Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана
И.Г. Зорина, А.Ф. Пелевина
Векторная алгебра.  
Аналитическая геометрия
Методические указания 
к выполнению типового расчета
Под редакцией И.Г. Зориной
2-е издание

УДК 152.94
ББК 22.151.5
	
З-86
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1685.html
Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
Рецензент М.М. Сержантова
	
Зорина, И. Г.
З-86	
	    
Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Методические указания к выполнению типового расчета / И. Г. Зорина, А. Ф. Пелевина; 
под ред. И. Г. Зориной. — 2-е изд. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2017. — 76, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4582-0
Издание охватывает основные разделы векторной алгебры и аналитической 
геометрии. Каждая из рассмотренных тем содержит краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач, примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельной работы. Приведены 30 вариантов типового расчета по 
векторной алгебре и аналитической геометрии, состоящих из 15 задач.
Для студентов 1-го курса всех специальностей. Может быть полезно преподавателям при проведении семинарских занятий.
УДК 152.94
ББК 22.151.5
©	 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
©	 Оформление. Издательство 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
ISBN 978-5-7038-4582-0

Гл а в а  1 .  ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1.1. Геометрические векторы. 
Линейные операции над векторами
В природе встречаются скалярные и векторные величины.
Определение 1.1. Величина называется скалярной, если она характеризуется заданием ее числового значения.
Определение 1.2. Величина называется векторной, если она характеризуется не только числовым значением, но и направлением в пространстве.
При изучении векторных величин нужно знать алгебру векторов.
Определение 1.3. Г
еометрическим вектором называется направленный отрезок. Обозначим вектор а или AB, если точка А – начало, а 
точка В – конец вектора (рис. 1.1).
Определение 1.4. Длиной вектора называется расстояние между его 
началом и концом. Длину вектора еще называют модулем и обозначают |а| или | AB |).
Определение 1.5. Нулевым вектором Θ называется вектор, у которого начало и конец совпадают.
Модуль нулевого вектора равен нулю; направление – неопределенное. 
Рис. 1.1
3

Определение 1.6. Векторы называются коллинеарными, если они 
лежат на одной прямой или на параллельных прямых (обозначение 
a || b).
Определение 1.7. Два коллинеарных вектора, имеющих одно и то 
же направление, называют сонаправленными (обозначается a ↑↑ b).
Определение 1.8. Два коллинеарных вектора, имеющих противоположное направление, называют противонаправленными (обозначается a ↑↓ b).
Определение 1.9. Векторы называются компланарными, если они 
лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Определение 1.10. Два сонаправленных вектора, имеющих одинаковую длину, называются равными.
Определение 1.11. Два противонаправленных вектора, имеющих 
одинаковую длину (для вектора AB  это вектор BA), называются противоположными (если AB = а, то BA = – a).
Определение 1.12. Единичным вектором, или ортом, называется 
вектор, длина которого равна единице.
Определение 1.13. Ортом вектора а называется единичный вектор а0, сонаправленный с данным а.
Линейные операции над векторами
Определение 1.14. Линейными операциями над векторами называется сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на число 
(скаляр).
Определение 1.15. (правило треугольника). Суммой векторов а и b 
называется вектор, соединяющий начало вектора а с концом вектора b, если начало вектора b совмещено с концом вектора а (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Рис. 1.3
4

Рис. 1.4
Рис. 1.5
Определение 1.16. (правило параллелограмма). Сумма векторов
а и b, имеющих общее начало, равна диагонали параллелограмма, построенного на векторах а и b, и выходящей из общего начала векторов 
а и b (рис. 1.3).
Определение 1.17. Суммой n векторов a1, a2, a3, … an называется 
вектор, соединяющий начало вектора a1 с концом вектора ап, если начало вектора a2 совмещено с концом a1, начало а3 совмещено с концом a2 и т.д. (рис. 1.4).
Определение 1.18. Разностью векторов a и b, имеющих общее начало, называется вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора с 
концом уменьшаемого (рис. 1.5).
Разность векторов а и b можно найти, сложив с вектором а противоположный вектор (–b): a – b = a + (–b).
Справедливы свойства сложения векторов:
1) а + b = b + а (коммутативность);
2) (а + b) + с = а + (b + с) (ассоциативность); 
3) для каждого (∀)a выполняется равенство а + Θ = а;
4) для (∀)a существует (∃) противоположный вектор (–а), такой, 
что а + (–а) = Θ.
Определение 1.19. Произведением вектора а на скаляр λ называется вектор λа, коллинеарный вектору а, сонаправленный с ним, если 
λ > 0 и противонаправленный ему, если λ < 0, имеющий длину |λa| = 

= |λ| ⋅ |a|.
Справедливы свойства умножения вектора на число:
1) λ ⋅ (µ ⋅ a) = (λ ⋅ µ) ⋅ a (ассоциативность);
2) (λ + µ) ⋅ а = λ ⋅ a + µ ⋅ a (дистрибутивность относительно суммы 
скаляров);
3) λ ⋅ (a + b) = λ ⋅ a + λ ⋅ b (дистрибутивность относительно суммы 
векторов);
4) для ∀a выполняется равенство 1 ⋅ a = a.
5

Из определения умножения вектора на число следует:
1. Вектор, противоположный вектору а, получается умножением 
вектора а на число λ = –1 (–a = (– l) ⋅a).
2.  При умножении ∀a на число 0 получается нулевой вектор: 
 
0 ⋅а = Θ.
3.  Если ∀a ≠ Θ умножить на число λ = 1
a , то получится единичный 
вектор. Этот вектор называется ортом вектора а и обознача- 
ется а0:
0 =
.	
(1.1)
	
a
a
a
Законы линейных операций дают возможность проводить преобразования в векторной алгебре по тем же правилам, что и в алгебре 
действительных величин.
Решение типовых задач
Пример 1.1. В ∆ABC, построенном на векторах BA = а и ВС = с, 
сторону АС разделили точками Р и М на три равные части. Найти вектор BP .
Решение. В ∆ВАР (рис. 1.6) находим вектор BP
BA
AP
=
+
, но вектор 
AP
AC
= 1
3
. В ∆ABC находим вектор AC
BC
BA
AC
=
−
⇒
=
−
c
a  и AP =
−
(
)
1
3 c
a
 
AP =
−
(
)
1
3 c
a . Тогда вектор BP
BP
=
+
−
(
) ⇒
=
+
(
)
a
1
3
1
3 2
c
a
a
c .
Пример 1.2. В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона 
AB = a, нижнее основание AD = c, ∠BAD = 60°. Найти стороны BC и
BD  и диагонали AC и BD  трапеции.
Решение. В равнобедренной трапеции ABCD (рис. 1.7) строим 
ВР || CD, тогда ∆АВР – равносторонний и вектор AP
AP
=
⋅
⇒
=
⋅
a c0
a
c c.
Вектор BC
PD
BC
AD
AP
BC
=
⇒
=
−
⇒
=
⋅
−


⋅
c – a
c c=
a
c
с
1
. 



Вектор BD
AD
AB
=
−
=
−
c
a.  
Вектор CD
BP
CD
AP
AB
CD
=
⇒
=
−
⇒
=
⋅−
a
c c
a. 
6

Рис. 1.6
Рис. 1.7
Вектор AC
AB
BC
AC
=
+
⇒
=
+
−


⋅
a
a
c
c
1
.



Пример 1.3. ∆ABC построен на векторах AB = a, AC = c. Найти вектор AM, коллинеарный биссектрисе ∠BAС если точка М лежит на 
стороне ВС.
Решение. В ∆АВМ (рис. 1.8) вектор AM  = AB
BM
+
, но вектор 
 
BM
BC
BM
=
⇒
=
⋅
−
(
)
c
a
c
a
–
λ
. Вектор AM
AM
=
+
⋅
−
(
) ⇒
=
a
c
a
λ
 
=
−
(
)⋅
+
⋅
1 λ
λ
a
c. Вектор AP принадлежит биссектрисе ∠ВАС, так как 
является диагональю ромба, построенного на ортах a0 = a
с .
a и с0 = с
Следовательно, вектор AP =
+
a
a
c
c . Но вектор AM
AP. Из условия 
коллинеарности этих векторов (1 – λ) ⋅|а| = λ ⋅|с| находим λ = 
a
a
c
+
, 
a
c
⇒
.
тогда вектор  AM
AM
=
+
+
−
(
)
⋅
+
⋅
+
a
a
a
c c
a
c a
a c
Рис. 1.8
7

Пример 1.4. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 построен на векторах 
AB = a, AD = b, AA1 = c. Выразить через них векторы BD
1  и CP, где 
точка Р делит ребро А1В1 в соотношении 2:1.
Решение. Вектор BD
1  (рис. 1.9) находим как сумму векторов BA, 
AA
1  и A D
1
1 , тогда BD
BA
AA
A D
BD
1
1
1
1
1
=
+
+
⇒
= −+
+
a
c
b.
Вектор CP  находим как сумму векторов СС1, C B
1
1 и B P
1 , тогда 
⇒
=
−
−
CP
c
b
a
1
3 .
Рис. 1.9
Задачи для самостоятельной работы
1.1. Найти сумму и разность коллинеарных векторов, заданных 
преподавателем.
1.2. Даны векторы а и b. Построить векторы 3
1
2
⋅
+
⋅
a
b;  1
3
2
⋅
−⋅
a
b.
1.3. В правильном шестиугольнике ABCDЕР векторы AB = p, 
BС = q. Выразить через р и q векторы AC, AD, DE, EF , CD, FA, AE.
1.4. ∆АВС построен на векторах AB = a, BC = b. Выразить через а, 
b медианы треугольника.
1.5. ∆АВС построен на векторах AB = b, AC = a. Найти вектор произвольной длины, коллинеарный биссектрисе ∠ABC.
1.6. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 построен на векторах AB
AD
=
=
m  
n
,
AB
AD
AA
=
=
=
m  
n
p
,
,
1
. Выразить через них векторы C A
1
 и DB1.
1.7. В треугольной пирамиде SABC, где ∆АВС – основание, S – 
вершина, даны векторы SA = a, SB = b, SC = c. Выразить через них 
вектор SM, где М – точка пересечения медиан ∆АВС.
8