказывается полезным прибегнуть к математичес- 
ким методам.
В математике исследование задач на максимум и минимум 
началось очень давно — более двух тысяч лет назад. Примеры 
классических задач такого типа: 
•
• вписать в треугольник параллелограмм наибольшей площади так, чтобы угол параллелограмма совпадал с заданным углом 
треугольника;
•
• задача Кеплера о бочках: найти цилиндр максимального 
объема с заданной длиной диагонали;
•
• задача Штейнера: построить минимальный по длине связный 
граф, соединяющий несколько заданных точек (минимальная 
транспортная сеть). 
Долгое время к решению задач на отыскание экстремумов не 
было каких-либо единых подходов. Лишь примерно четыре века 
назад, в эпоху формирования математического анализа, были 
созданы первые общие методы решения и исследования задач на 
экстремум.
Первым из них был принцип Ферма (XVII в.) — хорошо известное из стандартного курса математического анализа правило: 
если A — точка экстремума функции F, то в этой точке 
′
=
F
A
( )
,
 
 0  
т. е. в точке экстремума главная линейная часть приращения равна нулю. Это утверждение справедливо не только для функций 
одного переменного, но и для функций многих переменных. Второй метод — это метод множителей Лагранжа (XVIII в.). Он состоит в том, что задача поиска условного экстремума функции 
F x
( )  при условии u x
( ) = 0  сводится к задаче поиска экстремума 
функции Лагранжа L( )
x = F x
u x
( )
( ),
−λ
 где λ  — новая переменная, 
называемая множителем Лагранжа. Если условие u x
( ) — векторнозначная функция, то λ  также является вектором.
6