Криволинейные и поверхностные интегралы

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана
Д.А. Мельников, А.В. Неклюдов, К.В. Титов
Криволинейные и поверхностные интегралы
Учебное пособие
2-е издание

УДК 517.1(075.8)
ББК 22.11
	
М48
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1669.html
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Высшая математика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
Рецензент А.В. Аттетков
	
Мельников, Д. А.
М48	 	
Криволинейные и поверхностные интегралы : учебное 
пособие / Д.  А. Мельников, А.  В. Неклюдов, К.  В. Титов. — 

2-е изд. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 

63, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4698-8
Рассмотрены криволинейные и поверхностные интегралы 1-го и 
2-го рода. Приведены краткие теоретические сведения, примеры решения задач, приложения к задачам механики и физики, задачи для самостоятельного решения, условия типового расчета.
Для студентов 2-го курса всех факультетов МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.1(075.8)
ББК 22.11
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
© Оформление. Издательство
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
ISBN 978-5-7038-4698-8

1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
1.1. Определение криволинейного интеграла 
первого рода
Пусть в пространстве 3 переменных х, у, z задана кусочно-гладкая 
кривая АВ
 
)
  .
 Выберем на ней точки А0 = А, А1,  A2, …, An = В (рис. 1.1).
Определение. Набор элементарных дуг lk = Ak–1 Ak, r = 1, …, n, называется разбиением T дуги АВ
 
)
 .
Обозначим длину элементарной дуги lk так: ∆lk.
Определение. Диаметром разбиения d(T ) называется максимальная 
длина элементарной дуги, входящей в разбиение T:
d T
l
( ) =
∆
max
.
,
,
k
k=
n
1 
На каждой элементарной дуге lk выберем произвольным образом 
точку Mk. Пусть на дуге АВ
 
)
   задана функция f (x, y, z).
Определение. Интегральной суммой функции f, соответствующей 
разбиению T и набору точек M1, …, Mn, называется сумма
n
I
f T
f M
l
,
.
(
) =
(
)∆
=
∑
k
k
k
1
Определение. Криволинейным интегралом первого рода от функции 
f по дуге АВ
 
)
   называется предел интегральных сумм I ( f, T ) при стремлении диаметра разбиения к 0, если он существует и не зависит от 
способа разбиения дуги АВ
 
)
  и выбора 
точек Mk:
f x y z dl
I
f T
AB
d T
, ,
lim
,
.
(
)
=
(
)
∫
( ) →0
	
(1.1)
Если предел (1.1) существует, то 
функция f называется интегрируемой 
по дуге АВ
 
)
 .
Рис. 1.1
3

Аналогично определяется криволинейный интеграл первого рода 
по дуге на плоскости 2 переменных x, y.
Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна на кривой АВ
 
)
 . Тогда 
интеграл   
f x y z dl
, ,
(
)
∫
 cуществует.
AB
 1.2. Свойства криволинейного 
интеграла первого рода
1. Линейность. Если функции f, g интегрируемы по АВ
 
)
  , то функции 
f + g  и c f , где c = const, также интегрируемы по АВ
 
)
  и      
f
g dl
fdl
gdl
+
(
)
=
+
∫
∫
∫
,
AB
AB
AB
     
cfdl
c
fdl
= ∫
∫
.
AB
AB
2. Аддитивность. Пусть точка С лежит на АВ
 
)
 , функция f интегрируема по АС
 
)
  и СB
 
)
 . Тогда f интегрируема по АВ
 
)
  и
      
fdl
fdl
fdl
=
+ ∫
∫
∫
.
CB
AC
AB
3. Независимость от направления прохождения кривой. Если f интегрируема по АВ
 
)
 , то 
  
fdl
fdl
= ∫
∫
.
BA
AB
4. Теорема об оценке. Если функция f интегрируема по АВ
 
)
  и для 
любой точки P на АВ
 
)
   m
f P
M
≤
( ) ≤
, то  ml
fdl
Ml
≤
≤
∫
, где l — длина 
AB
кривой АВ
 
)
 .
5. Теорема о среднем. Если функция f непрерывна на АВ
 
)
 , то существует такая точка P ∈ АВ
 
)
 , что 
 
fdl
f P
l
=
( )⋅
∫
.
AB
4

1.3. Вычисление криволинейного 
интеграла первого рода
1. Пусть кривая АВ
 
)
 (рис. 1.2) задана параметрическими уравнениями
	
x = x (t);
	
y = y (t);
	
z = z (t); a ≤ t ≤ b.
Тогда   
β
	
f x y z dl
f x t
y t
z t
x
y
z dt
	
(1.2)
, ,
,
,
,
(
)
=
( )
( )
( )
(
)
+
+
∫
∫



2
2
2
α
AB
где 


x
dx
dt
=
=
,
,
.
dt
y
dy
dt
z dz
Пример 1.1. Найти 

xdt
C
∫
, где С — окружность x2 + y2 = 4. 
Зададим окружность параметрическими уравнениями
	
x = 2 cos t 
;
	
y = 2 sin t 
; 0 ≤ t ≤ 2π.
Применим формулу (1.2):
π
π
2
2
2
2
2
2
x dl
t
t
t dt
tdt
2
4
4
4
8
cos
sin
cos
cos
∫
∫
∫
=
+
=
=
C
0
0
π
.
4
1
2
cos
t d
2
π
=
+
(
)
t =
∫
8
0
Рис. 1.2
Рис. 1.3
5

2. Пусть кривая АВ задана уравнением y = y(x), a ≤ x ≤ b, в декартовой системе координат (рис. 1.3). Тогда  
β
	
f x y dt
f x y x
y x
dx
	
(1.3)
,
,
.
(
)
=
( )
(
)
+
( )
(
)
∫
∫
1
2

α
AB
Пример 1.2. Найти  
xdl
∫
, где АВ
 
)
  — дуга параболы, y = x2, A(0, 0), 
B(1, 1).
AB
1
1
2
По формуле (1.3)  
xdl
x
x dx
x d
x
=
+
=
+
+
(
) =
∫
∫
∫
1
4
1
8
1
4
1
4
2
2
0
0
AB
2
3 2
0
1
x
/
.
=
+
(
)
=
−
1
12 1
4
5 5
1
12
3. Пусть кривая  задана уравнением r = r (ϕ), a ≤ ϕ ≤ b, в полярной 
системе координат. Тогда
	
 
f x y dl
f r
r
r
r
d
β
2
2
 	
(1.4)
,
cos , sin
.
(
)
=
(
)
( ) +
′( )
(
)
∫
∫
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
α
AB
Пример 1.3. Найти  
x
y dl
2
2
+
∫
, где АВ
 
)
   — второй виток спирали 
AB
Архимеда r = 2 ϕ (рис. 1.4).
Точкам A и B соответствуют значения полярного угла a = 2π и 

b = 4π. По формуле (1.4)
4
4
π
π
2
2
2
2
x
y dl
d
d
2
4
4
4
1
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
2
2
π
π
AB
/
/
.
ϕ
2
3 2
2
4
π
π
/
=
+
(
)
=
4
3
1
4
3
16
1
4
1
2
3 2
2
3 2
π
π
+
(
)
−
+
(
)






6

В
А
Рис. 1.4
Рис. 1.5
4. Пусть пространственная кривая задана общими уравнениями. В 
этом случае уравнения кривой приводятся к параметрическому виду и 
используется формула (1.2).
Пример 1.4. Найти  
xydl
∫
, где АВ
 
)
  — часть сечения цилиндра x2 +
AB
+ y 
2 = 1 плоскостью z = x +1, лежащая в первом октанте (рис. 1.5).
В цилиндрических координатах x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z уравнения кривой АВ
 
)
   имеют вид
	
r = 1;
	
z = r cos ϕ +1; 0 ≤ ϕ ≤ π
2 .
Следовательно, АВ
 
)
  задается параметрическими уравнениями
	
x = cos ϕ;
	
y = sin ϕ;
	
z = 1 + cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π
2 .
По формуле (1.2) 
2
π
2
2
2
xydl
d
=
+
+
=
/
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
∫
∫
cos sin
sin
cos
sin
0
AB
sin
sin
d
=
+
=
/
/
/
ϕ
π
π
ϕ
ϕ
2
3 2
0
2
2
+
(
)
=
−
∫
sin
.
2
2
1
2
1
1
3 1
2 2
1
3
0
7