Линейные регрессионные модели

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»
Г.Е. Маркелов
Линейные регрессионные 
модели
Учебно-методическое пособие

УДК 519.2
ББК 22.172
        М26
Издание доступно в электронном виде по адресу 
ebooks.bmstu.press/catalog/93/book2027.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Прикладная математика»
Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
М26
Маркелов, Г. Е.
Линейные регрессионные модели : учебно-методическое 
пособие / Г. Е. Маркелов. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2019. — 40, [4] c. : ил.
ISBN 978-5-7038-5157-9
Издание содержит методические указания к выполнению 
домашнего задания по дисциплине «Математическое моделирование».
Изложен подход к решению одной из практически важных 
задач — задачи построения линейной регрессионной модели 
по экспериментальным данным. Приведены необходимые 
теоретические сведения и данные для установления экспериментальной зависимости отклика от факторов.
Для студентов высших технических учебных заведений.
УДК 519.2
ББК 22.172
©	 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019
©	 Оформление. Издательство 
	
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019
ISBN 978-5-7038-5157-9

Предисловие
Издание предназначено для самостоятельной работы студентов, 
обучающихся по программам специалитета и магистратуры и выполняющих домашнее задание по дисциплине «Математическое 
моделирование».
Учебно-методическое пособие содержит подробное описание 
подхода к решению задачи построения линейной регрессионной 
модели и включает: введение, четыре раздела, заключение, список 
рекомендуемой литературы и три приложения.
В разделе 1 осуществлена постановка задачи регрессионного 
анализа и приведены условия, при выполнении которых может 
быть осуществлен этот анализ. Вопросы определения точечных 
оценок параметров регрессионной модели рассмотрены в разделе  2. В этом разделе изложен способ нахождения точечных оценок 
методом наименьших квадратов, сформулированы свойства таких 
оценок. В разделе 3 приведены основные этапы статистического 
анализа. Раздел 4 посвящен решению типовой задачи домашнего 
задания.
Варианты домашнего задания даны в приложении А. Требования к результатам и форме представления домашнего задания 
сформулированы в приложении Б. Критерии оценки домашнего 
задания приведены в приложении В.
Целью данного учебно-методического пособия является повышение эффективности самостоятельной работы студентов при 
выполнении домашнего задания.
Для успешной работы с изложенным материалом необходимо 
предварительное освоение дисциплины «Основы теории вероятностей и математической статистики».
Следование методическим указаниям, приведенным в пособии, 
будет способствовать приобретению умений и навыков, позволяющих рационально использовать возможности математического 
моделирования. В результате обучения студенты должны уметь 
разрабатывать математические модели, осуществлять их анализ, 
обрабатывать и представлять полученные результаты, иметь навыки построения математических моделей, владеть способами 
анализа математических моделей, методикой обработки и представления полученных результатов.

Основные обозначения
A −1
—
матрица, обратная к матрице A
A т
—
матрица, транспонированная к матрице A
bi, b(i)
—
точечные оценки коэффициентов регрессии 
bi и b(i) соответственно
D[b]
—
дисперсия случайной величины b
e
—
случайная величина
e1, e2, ..., es
—
входные неконтролируемые переменные
e
N

µ σ
,
(
)
—
случайная величина e имеет нормальное распределение с параметрами μ и σ
F0, F1, ..., Fd
—
базисные функции
fij
—
значение j-й базисной функции в i-м опыте
M[b]
—
математическое ожидание случайной величины b
x1, x2, ..., xn
—
факторы (входные контролируемые переменные)
xij
—
значение j-го фактора в i-м опыте
y
—
отклик (выходной параметр)
yi
—
наблюдаемое значение отклика в i-м опыте

yi
—
значение отклика в i-м опыте, предсказанное 
с помощью уравнения регрессии
b0, b1, ..., bd
—
коэффициенты регрессии
b(0), b(1), ..., b(d) —
значимые коэффициенты регрессии

Введение
При решении многих практически важных задач в различных 
областях деятельности часто возникает необходимость в построении 
математической модели объекта исследования. Под объектом исследования понимают носитель свойств и качеств, подлежащих 
изучению. В технике объектом исследования может быть техничес- 
кое устройство, его агрегат или узел, система технических устройств, 
а также процесс, явление или некоторая ситуация в каком-либо 
техническом устройстве или в системе устройств.
Иногда объект исследования можно условно представить в виде 
схемы (рис. В1), которая содержит определенное число входов 
 
и выходов. При этом выделяют входные контролируемые (или 
измеряемые) переменные x1, x2, ..., xn, входные неконтролируемые 
(или неизмеряемые) переменные e1, e2, ..., es и выходные параметры 
y1, y2, ..., ym — характеристики исследуемых свойств и качеств 
 
объекта.
Рис. В1. Структурная схема объекта исследования:
1 — объект исследования; 2 — входные контролируемые переменные; 3 — входные неконтролируемые переменные; 4 — 
выходные параметры
Переменные x1, x2, ..., xn принято называть факторами. 
 
Пространство контролируемых переменных образует факторное 
пространство.
Влияние переменных e1, e2, ..., es на выходные параметры может 
быть двояким. Если мысленно представить, что значения парамет- 
	
5