Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана
Э.И. Агаева, Р.Ф. Сперанская
Векторная алгебра
и аналитическая геометрия
Методические указания к решению задач
Под общей редакцией Э.И. Агаевой
2-е издание

УДК	623.54 (075)
ББК	22.1
	
А23
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1668.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Высшая математика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
Рецензент Т.В. Кускова
Агаева, Э. И.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Методические 
А23
указания к решению задач / Э.  И.  Агаева, Р.  Ф.  Сперанская; 
под общ. ред. Э. И. Агаевой. — 2-е изд. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 47, [13] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4696-4
Приведены краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач по разделам «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия», решения типовых задач, контрольные задания, задачи для 
самостоятельной работы и типовой расчет из 15 задач (по 15 вариантов 
в каждой).
Для студентов младших курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 623.54 (075)
ББК 22.1
©	 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
©	 Оформление. Издательство 
	
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
ISBN 978-5-7038-4696-4

Глава I. Векторная алгебра
1. Геометрические векторы 
и линейные операции над ними
В математике изучают векторы, не принимая во внимание их конкретное физическое содержание. Принято изображать их направленными отрезками. Длины этих отрезков равны числовым значениям 
векторов, а направления отрезков, указываемые стрелками, совпадают 
с направлениями этих векторов. Эти направленные отрезки называют 
геометрическими векторами. Обозначаются векторы либо одной малой буквой с чертой наверху a b c
, , ,... ,
(
)  либо двумя большими с чертой наверху AB
(
):  в этом случае А — начало вектора, В — его конец. 
Длина вектора обозначается символом a  или AB . Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.  Длина нулевого 
вектора равна нулю, а направление неопределенное. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы именуются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и направлены в одну сторону.
В математике не различают двух равных векторов, выходящих из 
разных точек и получающихся параллельным переносом. Поэтому все 
геометрические векторы называются свободными. Два коллинеарных 
вектора с равными длинами, направленные в разные стороны, именуются противоположенными. Обозначаются они a  и −a.  Векторы, 
лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
Линейные операции над векторами. Сложение (вычитание) и умножение вектора на число называются линейными операциями.
Суммой двух векторов a  и b  именуется третий вектор c,  начало 
которого совпадает с первым вектором a,  а конец — с концом векто	
3

ра b, причем начало второго вектора совмещается с концом первого 
(правило треугольника).
Сумму двух векторов a  и b  (рис. 1) можно определить как диагональ параллелограмма, построенного на векторах a  и b, выходящих из общего начала (правило параллелограмма).
Чтобы найти сумму n векторов a a
an
1
2
,
,...,
, нужно начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего (рис. 2). Суммой 
векторов будет вектор с концом последнего (правило многоугольника).
	
	
	
Рис. 1	
Рис. 2
	
	
	
Рис. 3	
Рис. 4
Сумма вектров обладает следующими свойствами (рис. 3, 4):
a
b
c
a
b
c
+
(
)+
=
+
+
(
)  — сочетательность (ассоциативность);
a
b
b
a
+
=
+
 — переместительность (коммутативность);
a
a
+
=
0
 для ∀a;
∀
∃
a
 противоположный ему вектор −a,  такой, что a
a
+ −
(
) = 0.
Разностью двух векторов a  и b  называется такой вектор c,  который в сумме с вектором b  дает вектор a  (рис. 5).
Из определения разности вытекает, что если начало обоих векторов  a  и b  помещено в одну точку, то вектором c
a
b
=
−
 будет вектор, 
имеющий начало в конце вектора b  и конец — в конце вектора a.  
Из рис. 5 видно, что векторы b  и −b  противоположны и что разность 
векторов a  и b  можно найти, складывая с вектором a  вектор −b.
4

Произведением вектора a  на число λ называется вектор λa,  коллинеарный вектору a,  направленный с вектором a  в одну сторону, 
если λ > 0, и в противоположную, если λ < 0, имеющий длину 
λ
λ
a
a
=
⋅
 (рис. 6).
	
	
	
Рис. 5	
Рис. 6
Операция умножения вектора на число обладает следующими 
свойствами:
λ µ
λµ
a
a
(
) = (
)
 — сочетательность;
λ
µ
λ
µ
+
(
)
=
+
a
a
a  — распределительность (дистрибутивность относительно суммы скаляров);
λ
λ
λ
a
b
a
b
+
(
) =
+
 — распределительность относительно суммы 
векторов;
∀
⋅
=
a
a
a
, 1
 — при умножении на 1 вектор не меняется (особая 
роль единицы).
Эти восемь свойств линейных операций имеют большое значение, 
так как они позволяют проводить преобразование в векторной алгебре 
по тем же правилам, что и в обычной алгебре. Если обозначить a°  
вектор, направленный так же, как вектор a,  имеющий длину, равную 
1, то из определения умножения вектора на число следует, что 
a
a a
=
⋅°, откуда a
a
a
° =
/
.  Единичный вектор a°  направления вектора a   называется ортом вектора a.  Вектор b
a
a
a
k
k
=
+
+
+
λ
λ
λ
1 1
2
2
...
,
где λ1, λ1, ..., λk числа, называется линейной комбинацией векторов 
a a
ak
1
2
,
,...,
.
Решение типовых задач
1. В ∆ABC сторону AB разделили на три равные части точками M 
и N. Здесь CA
a
= ,  CB
b
= .  Выразить CM  через a  и b.
	
5

Решение. Из ∆ACM (рис. 7) находим, что CM
CA
AM
=
+
, 
AM
AB
=
/ .
3  Из ∆ACB AB
b
a
=
−,  AM
b
a
=
−
(
) / ;
3  CA
a
= .
Следовательно, CM
a
b
a
a
b
=
+
−
(
)
=
+
(
)
/
/ .
3
2
3
	
Рис. 7
	
 
Рис. 8
2. В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB
a
= , 
нижнее основание AD
b
= .  Угол между AB  и AD  равен π/3. Выразить 
через a  и b  остальные стороны и диагонали трапеции.
Решение. Треугольник ABK (рис. 8) — равносторонний, следовательно, AK
b a
b
b a
b a
b
=
=
=
°
;  BC
KD
AD
AK
b
b a
b
b b
a
b
=
=
−
=
−
=
−
;  
BD
AD
AB
b
a
=
−
=
−,  CD
BK
=
,  CD
AK
AB
b a b
a
=
−
=
−;  AC
AB
=
+
+
=
+
−
(
)
BC
a
b b
a
b .
3. В ∆ABC вектор AB
m
=
,  вектор AC
n
= ; построить каждый из 
следующих векторов:  а) 
m
n
+
(
) 2;   б) 
m
n
−
(
) 2;   в) 
n
m
−
(
) 2; 

г) −
+
(
)
m
n
2.
Решение. При нахождении суммы векторов будем пользоваться 
правилом параллелограмма (рис. 9):
а) m
n
+
(
) 2  — длина искомого вектора будет равна половине длины диагонали параллелограмма, построенного на векторах m  и n,  или 
медиане ∆ABC, проведенной из вершины A;
б) 
m
n
−
(
) 2  — этот вектор будет 
расположен на стороне ВС заданного 

∆ABC с началом в точке С и концом 

в точке М;
в) n
m
−
(
) 2  — этот вектор противоположен предыдущему, его начало в точке М и конец в С (М — середина ВС);
Рис. 9
6