Кратные интегралы

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана
Д.А. Мельников, А.В. Филиновский, В.Ю. Чуев
Кратные интегралы
Методические указания  
к выполнению типового расчета
2-е издание

УДК 517.1
ББК 22.161.1
	
М48
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1692.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Высшая математика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия 
Рецензент О.И. Тескин 
 
Мельников, Д. А.
М48	 	
Кратные интегралы. Методические указания к выполнению типового расчета / Д. А. Мельников, А. В. Филиновский, В. Ю. Чуев. — 2-е изд. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2017. — 53, [3] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4736-7 
Изложены краткие теоретические сведения и даны решения примеров по теме «Кратные интегралы». Приведены варианты заданий 
для типового расчета, в котором содержатся задачи на вычисление 
кратных интегралов и их геометрические и механические приложения.
Для студентов 2-го курса всех специальностей факультетов 
«Робототехника и комплексная автоматизация», «Машиностроительные технологии», «Энергомашиностроение», «Инженерный бизнес 
и менеджмент», а также студентов кафедры «Прикладная математика» 
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Могут быть полезны преподавателям.
УДК 517.1
ББК 22.161.1
ISBN 978-5-7038-4736-7
©	 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
©	 Оформление. Издательство  
	
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

1. Двойные интегралы
1.1. Определение двойного интеграла
Пусть в плоскости XOY задана замкнутая область D, имеющая 
площадь S, ограниченная непрерывной линией L, и пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x; y).
Разобъем область D какими-нибудь линиями на n частей D1, 
D2, …, Dn таким образом, что никакие две из них не будут иметь 
n
общих внутренних точек. Очевидно, что D
U D
i
i
=
=1
. 
Определение. 
Такое 
представление 
области D называется ее разбиением Т 
(рис. 1.1). 
Сами же множества D1, D2, …, Dn назовем элементарными областями. Их 
площади обозначим ∆S1, ∆S2, …, ∆Sn. 
 
n
=
1
Очевидно, что S
Si
i
=
∑∆
.
Рис. 1.1
Определение. Диаметром области D 
называется 
максимальное 
расстояние 
между ее точками, т. е.
1
2
δ
δ
( )
max
( ;
).
;
D
P P
P
P
D
=
∈
1
2
Определение. Диаметром разбиения T области D называется 
наибольший из диаметров ее элементарных областей, т. е.
δ
δ
( )
max (
).
...
T
D
i
n
i
=
=1
Возьмем теперь в каждой из элементарных областей по одной 
точке Pi ∈ Di и составим сумму
n
T
f P
S
f P
S
f P
S
f P
S
( )
(
)
(
)
...
(
)
(
)
,
=
∆
+
∆
+
+
∆
=
∆
δ f
n
n
i
i
i
=
∑
1
1
2
2
1
3

Рис. 1.2
которую назовем интегральной 
суммой для функции z = f(x; y) 
на замкнутой области D, соответствующей разбиению T.
Геометрический смысл интегральной суммы df (T) при f(x; y) ≥ 
≥ 0 очевиден: это сумма объемов 
прямых цилиндров с основаниями D1, D2, …, Dn (их площади 
∆S1, ∆S2, …, ∆Sn соответственно) 
и высотами f(P1), f(P2), …, f(Pn) 
(рис. 1.2).
Рассмотрим некоторую последовательность разбиений области D, для которой δ( )
.
T →0  При 
этом n → 0.
Определение. Двойным интегралом от функции f(x; y) по замкнутой области D называется предел последовательности интегральных сумм d(Т ) при стремлении диаметра разбиения к нулю, 
если этот предел существует и не зависит как от выбора разбиения области, так и от выбора точек на элементарных областях, 
составляющих данное разбиение, т. е.
n
	
f x y dxdy
f P
S
 	
(1.1)
T
i
i
→
=
∑
∫∫
δ
0
1
D
i
( ; )
lim
(
)
.
(
)
=
∆
При этом область D называется областью интегрирования, 
 
f(x; y) — подынтегральной функцией; x, y — переменными интегрирования. 
Определение. Если для функции f(x; y) существует конечный 
предел (1.1), то функция f(x; y) называется интегрируемой на области D.
Теорема существования двойного интеграла. Любая непрерывная на замкнутой ограниченной двумерной области функция двух 
переменных является интегрируемой на этой области. 
Геометрический смысл двойного интеграла. Если f(x; y) ≥ 0, то 
двойной интеграл от функции f(x; y) по области D равен объему 
тела Q, ограниченного поверхностью z = f(x; y), прямым цилиндром, проектирующим эту поверхность на координатную пло4

скость XOY в область D этой координатной плоскости и самой 
плоскостью XOY.
Определение. Тело Q называется цилиндрическим телом. 
Механический смысл двойного интеграла. Массу плоской пластины D плотностью m(x; y) вычисляют по следующей формуле:
M
x y dxdy
D
= ∫∫µ( ; )
.
1.2. Свойства двойного интеграла
1. Линейность.
Если f(x; y) и g(x; y) — интегрируемые функции на замкнутой 
ограниченной области D, то
f x y
g x y dxdy
f x y dxdy
g x y dxdy
D
D
D
( ; )
( ; )
( ; )
( ; )
,
+
[
]
=
+
∫∫
∫∫
∫∫
а при ∀
∈
α

α
α
f x y dxdy
f x y dxdy
( ; )
( ; )
,
∫∫
∫∫
=
D
D
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак двойного 
интеграла.
2. Аддитивность.
Если замкнутая ограниченная область D представлена в виде 
объединения конечного числа подмножеств D1, D2, …, Dn, таких, 
что никакие два из них не имеют общих внутренних точек, то
n
f x y dxdy
f x y dxdy
=1
D
D
i
i
( ; )
( ; )
.
∫∫
∫∫
∑
=
3. Теорема об оценке двойного интеграла.
Пусть m и M — наименьшее и наибольшее значения функции 
f(x; y) в области D, S — ее площадь. Тогда имеет место соотношение
mS
f x y dxdy
MS
≤
≤
∫∫( ; )
.
D
5

4. Теорема о среднем для двойного интеграла.
Если функция f(x; y) непрерывна на замкнутой ограниченной 
области D с площадью S, то в области D найдется такая точка P, 
что
f x y dxdy
f P S
D
( ; )
( ) .
∫∫
=
1.3. Вычисление двойного интеграла 
в декартовой системе координат
Рис. 1.3
Определение. Двумерная область D называется правильной по 
оси OY, если каждая прямая, параллельная оси OY(x = const), пересекает ее границу не более чем в двух точках, верхней P2(x; y2) 
и  нижней P1(x; y1), причем y1 ≤ y2 
(рис. 1.3). Множество всех верхних точек P2 образует верхнюю 
границу.
Пусть y = j(x) — уравнение 
нижней границы области D, y = 
=  y(x) — уравнение ее верхней 
границы, а отрезок [a; b] — проекция области D на ось OX. Тогда 
правильная по оси OY область  D 
задается следующей системой неравенств:
≤
≤
	
D
a
x
b
x
y
x
:
;
( )
( ).
≤
≤


ϕ
ψ
 	
(1.2)
Двойной интеграл по области D, заданный системой неравенств (1.2), вычисляют сведением к повторному интегралу, т. е.
x
b
ψ
ψ

f x y dxdy
f x y dy dx
dx
f x y dy
b
( ; )
( ; )
( ; )
( )
.
( )
∫∫
∫
∫
∫
=

x
∫
D
x
a
( )
a
( )
x
ϕ
ϕ






=
Сначала вычисляют внутренний интеграл, т. е.
( )
	
f x y dy
x
( ; )
.
ψ
∫
 	
(1.3)
( )
x
ϕ
6