Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
И.Е. Кандаурова, О.В. Михайлова 
 
 
Интегрирование рациональных дробей. 
Метод Остроградского 
Методические указания к решению задач  
по дисциплине «Интегралы и дифференциальные уравнения» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 517.31 
ББК 22.1 
        К19 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/122/book1466.html 
Факультет «Фундаментальные науки»  
Кафедра «Математическое моделирование» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
 МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
Рецензент И.С. Казей 
К19 
Кандаурова, И. Е. 
 
Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского : 
методические указания к решению задач по дисциплине «Интегралы и дифференциальные уравнения» / И. Е. Кандаурова, О. В. Михайлова. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 
38, [2] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4460-1 
Издание содержит рекомендации для подготовки к практическим занятиям по интегрированию рациональных дробей и для использования указанного метода при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлены методы разложения правильных и неправильных дробей на простейшие правильные дроби четырех видов для дальнейшего  интегрирования. Рассмотрен метод Остроградского, подробно разобраны решения задач со ссылками на нужные формулы, предложены задачи для самостоятельного решения. Все разделы снабжены примерами.  
Для студентов технических специальностей, изучающих курс «Интегралы и дифференциальные уравнения». Могут быть полезны преподавателям для подготовки и проведения практических занятий. 
 
 
УДК 517.31 
 
ББК 22.1 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4460-1                                          МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
2 

 
 
Предисловие 
Методические указания посвящены методам разложения правильных и неправильных дробей на простейшие правильные дроби 
четырех видов для дальнейшего интегрирования. Рассмотрен метод Остроградского, суть которого состоит в выделении рациональной части первообразной. 
Настоящее издание включает предисловие, введение, четыре 
раздела и заключение. В первом разделе даны основные определения и понятия о рациональных функциях, о правильных и неправильных дробях, способы выделения целой части в неправильной 
дроби, приведены частные приемы интегрирования рациональных 
дробей. Во втором разделе изложены методы разложения рациональных дробей на простые, рассмотрены виды простых дробей и 
способы их интегрирования с помощью метода неопределенных 
коэффициентов. В третьем разделе рассмотрен метод Остроградского, изложена его суть, достоинства и недостатки. В четвертый 
раздел включены задачи для самостоятельного решения, которые 
снабжены ответами. Во всех главах приведены примеры со ссылками на необходимые формулы. 
Методические указания могут быть использованы студентами 
технических специальностей вузов, изучающих курс «Интегралы и 
дифференциальные уравнения» для подготовки к практическим 
занятиям и контрольным работам в рамках балльно-рейтинговой 
системы, экзаменам, при выполнении домашних заданий по указанной теме. Материал работы может быть полезен для преподавателей, ведущих практические занятия. 
 
3 

 
 
Введение 
Элементарные приемы вычисления неопределенных интегралов не определяют точно путь, по которому надлежит идти, чтобы вычислить данный интеграл, предоставляя многое искусству 
вычислителя. В работе подробно рассматривается интегрирование рациональных выражений и по отношению к их интегралам 
устанавливается определенный порядок вычислений. 
В курсе дифференциального и интегрального исчислений 
охарактеризовано многообразие функций, к которым в первую 
очередь применяется анализ. Это так называемые элементарные 
функции и функции, которые выражаются через элементарные с 
помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций без предельного перехода. Известно, что все такие функции дифференцируемы и их производные принадлежат к тому же 
многообразию. Иначе обстоит дело с их интегралами: очень часто оказывается, что интеграл от элементарной функции сам к 
этому классу не принадлежит. Важно подчеркнуть, что все эти 
интегралы реально существуют, но они представляют собой совершенно новые функции и не приводятся к тем функциям, которые называются элементарными. 
Известны сравнительно немногие общие классы функций, для 
которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде. На первое место среди них следует поставить важный класс 
рациональных функций. 
 
 
4