Вычисление вероятностей событий, связанных с пуассоновским случайным процессом

Федеральное государственное бюджетное 

образовательное учреждение высшего образования 

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана 

(национальный исследовательский университет)»
Н.М. Меженная
Вычисление вероятностей событий,
связанных с пуассоновским
случайным процессом
Методические указания
к выполнению домашнего задания

УДК 519.2
ББК 22.171
М43
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/93/book1774.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Прикладная математика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
 
Меженная, Н. М.
М43 
 
Вычисление вероятностей событий, связанных с пуассоновским случайным процессом. Методические указания к выполнению домашнего задания / Н. М. Меженная. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 43, [5] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4844-9
Издание содержит методические указания к выполнению домашнего задания по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов», предусмотренного учебным 
планом МГТУ им. Н.Э. Баумана. Приведены необходимые сведения 
из теории вероятностей и теории случайных процессов. Представлены 
способы вычисления вероятностей для случайных событий и распределений случайных величин, обусловленных моментами первого попадания пуассоновского случайного процесса в заданные множества, а также 
способы моделирования рассмотренных случайных величин в системе 
Wolfram Mathematica.
Для студентов всех специальностей факультета «Фундаментальные 
науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 519.2
ББК 22.171
©	МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
©	Оформление. Издательство
	 МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2018
ISBN 978-5-7038-4844-9

Предисловие
Настоящее пособие предназначено для самостоятельной работы студентов старших курсов, выполняющих домашнее задание по 
теории случайных процессов при изучении курса «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов». 
В пособии рассмотрены способы вычисления вероятностей для 
случайных событий и распределений случайных величин, обусловленных моментами первого попадания пуассоновского случайного 
процесса в заданные множества. При решении подобных задач необходимы сведения о видах распределений на прямой, в частности 
о пуассоновском и экспоненциальном распределении (разд. 1, 2),
а также базовые сведения из теории случайных процессов, относящиеся к свойствам рассматриваемого пуассоновского процесса 
(разд. 3). Разд. 4 и 5 посвящены вычислению вероятностей событий, 
связанных с превышением пуассоновским процессом заданного 
уровня и попаданием в заданное множество соответственно.
В приложении 1 приведены типовые варианты домашнего задания, в приложении 2 — требования к результатам и форме представления домашнего задания и критерии его оценивания.
Цель пособия — представление аналитического и компьютерного методов вычисления вероятностей событий, определяемых 
моментами первого попадания пуассоновского случайного процесса в заданные множества.
Для усвоения материала студентам необходимы базовые знания таких курсов, как математический анализ, алгебра, функциональный анализ и теория вероятностей, а также владение навыками программирования в среде Wolfram Mathematica.
После изучения материала пособия студенты должны знать 
основные методы описания пуассоновского случайного процесса 
и его характеристик, уметь применять их при решении задач, в 
частности при вычислении законов распределения моментов первого попадания пуассоновского процесса в заданное множество, 
а также приобрести навыки применения основных понятий теории 
случайных процессов при решении практических задач. 
 
3

Основные обозначения
 
 +  — множество целых неотрицательных чисел
 
  
— множество действительных чисел
	
[ ]
x  — целая часть числа x
	
n!  — факториал числа n  
	
Re z  — действительная часть числа z
[ , ] [ , ]
a b
c d
×
 — декартово произведение отрезков [ , ]
a b  и [ , ]
c d
	
Γ( )
z  — гамма-функция Эйлера
Exp( )
λ  — экспоненциальное распределение с параметром λ
Pois( )
λ  — распределение Пуассона с параметром λ
	
π t  
— пуассоновский случайный процесс
 
P  
— вероятностная мера на прямой
	
P{ }
A  
— вероятность события A
P{ / }
A B  — условная вероятность события A  при условии   
 
 
события B
F t
t
ξ
ξ
( )
{
}
=
<
P
 — функция распределения случайной величины ξ
	
Eξ  — математическое ожидание случайной величины ξ
	
Dξ  — дисперсия случайной величины ξ
	 K
t s
ξ( , ) — ковариационная функция процесса ξt
∆F x
F x
F x
( )
(
)
( )
=
+
−
0
 — величина скачка функции F x
( )  
 
 
 
в точке x
F(
)
±∞ — значение предела функции F x
( )  на ±∞

Общие положения
Домашнее задание по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» включает несколько задач на вычисление характеристик распределения 
момента первого попадания пуассоновского случайного процесса 
в заданные множества; задача 1, в частности, формулируется следующим образом. 
Пусть πt — одномерный пуассоновский процесс с заданной интенсивностью λ. Требуется:
1) найти функцию распределения случайной величины τ, равной моменту первого попадания процесса πt в заданное множество G. Построить ее график и представить в виде смеси функций 
распределения дискретного и абсолютно непрерывного типов;
2) смоделировать 100 траекторий пуассоновского процесса и 
по ним построить оценки для интенсивности λ функции распределения случайной величины τ. Привести графики.
Решение этой задачи способствует формированию необходимых знаний об основных свойствах пуассоновского случайного 
процесса, умения вычислять вероятностные и статистические характеристики случайных величин как теоретически, так и с использованием программных комплексов, а также навыков анализа 
и сопоставления полученных результатов между собой и с известными теоретическими результатами.
При самостоятельном решении задачи рекомендовано руководствоваться следующей схемой: 
1) провести теоретические расчеты для вычисления функции 
распределения случайной величины τ — момента первого попадания пуассоновского случайного процесса в заданное множество, 
построить ее график в среде Wolfram Mathematica. По виду графика убедиться в том, что функция распределения найдена верно;
2) построить разложение полученной функции распределения 
в сумму функций распределения дискретного и абсолютно непрерывного типов, построить графики этих функций (эту часть зада 
5