Интерполяционные многочлены

Федеральное государственное бюджетное 
образовательное учреждение высшего образования 
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана 
(национальный исследовательский университет)»
Р.Х. Хасаншин, П.А. Ивлиев
Интерполяционные многочлены
Учебно-методическое пособие

УДК 519.6
ББК 22.144
 
Х24
Издание доступно в электронном виде по адресу
ebooks.bmstu.press/catalog/70/book1882.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Физика»
Рекомендовано Научно-методическим советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия 
Хасаншин, Р. Х.
Интерполяционные многочлены : учебно-методическое 
Х24
пособие / Р. Х. Хасаншин, П. А. Ивлиев. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 44, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4957-6
Издание предназначено в помощь студентам, выполняющим лабораторную работу № 1 по курсу «Вычислительная физика» (модуль 1). 
Показаны способы построения интерполяционных многочленов 
Лагранжа и Ньютона с помощью конечных и разделенных разностей, 
проанализирована их погрешность, указаны ее источники и методы 
минимизации. Интерполяционные многочлены рассмотрены как самостоятельные объекты для аппроксимации неизвестной аналитической 
функции по ее значениям в узловых точках и как объекты для построения формул численного дифференцирования.
Для студентов 4-го курса бакалавриата, обучающихся по специальности 16.03.01 «Техническая физика».
УДК 519.6
ББК 22.144
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4957-6 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Предисловие
Существование современной науки немыслимо в отрыве от 
численных расчетов. Зачастую, имея информацию о функции 
в  некоторых отсчетных точках, требуется получить ее значение 
в любой промежуточной точке. Тогда на помощь приходят интерполяционные методы. 
Цель лабораторной работы  — формирование компетенций 
в области построения формул численного интерполирования методами Лагранжа и Ньютона, доступных для реализации на ЭВМ, 
а также навыков оптимального выбора метода решения математической задачи, проведения расчета и прогнозирования основных 
параметров математической модели и погрешности полиномиальной интерполяции выбранным методом. 
В настоящем пособии показано, как методами конечных и 
разделенных разностей построить интерполяционные многочлены 
в форме Лагранжа и в форме Ньютона, как оценить погрешность 
полиномиальной аппроксимации. Помимо этого продемонстрировано применение интерполяционных многочленов для решения задач численного дифференцирования и интегрирования, для 
построения многошаговых методов Адамса.
В рамках курса «Вычислительная физика» интерполяционные 
многочлены Лагранжа и Ньютона изучают в целях их дальнейшего использования при разработке разностных схем численного 
решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. 
В ходе выполнения лабораторной работы студенты приобретают навыки анализа и обработки результатов физических экспериментов, построения математических моделей, обработки и 
анализа результатов расчетов в рамках выбранной модели, решения математических задач с помощью ЭВМ. Полученные знания 
и умения могут быть использованы студентами как при изучении 
смежных дисциплин, так и при решении прикладных задач в их 
профессиональной деятельности.
3

Введение
Современные расчеты трудно представить без интерполированных данных. В общем случае под интерполированием понимают 
приближенное или точное нахождение какой-либо величины по 
известным отдельным значениям этой же или других величин, 
связанных с ней.
Одним из способов решения задачи приближения функции 
является применение метода Лагранжа. Основная идея этого 
метода состоит в построении такого многочлена влияния, который принимает единичное значение в узлах и нулевое во всех 
остальных точках.
Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа удобен, 
когда значение функции меняется при неизменных узлах интерполяции, что имеет место в экспериментальных исследованиях.
Полином Лагранжа в явном виде содержит значения функций в 
узловых точках, и это удобно при построении формул численного 
интегрирования.
Альтернативным способом решения задачи приближения 
функции является применение метода Ньютона. Этот метод позволяет выразить интерполяционный многочлен через разделенные 
или конечные разности, построенные по значениям функции в 
узлах интерполяции. 
Перед построением интерполяционных многочленов обратимся к теории.

1. Необходимые сведения из математического анализа
Напомним некоторые определения и теоремы дифференциального исчисления. Для этого рассмотрим функцию f (x), заданную 
на множестве X, f: X ∈ R и точку a ∈ X. 
Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке a, 
если для любой окрестности V
f a
( )
(
)  существует окрестность 
U a
X
( ) ⊂
,  такая, что f U a
V
f a
( )
(
) ⊂
(
)
( ) , т. е. для любого числа 
x
U a
∈
( )  f х
V
f x
( )
( ) .
∈
(
)
Определение 2 (эквивалентное определению 1). Функция f (x) называется непрерывной в точке a, если для любого числа ε > 0  существует окрестность δ ε
( )
,
> 0  такая, что для любого x
X
∈
,  
x
a
−
< δ  выполняется неравенство f x
f a
( )
( )
.
−
< ε  
Непрерывность функции f (x) в точке a обозначают f x
C a
( )
( ).
∈
Определение 3. Функция f (x), заданная на отрезке [a, b], 

непрерывна на нем, если она непрерывна в каждой точке x ∈ [a, b].
Непрерывность функции f (x) на отрезке [a, b] обозначают 
f x
C a b
( )
[ , ].
∈
Приведем несколько утверждений относительно свойств 
непрерывных функций. 
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на 
этом отрезке.
Теорема 2. Функция, непрерывная на отрезке, достигает своей 
точной верхней (нижней) грани, т. е. существует число x1 ∈ [a, b] 
(x2 ∈ [a, b]), такое, что f x
f x
M
x
a b
(
)
( )
[ , ]
1 =
=
∈
Sup
 ( (
)
( )
).
[ , ]
f x
f x
m
x
a b
2 =
=
∈
Inf
Теорема 3 (о промежуточных значениях функции, непрерывной 
на отрезке). Если функция f (x) ∈  C[a, b], то для любого числа 
( )) найдется число e ∈ [a, b], 
=
=
E
m M
∈[ ,
] (
( ),
[ , ]
M
f x
x
a b
∈
Sup
 m
f x
x
a b
∈
Inf
[ , ]
такое, что f e
E
( )
.
=
5