Векторная алгебра в задачах аналитической геометрии

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
С. В. Галкин 
 
 
Векторная алгебра  
в задачах аналитической геометрии 
 
Методические указания к выполнению  
домашнего задания 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

 
УДК 514.1 
ББК 22.151.5 
        Г16 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/93/book1569.html 
Факультет «Фундаментальные науки»  
Кафедра «Прикладная математика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
 МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
Г16 
Галкин, С. В. 
 
Векторная алгебра в задачах аналитической геометрии : методические указания к выполнению домашнего задания /  
С. В. Галкин. Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2017. — 29, [3] с. 
ISBN 978-5-7038-4573-8 
 
Рассмотрены основные операции в векторной алгебре и их применение для решения типовых задач на плоскость и прямую в аналитической геометрии. Приведен пример решения домашнего задания по аналитической геометрии для студентов первого семестра МГТУ  
им. Н.Э Баумана. 
Для студентов первого курса МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей. 
 
УДК 514.1 
 
ББК 22.151.5 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4573-8                                             МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
2 

 
 
Предисловие 
Первокурсники МГТУ им. Н.Э. Баумана начинают знакомиться с математикой в процессе изучения математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии. Для них это отдельные, изолированные 
абстрактные дисциплины. Только позже из физики, теоретической механики, спецдисциплин они поймут, что математика лежит в основе описания 
мира, а математические методы и модели используются повсюду. Математика — это язык, на котором написана современная наука. Инженер не 
сможет работать успешно, не зная основ математики и ее методов.  
Традиционный метод подготовки инженеров-бауманцев заключается в системном изложении технических знаний на основе современной 
математики и ее методов. Инженер-бауманец способен сформулировать 
техническую задачу, выбрать математическую модель и метод решения, 
написать алгоритм и программу численного решения задачи, получить 
результат, осмыслить его и реализовать на практике.  
В своем изданном в 1637 г. труде «Рассуждении о методе…» Рене Декарт изложил аналитическую геометрию, позволяющую решать геометрические задачи не построением, а точным вычислением. Его обозначения, 
декартову систему координат, уравнения прямой и плоскости используют 
уже почти четыреста лет. С другой стороны, из физических и механических 
задач пришло понятие вектора — направленного отрезка. В математике 
используются свободные векторы, которые можно переносить параллельно 
самим себе. Сила, момент силы, перемещение — это векторы. Оказалось, 
что векторы и операции векторной алгебры можно применять и в задачах 
аналитической геометрии для вычисления проекций, площадей, объемов и 
т. д. Это позволяет просто и точно решать практические задачи. 
В настоящих методических указаниях рассмотрены основные операции векторной алгебры и их свойства. Показано, как эти операции 
можно использовать в задачах аналитической геометрии на плоскость и 
прямую. Приведены типичные задачи о взаимном расположении прямых и плоскостей, о расстоянии между ними, о площадях и объемах 
геометрических фигур. 
На кафедре прикладной математики разработано домашнее задание для 
студентов первого курса, состоящее из большого количества различных 
задач аналитической геометрии. В методических указаниях показано, как 
их решать, и приведен пример выполнения конкретного варианта домашнего задания. 
 
3 

 
 
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 
1.1. Векторная алгебра, основные операции 
1.1.1. Сложение векторов и умножение на число 
Проще всего определить вектор как направленный отрезок. 
В математике рассматриваются свободные векторы, которые 
можно переносить параллельно самим себе, а в механике — еще 
и скользящие, принадлежащие некоторой прямой, и закрепленные, начало которых фиксировано. 
Для векторов вводятся операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число.  
Операция сложения векторов имеет несколько свойств. Первые три из них означают, что векторы (свободные) образуют 
группу по сложению, а четвертое — что эта группа коммутативна, или абелева: 
 (
)
(
)
a
b
c
a
b
c










— ассоциативность по сложению; 
 
0
a
a




 — существование нуль-вектора; 
 
0;
a
a





 
 a
b
b
a






 — коммутативность. 
Следующие два свойства относятся к умножению вектора на 
число: 
 (
)
(
)
a
a



 — ассоциативность по умножению на число; 
 1 
.
a
a


 
Еще два свойства дистрибутивности относятся к обеим операциям: 
 (
)
;
a
b
a
b







 
 (
)
.
a
a
a




 
4