Математический анализ

С.В. Галкин
Математический 
анализ
Методические указания по подготовке к экзамену
по материалам лекций в первом семестре
2-е издание

УДК 622.692.4 
ББК 35.36 
 Г16 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1645.html 
Г16 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Прикладная математика» 
 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия 
 
 
Галкин, С. В.  
                         Математический анализ. Методические указания по подготовке к 
экзамену по материалам лекций  в первом семестре. — Москва : 
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 126, [2] с. : ил. 
 
    ISBN 978-5-7038-4670-4 
 
Кратко раскрыты, пояснены и доказаны основные теоретические положения, излагаемые в лекциях по разделам математического анализа в 
первом семестре: элементы логики, теории множеств, теория пределов, 
дифференциальное исчисление и теория экстремума. Изложение материала завершается выводом формул скорости и ускорения материальной точки при плоском криволинейном движении. Это позволяет обосновать 
формулы, приводимые в курсе теоретической механики первого семестра. 
Для студентов первого курса всех специальностей. 
 
 
УДК 622.692.4 
 
ББК 35.36 
 
 
Галкин Сергей Владимирович  
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
 
Методические указания по подготовке к экзамену 
по материалам лекций  в первом семестре 
 
Корректор О.В. Новикова 
Художник Э.Ш. Мурадова 
 
Подписано в печать 25.11.2017. Формат 6090/16.  
Усл. печ. л. 8,0. Тираж 1000 экз. Изд. LIB003–2017. Заказ 
 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 
                                                                           © Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4670-4                                               
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 
2 

 
 
 
ВВЕДЕНИЕ, ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 
ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 
Лекции 1, 2 
Введение 
Числа изучают еще в школе. Натуральные числа (класс, или 
множество, натуральных чисел обозначается N) могут быть представлены в виде суммы конечного числа единиц, например: 4 = 1 +  
+ 1 + 1 + 1. Если взять все натуральные числа, нуль и все натуральные числа со знаком минус, получится класс, или множество целых 
чисел, обозначаемое Z.  
Рациональные числа (класс, или множество, рациональных 
чисел обозначается Q) можно представить в виде отношения 
(лат. ratio — отношение) двух целых чисел: 
,
q
a b

 
0.
b 
 Рациональные числа можно представить конечной или бесконечной 
периодической десятичной дробью, например: 1/4 = 0,25; 4/3 =  
= 1,(3); 17/45 = 0,3(7). Иррациональными числами называются 
числа, представляемые бесконечной непериодической дробью. 
Они известны давно, некоторые из них, имеющие фундаментальное значение, обозначают специальными буквами (
2  =  
= 1,4142…, 
3 = 1,732…, 
5
1
2
1,618…,  = 3,1415..., e =  
= 2,718...). Рациональные и иррациональные числа образуют класс, 
или множество, действительных чисел, обозначаемое R.  
Метод математической индукции, давно известный и сейчас 
довольно часто используемый при доказательстве теорем, основан на принципе математической индукции, заключающемся  
в том, что утверждение A(n), зависящее от натурального параметра n, верно для любого натурального n, если: 
– доказано A(1) (или A(N0 ), N0 — натуральное число); 
3 

– предполагается справедливость A(n) (индуктивное предположение); 
– на основе первых двух условий можно доказать справедливость A(n + 1). 
 
Примеры. 1. Докажем формулу для суммы нечетных чисел: 1 + 3 +  
+ 5 + … + (2n – 1) = n2. 
При n = 1 утверждение справедливо. Пусть оно будет справедливо 
для некоторого натурального n: 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2. Докажем 
утверждение для n + 1:  
2
2
1 3
5 ...
(2
1)
(2
1)
2
1
(
1) .
n
n
n
n
n









 
2. Докажем неравенство Бернулли (1 + x)n 1 + nx (x  –1). 
При n = 1 неравенство выполнено. Предположим, что оно выполнено 
при некотором натуральном n. Докажем, что оно выполнено при n + 1:  
1
2
1
1
1
1
1
1
n
n
x
x
x
nx
x
x
nx
nx












1
1
1
.
x
nx
n
x





 










Следовательно, неравенство выполнено для любого натурального n. 
Элементы математической логики 
В математической логике имеют дело с высказываниями. 
Простое высказывание — это некоторое утверждение, которое 
либо истинно, либо ложно. Например, высказывание «2 — четное 
число» истинно, а «3 — четное число» ложно. Истинность или 
ложность таких высказываний не меняется — это логические 
константы (обозначение: И — всегда истинное и Л — всегда 
ложное высказывание). Есть высказывания, истинность или ложность которых зависит от некоторых условий, например sin x > 0. 
Оно истинно, если 2n < x < (2n + 1)π, n = 0, 1, 2, …, и ложно 
при других значениях x.  
Над высказываниями можно выполнять логические операции. 
Истинность их результата устанавливают по таблице истинности, 
которая задает истинность или ложность результата в зависимости 
от истинности или ложности высказываний-операндов. Рассмотрим основные логические операции: отрицание, конъюнкцию (логическое умножение), дизъюнкцию (логическое сложение), импликацию (следование) и эквиваленцию. 
4 

Отрицание: ¬A, 
,
A  «не A». Высказывание ¬A истинно тогда 
и только тогда, когда высказывание A ложно. Например, высказывание А состоит в том, что x = 0, тогда «не A» — в том, что x  0. 
Запишем это символически: 
A: x = 0, тогда ¬A: x  0. 
Конъюнкция (логическое умножение): 
,
A
B

 «A и B». Высказывание A
B

 истинно тогда и только тогда, когда A истинно и B 
истинно. Если A или B ложно, то A
B

 ложно. Пусть, например, 
:
1,
:
0
A x
y
B x
y




 (x, y — действительные числа). Тогда 
:
A
B

 
1/ 2.
x
y


 Пара (x, y) является решением системы уравнений, если она является решением и первого, и второго уравнения.  
Дизъюнкция (логическое сложение): 
,
A
B

 «A или B». Высказывание A
B

 истинно, если A истинно или B истинно. 
Например, если 
:
1
0,
:
2
0



A x
B x
, (x — действительное 
число), то 
: (
1)(
2)
0.
A
B
x
x




 
Импликация (следование): 
,
A
B

 «если A, то B», «для B достаточно A», «для A необходимо B». Высказывание A
B

 ложно 
тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно (из истины не 
может следовать ложь). 
Эквиваленция (эквивалентность): 
,
A
B

 «A эквивалентно 
B». Высказывание A
B

 истинно тогда и только тогда, когда 
значения А и В совпадают, т. е. А и В ложны или А и В истинны. 
Напишем таблицу истинности для логических операций 
(табл. 1): 
Таблица 1 
A 
B 
¬A 
A
B

 
A
B

 
A
B

 
A
B

 
И 
И 
Л 
И 
И 
И 
И 
И 
Л 
Л 
Л 
И 
Л 
Л 
Л 
И 
И 
Л 
И 
И 
Л 
Л 
Л 
И 
Л 
Л 
И 
И 
 
Примеры. 1. Докажем справедливость способа доказательства теорем «от противного»: (А В) (¬В ¬А). Для этого составим таблицу истинности (табл. 2): 
5 

Таблица 2 
A 
B 
¬A 
¬B 
A
B

 
¬B  ¬A 
(
)
(
)
A
B
B
A


 
И 
И 
Л 
Л 
И 
И 
И 
И 
Л 
Л 
И 
Л 
Л 
И 
Л 
И 
И 
Л 
И 
И 
И 
Л 
Л 
И 
И 
И 
И 
И 
 
2. Докажем закон транзитивности для действительных чисел, т. е. 
высказывание 
: (
)
(
)
(
)
K
A
B
B
C
A
C





 — всегда истинно. 
Составим таблицу истинности (табл. 3):  
Таблица 3 
A 
B 
C 
A
B

  
B
C

 
(
)
(
)
A
B
B
C



 
A
C

 
K 
И 
И 
И 
И 
И 
И 
И 
И 
И 
И 
Л 
И 
Л 
Л 
Л 
И 
И 
Л 
И 
Л 
И 
Л 
И 
И 
И 
Л 
Л 
Л 
И 
Л 
Л 
И 
Л 
И 
Л 
И 
Л 
Л 
И 
И 
Л 
И 
И 
И 
И 
И 
И 
И 
Л 
Л 
И 
И 
И 
И 
И 
И 
Л 
Л 
Л 
И 
И 
И 
И 
И 
 
Действительно, высказывание K истинно при всех значениях А, В, С. 
 
Приведем основные свойства логических операций: 
• двойное отрицание ¬(¬А) = А; 
• ассоциативность 
(
)
(
)
,
(
)
(
)
;
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C











 
• дистрибутивность 
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
);
A
B
C
A
B
A
C
A
B
C
A
B
A
C












 
• законы де Моргана 
(
)
(
),
A
B
A
B



 
(
)
(
).
A
B
A
B



 
 
Справедливость свойств* доказывается с помощью таблиц истинности.  
____________ 
* Заметим, что законы ассоциативности для умножения чисел А(ВС) = (АВ)С  
и сложения чисел (А + В) + С  = А + (В + С) аналогичны логическим. Законы дистрибутивности для чисел несколько иные. Для чисел А(В + С) = АВ + АС (совсем 
как в логике), но А + (ВС) ≠ (А + В)(А + С). Из этого следует, что законы арифметики, по которым до сих пор строят компьютеры, отличаются от законов логики, 
по которым мыслит человек. Поэтому для того, чтобы сконструировать интеллектуального робота, подобного человеку, мало увеличить память и скорость выполнения операций. Надо изменить принцип конструирования и составлять интеллектуальные программы на языке логики, а не на языке арифметики. 
6 

Упражнение. Проверьте справедливость некоторых свойств.  
Часто в математических записях используют квантор всеобщности  (означает: «любой, произвольный») и квантор существования  (означает: «существует»). Например, запись 
x
X

 будет прочитана так: любой элемент x из множества X, а 
запись 
:
x p

, или 
,
x p

 означает: любой элемент x, для которого выполнено свойство р. Записи x
X

 и 
:
(
/
)
x p
x
p


 будут 
прочитаны соответственно: существует элемент x из множества X 
и существует элемент x, для которого выполнено свойство р. 
Символы математической логики позволяют записывать математические определения и теоремы кратко, просто и содержательно. 
Запишем, например, определение предела функции 
( )
f x  при 
:
x   
lim
( )
> 0
( ) > 0 :( >
)
( )
< .








x
f x
b
M
x
M
f x
b
  
Здесь 
( )
M  предполагается действительным числом. Запишем еще определение предела последовательности действительных чисел {xn}, (n = 1, 2, 3, …): 
lim
> 0
( ) > 0:( >
)
< .








n
n
n
x
b
N
n
N
x
b
 
Здесь 
( )
N  предполагается натуральным числом. Понятие 
предела будет рассмотрено подробно далее, но его следует осмыслить (или запомнить) уже сейчас. Если это удалось, запишите 
определение предела функции при 
,
x  
0,
x
x

 где 
0
x  — 
конечное число. 
Элементы теории множеств 
Множество — это совокупность элементов. Запись x
A

 
означает, что элемент x принадлежит множеству А, а x
A

 означает, что x не является элементом множества А. Множества А и В 
называются равными (А = В), если они состоят из одних и тех же 
элементов. Множество считается заданным, если его элементы 
заданы или указан алгоритм их отыскания.  
Множество может быть задано следующими способами: 
– перечислением элементов, если их число конечно; 
– указанием характеристического свойства множества 
( ),
g x
 которому удовлетворяют все только его элементы и только они, 
например, М: {x: ( )
g x }, или М: {x / ( )
g x }; 
7 

– выделением части из целого, например, множество четных 
чисел, делящихся на 6; 
– объединением частей в целое, например, множество целых чисел определяется как совокупность множества натуральных чисел, нуля и множества натуральных чисел, умноженных на (–1). 
Если ни один из элементов не удовлетворяет характеристическому свойству, то это свойство определяет пустое множество (). Множество А является подмножеством множества В, 
если все его элементы принадлежат 
(
).
B A
B

 Если предположить существование множества U, которое содержит все элементы всех множеств, то такое множество можно назвать универсальным. 
Введем операции над множествами и проиллюстрируем их 
диаграммами Эйлера — Венна. 
Объединение множеств A
B

 изображено заштрихованной 
областью на рис. 1. Элементы объединения принадлежат или 
множеству А, или множеству В: 
(
)
(
).
x
A
B
x
A
x
B






 
Пересечение множеств A
B

 изображено заштрихованной 
областью на рис. 2. Элементы пересечения принадлежат и множеству А, и множеству В: 
(
)
(
).
x
A
B
x
A
x
B






 
Множества не пересекаются, если их пересечение — пустое 
множество. 
 
 
 
Рис. 1 
Рис. 2 
8 

Разность множеств А \ В изображена заштрихованной областью на рис. 3. Элементы разности множеств А и В принадлежат 
множеству А, но не принадлежат множеству В:  
\
(
)
(
).
x
A B
x
A
x
B





 
Если 
,
A
B

 то А \ В — пустое множество. 
 
 
 
Рис. 3 
Рис. 4 
 
Дополнение множества А до множества В (при условии, что А 
входит в В) СВ А изображено заштрихованной областью на рис. 4. 
Оно состоит из элементов множества В, не принадлежащих А: 
(
)
(
\
).
B
x
C A
A
B
x
B A





 
Дополнение множества А до универсального множества U 
обозначается 
:
A   
.
x
A
x
A



 
Упражнение. Докажите: 
,
,
,
.
A
U
U
A
U
A
A
A
A





 
Операции над множествами имеют следующие свойства: 
• коммутативность 
,
;
A
B
B
A A
B
B
A






 
• ассоциативность  
(
)
(
)
,
A
B
C
A
B
C





 
(
)
(
)
;
A
B
C
A
B
C





 
• дистрибутивность 
(
)
(
)
(
),
A
B
C
A
B
A
C






 
(
)
(
)
(
),
A
B
C
A
B
A
C






 
                                         
,
.
A
B
A
B
A
B
A
B






  
9 

Если множество конечно (содержит конечное число элементов), то его кардинальным числом (card A) называется количество 
элементов множества. Справедлива формула 
card(
)
card
card
card
(
).
A
B
A
B A
B





 
Упражнение. В группе студентов 15 человек изучают английский 
язык, 8 — немецкий, 5 — немецкий и английский. Сколько человек входит 
в группу? 
Ответ: 18 человек. 
 
Декартовым произведением (
)
X
Y

 множеств X, Y называется множество пар ( , ),
x y
 в которых 
,
.
x
X
y
Y


 
 
Пример. Декартово произведение двух прямых 
1
1
2
R
R
R


 представляет собой плоскость. Декартово произведение прямой и плоскости  
1
2
3
R
R
R


 представляет собой пространство трех измерений. Декартово произведение n прямых 
1
1
...
n
R
R
R



 представляет собой nмерное пространство координат. 
 
Если множества X и Y конечны, то card(
) card
card .
X Y
X
Y



 
 
Упражнение. Сколькими различными путями можно пройти из 
пункта А в пункт В через пункт С, если из пункта А в пункт В ведут три 
дороги, а из пункта В в пункт С — четыре? 
Ответ: 12 путями. 
Элементы комбинаторики 
Принцип комбинаторики. Пусть некоторая операция представляет собой совокупность N подопераций, из которых каждая  
s-я подоперация может быть выполнена ks способами. Тогда опеN
рация может быть выполнена 
s
s
K
k
1


 способами. 
Такие основные понятия комбинаторики, как размещение, сочетание и перестановка, могут быть пояснены на задаче размещения m шаров по n лункам, которая имеет разные решения в 
зависимости от условий размещения. 
1. Размещения с повторением. 
Сколькими способами можно разместить m шаров по n лункам (в каждой лунке помещается только один шар), если лунки 
10