Гиперкомплексные числа

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана
Н.С. Полякова, Г.С. Дерябина
Гиперкомплексные числа
Учебное пособие

УДК 512.94
ББК 22.13
	
П54
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/93/book1596.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
Полякова, Н. С.
П54	
	
Г
иперкомплексные числа : учебное пособие / Н. С. Полякова, 
Г. С. Дерябина. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2017. — 70, [2] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4603-2
Изложены основные определения и теоремы, связанные с кватернионами, приведены упражнения и задачи на действия с кватернионами. 
Рассмотрено применение кватернионов в математическом описании 
вращений, а также связи кватернионов с различными известными параметрами теоретической механики. Наряду с кватернионами введены 
октавы и бикватернионы. Даны варианты типового расчета и указания 
к их выполнению.
Для студентов 3-го и 4-го курсов, изучающих курс «Управление 
летательными аппаратами», а также для студентов других курсов, 
аспирантов и преподавателей.
УДК 512.94
ББК 22.13
ISBN 978-5-7038-4603-2 
©	 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
©	 Оформление. Издательство  
	
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих курс 
«Управление летательными аппаратами». Оно поможет подготовиться к контрольной работе «Действия с кватернионами» и выполнить 
домашнее задание «Применение кватернионов», а также может быть 
полезно студентам других специальностей, интересующихся применением кватернионов для первоначального ознакомления с объектом.
Учебное пособие состоит из трех глав. В первой представлены основные алгебраические и геометрические свойства кватернионов и 
приведены сведения, необходимые для выполнения контрольной работы. Во второй изложены соответствия между кватернионами и различными параметрами теоретической механики, использующимися 
для выполнения типовых расчетов. Примеры и решения задач даны в 
первой и второй главах. Кроме того, варианты типового расчета представлены и в третьей главе, где приведены практические рекомендации, относящиеся к решению задач типового расчета. 
Следует отметить, что в пособии произведение векторов обозначено символом «×».
Теоретические основы кинематики и динамики твердого тела, построенные на использовании аппарата кватернионов, изложены в работах [1, 3, 5, 6], а примеры использования кватернионов при решении задач теоретической физики представлены в работах [2, 4, 7, 8]. 
Цели и задачи учебного пособия
Цель настоящего учебного пособия — ознакомить студентов с гиперкомплексными числами, в частности, с понятием «кватернион», 
с его свойствами, с его применением к описанию вращения твердого 
тела, связи с основными кинематическими параметрами, такими как 
углы Эйлера, вектор Г
иббса, вектор конечного поворота, параметры 
Родрига — Г
амильтона, спиновые матрицы Паули.
3

Задача данной работы — развить у студентов умения:
•  формулировать основные определения и теоремы курса; 
•  применять изложенный теоретический материал при решении 
задач, связанных с вращением твердого тела.
Кроме того, она поможет сформировать навыки:
•  оперирования с кватернионами;
•  перехода от кватернионов к основным параметрам теоретической механики, и обратно.

ВВЕДЕНИЕ
Г
иперкомплексные 
числа 
представляют 
собой 
обобщения 
комплексных чисел. В частности, к ним относятся кватернионы, 
октавы и бикватернионы. Кватернионы были введены в 50-х годах 
XIX  века Уильямом Роуэном Г
амильтоном (1805–1865), а несколько 
позже Артур Кэли ввел октавы. В то время комплексные числа уже 
не рассматривали как нечто искусственное и выдуманное. Для многих задач они оказались даже более удобными, чем вещественные. 
У. Р
. Г
амильтон, создавая кватернионы, также имел в виду их применение в механике и анализе. Кватернионы дают возможность в достаточно простой и удобной форме задавать повороты в трехмерном 
пространстве, что и обусловливает их использование для описания 
вращательного движения твердого тела. Кватернионы помогают эффективно решить задачи на определение параметров конечного поворота твердого тела и задачи сложения поворотов. Кинематические 
уравнения движения твердого тела в кватернионах не вырождаются, 
как это имеет место при использовании углов Эйлера, и не содержат 
тригонометрических функций, а число этих уравнений существенно 
меньше, чем число уравнений в направляющих косинусах, — четыре 
вместо девяти. 

1. КВАТЕРНИОНЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
1.1. Предварительные сведения
Прежде чем перейти к изучению кватернионов, введем несколько 
абстрактных понятий.
Определение. Бинарная операция на множестве G — это отображение, которое каждой упорядоченной паре элементов (g1, g2) из G 
ставит в соответствие третий — g3, который также из G.
Пример. Сложение и умножение чисел — бинарные операции на 
множестве действительных чисел: 2 + 3 = 5, т. е. (2, 3)  5 паре действительных чисел (2; 3) ставится в соответствие число 5; 2 3
6
⋅= , т. е. 
(2, 3) 6, и т. д.
Определение. Множество G с определенной на всех его упорядоченных парах бинарной операцией (будем обозначать ее точкой: g
g
g
1
2
3
⋅
=
) называется группой, если выполнены следующие 
 
аксиомы: 
а) для произвольных элементов g1, g2, g3  из G выполнено равенство 
(
)
(
)
g
g
g
g
g
g
1
2
3
1
2
3
⋅
⋅
=
⋅
⋅
 — закон ассоциативности; 
б) существует такой элемент е в G, что для всякого элемента g из 
G справедливо равенство e g
g e
g
⋅
=
⋅= ;
в) для всякого элемента g из G найдется такой элемент g–1 из G, 
что g g
g
g
e
⋅
=
⋅
=
−
−
1
1
.
Элемент e называется единичным, или нейтральным, g–1 — обратным, или противоположным для элемента g.
Определение. Группа G называется коммутативной, или абелевой, если для любых элементов g1 и g2 из G выполнено равенство 
g
g
g
g
1
2
2
1
⋅
=
⋅
.  
Замечание. Если операция в группе называется умножением, то 
элемент е, удовлетворяющий условию б), именуется единичным и часто обозначается цифрой 1, а элемент g–1 — обратным.
6

Если операция в группе называется сложением, то вместо е используют цифру 0 и называют этот элемент нейтральным, а вместо g–1 
пишут –g и называют этот элемент противоположным.
Примеры 
1.  Множество положительных действительных чисел +  с операцией умножения действительных чисел является группой, при этом 
единичный элемент — это число 1, а обратный к g — это 1/g.
2.  Множество целых чисел  с операцией сложения является группой, нейтральный элемент — числом 0, а противоположный 
к п — это –п.
3.  Множество натуральных чисел  с операцией сложения не является группой, так как нет нейтрального элемента.
4.  Множество всех действительных чисел, не равных нулю, 
\{0}, является группой по умножению.
5.  Множество действительных чисел  не является группой по 
умножению, поскольку у нуля нет обратного.
6.   является группой по сложению.
7.  Квадратные матрицы n-го (n ≥ 2) порядка (с элементами из  
или  — множества комплексных чисел) с определителем, отличным 
от нуля, являются группой по умножению.
Замечание. Номера примеров 1, 2, 4, 6 — это образцы коммутативных, или абелевых, групп; номер 7 — образец некоммутативной 
группы. 
Аксиомы группы имеют следствия.
1. Единичный (нейтральный) элемент в группе единственен.
2. Для всякого элемента g группы G существует единственный обратный элемент g–1 .
3. Пусть а и b — произвольно заданные элементы группы G, а х 
и у — неизвестные элементы из G, тогда существует и единственное 
решение уравнений a x
b
⋅
=
 и y a
b
⋅
= . 
Определение. Если на множестве G определена бинарная операция, для которой выполнена только первая аксиома группы — ассоциативность, то это множество называется полугруппой.
Примером полугруппы является множество  — множество натуральных чисел с операцией сложения либо с операцией умножения 
чисел. Отметим, что эта полугруппа коммутативна.
Определение. Множество K с двумя бинарными операциями, которые назовем для простоты сложением и умножением, называется 
кольцом, если выполнены следующие условия:
7

а)  K — коммутативная группа по сложению;
б)  K — полугруппа по умножению;
в)  умножение и сложение связаны законом дистрибутивности 
(распределительным законом умножения). Для произвольных а, b, с 
из K выполняют равенства:
(
)
,
(
)
.
a
b
c
a c
b c
a
b
c
a b
a c
+
⋅=
⋅+ ⋅
⋅
+
=
⋅+
⋅
  
Определение. Если в кольце K есть единичный элемент по умножению, то это кольцо с единицей.
Определение. Если в кольце K операция умножения коммутативна, то K называется коммутативным кольцом (сложение коммутативно всегда по определению кольца).
Определение. Если P — коммутативное кольцо с единицей, 0 — 
нейтральный элемент по сложению и множество P \ { }
0  является 
коммутативной группой по умножению, то Р называется полем.
Примеры 
1. Множество действительных чисел  — поле.
2. Множество целых чисел  — коммутативное кольцо с единицей.
3. Множество всех многочленов от одной переменной с коэффициентами из ( )
 — коммутативное кольцо с единицей.
4. Множество всех квадратных матриц n-го порядка с элементами 
из ( )
 — кольцо с единицей, но некоммутативное.
5. Множество целых чисел, кратных 3, — коммутативное кольцо 
без единицы.
6. Множество комплексных чисел  — поле.
Определение. Если для элементов множества Т с двумя бинарными операциями выполнены все аксиомы поля, кроме коммутативности умножения, то Т называется телом.
Определение. Множество V называется векторным пространством 
над полем P, если на V определена операция сложения векторов — 
элементов V, причем V — коммутативная группа относительно этой 
операции, а кроме того, определена внешняя операция, связывающая 
V и поле P
P V
V
: ( ,
)
 
→
 — умножения векторов на скаляры (элементы 
из P), для которой выполнены аксиомы:
а) α
β
α β
α β
⋅
⋅
=
⋅
⋅
∀∈
∀
∈
(
)
(
)
,
,
,
;
a
a
a
V
P
  
  
8