Кратные интегралы и теория поля

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
Б.Т. Добрица, И.В. Дубограй, О.В. Скуднева 
 
Кратные интегралы и теория поля  
 
 
Методические указания к практическим занятиям 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
УДК 517.37, 517.373 
ББК 22.161 
        Д56 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1402.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
 
Рецензенты:  
канд. физ.-мат. наук, доцент Л.Д. Покровский, 
д-р физ.-мат. наук, профессор И.Ф. Чебурахин 
Добрица, Б. Т. 
Кратные интегралы и теория поля: методические указания 
Д56 
 
к практическим занятиям / Б. Т. Добрица, И. В. Дубограй,  
О. В. Скуднева. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 144, [4] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4313-0 
 
Издание содержит основные понятия, определения и формулировки по темам «Кратные интегралы и их приложения» и «Криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля». 
Подробно рассмотрены примеры решения задач по данной тематике. Решения некоторых задач проверены с помощью компьютерной программы MathCAD. 
Для студентов факультета «Энергомашиностроение» МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, обучающихся по программам бакалавриата. 
Может быть полезно студентам всех специальностей, осваивающих данный раздел математического анализа. 
 
УДК 517.37, 517.373 
 
ББК 22.161 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4313-0                                             МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы составляют основу раздела «Интегральное исчисление функции многих 
переменных» в курсе математического анализа. Теория поля изучается в контексте пройденного материала из данного раздела. 
Методические указания построены в виде подробного плана 
проведения занятий для студентов, осваивающих данный материал без чтения лекций. В сжатой форме изложены все необходимые сведения из теории [1–5], подробно разобраны решения 
типовых задач, предложены текущие домашние задания, в приложении даны индивидуальные задания, необходимые для закрепления полученных знаний. 
Предложенный в издании математический аппарат будет полезен студентам при изучении некоторых разделов физики (например, 
динамики и электромагнетизма), выполнении вероятностно-статистических расчетов в теории надежности, решении специальных технических задач, предусмотренных учебными программами направлений подготовки факультета «Энергомашиностроение». 
 
 
3 

 
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 
Занятие 1. Двойной интеграл 
Определение двойного интеграла. Теорема существования 
Пусть на координатной плоскости XOY дана замкнутая ограниченная область D с кусочно-гладкой границей, имеющая площадь S и конечный диаметр d (рис. 1.1), и пусть в этой области 
задана функция f (x, y).  
Разобьем область D на n элементарных областей, не имеющих 
общих внутренних точек, с параметрами 
i
 и 
,
i
d
 где 
i
 — площадь i-области; 
i
d  — ее диаметр (
i
d  — наибольшее расстояние 
 
между границами). В каждой элементарной области выберем произвольную точку 
( ,
)
i
i
i
P x y
, в которой вычислим значение функции 
.
i
f P
 Сумма  
n
n
i
i
i
S
f P
            

1




             (1.1) 
 
Рис. 1.1 
называется интегральной.  
Определение 1.1. Двойным интегралом 
(
)
,
f
d
x y


 от функции f (x, y) по области D называется преD
дел интегральной суммы (1.1) при неограниченном возрастании 
числа разбиений n-области D и стремлении наибольшего из диаметров разбиения к нулю (если этот предел существует): 
n
1
max
0
max
0
,
,
(
)
(
)
lim
lim
(
,
)
.
n
i
i
i
n
n
i
D
D
d
d
x y
x
f
d
f
dxdy
S
f x
y
y












 (1.2) 
i
i
Область D называется областью интегрирования.  
Теорема 1.1 (существования двойного интеграла). Если 
функция f (x, y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D 
(с кусочно-гладкой границей, имеющей конечную площадь и 
диаметр), то она интегрируема по этой области, т. е. существует 
предел интегральной суммы (1.1) при n  и max
0
i
d 
, не 
4 

зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от 
выбора точек 
i
P . 
Свойства двойного интеграла 
1. Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы по области D, 
то их линейная комбинация тоже интегрируема по этой области: 


,
,
,
(
)
( , )
(
)
(
)
D
D
D
x y
x
f
g x y
dxdy
f
dxdy
g
y
dxdy
x y







 
(свойство линейности). 
2. Если область D разбита на две части 
1
D  и 
2
D , не имеющие 
общих внутренних точек, то  
f
dxdy
f
dxdy
f
dx
x y
x y
x y
dy





 
D
D
D
1
2
(
)
(
)
(
,
,
, )
(свойство аддитивности). 
3. Если функция 
(
)
1
,
f x y  в области D, то двойной интеграл 
от единичной функции численно равен площади области интегрирования S(D): 


1
D
dxdy S D


 
(интеграл от единичной функции). 
4. Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы по области D и 
f (x, y) ≤ g(x, y) на D, то  
(
(
)
,
,
)
D
D
f
d
x y
x
xdy
g
dxdy
y



 
(свойство интегрирования неравенств). 
Замечание. Имеет место неравенство 
(
)
,
D
f
dx
y
dy
x


 
)
,
(
,
D
f
d
x
xdy
y

 которое следует из того, что 
)
,
(
f x y

 
(
)
,
,
,
(
)
f x y
f x y


 и из свойства 4. 
5 

5. Если функция f (x, y) интегрируема по области D и в этой 
области 


,
,
M
m
f x y


 то  




(
)
,
D
mS D
f
dxdy
M
x
D
y
S



 
(теорема об оценке двойного интеграла). 
6.  Если функция f (x, y) непрерывна в области D, то существует 
хотя бы одна точка 
0
,
P
D

 для которой выполняется равенство 



0
(
)
,
D
f
dxdy
f P S
x y
D


 
(теорема о среднем). 
Геометрический смысл двойного интеграла 
Если f (x, y) > 0, то двойной 
интеграл 
(
)
,
D
f
d
y
xdy
x

 численно 
равен объему тела, нижним основанием которого является область D, ограниченного цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ, и 
поверхностью 
(
)
,
z
f x y

 (рис. 
1.2): 
 
Рис. 1.2 
     
)
.
,
(
D
V
f
d
y
xdy
x

  
(1.3) 
Пример 1.1. Вычислить двойной интеграл по области D от 
функции 
,
z
xy

 если область D  задана в виде 0
1;
y


 0
1.
x


 
Решение. Разобьем квадрат на 
2
n  частей. Тогда 
i
 
2
1 1
1 .
n n
n


 Выберем точки в правой верхней вершине каждого 
квадрата (рис. 1.3). Значение функции z
xy

 в этих точках будет 
равно 


1, 2,
, ;
1, 2,
,
.
i j
i
n j
n
n n




 
6 

Рис. 1.3 
Согласно формуле (1.2),  
n
n
1
lim


xy dxdy
i
j
n



n
i
j
D


 
2
1
1
2





2
2
n
n


1
1
1
1
lim
1
2
3 ...
1
2
3 ...
lim
.
2
4
n n
n
n
n
n
















В подавляющем большинстве случаев вычисление пределов 
интегральных сумм представляет собой сложную и трудновыполнимую задачу. Для достижения результата эффективнее 
использовать повторный интеграл. 
Повторный интеграл 
Повторным называется двойной интеграл вида  
y
x
x

2
2
 
x
y
x
dx
f
d
x
y
y


 
(1.4)  

1
1
)
,
(
или  
y
x
y
( )
2
2
 
y
x
y
x y
dy
f
dx


 
(1.5) 
( )
(
)
.
,
1
1
7 

При вычислении первого из указанных повторных интегралов 
y
x
( )
2
сначала берут внутренний интеграл 
f
dy
x y

 по переменной 
y
x
( )
(
)
,
1
y  (при этом x  играет роль параметра), а затем полученную 
функцию интегрируют по переменной x: 
x
y
x
x
y
x
( )
( )
2
2
2
2
dx
f
dy
f
dy dx
,
(
)
( , )
x
y
x y




( )
( )
1
1
1
1










 
x
y
x
x
y
x
x
2
F x y
x
F x
,
( )
,
( )
,
y
x
dx




2
1







x
1
где 
,
(
)
F x y  — первообразная функция 
,
(
)
f x y  по 
,
y  т. е. 
(
)
.
,
(
,
)
y
y
f
x
x
F
y


 
Аналогично 
y
x
y
y
x
y
( )
( )
2
2
2
2
dy
f
dx
f
dx dy
,
,
(
)
(
)




y
x
y
y
x
y
( )
( )
1
1
1
1
x y
x y










 
y
2
F x
y
y
F x y
y
dy
( ),
( ),
,




2
1







y
1
где 
(
)
.
,
(
,
)
x
y
f
x
x
F
y


 
x
2
2
Пример 1.2. Вычислить повторный интеграл 
x
dx
dy
y


 
x
2
1
1
.
Решение. Вычислим сначала внутренний интеграл (при этом 
множитель 
2
x  играет роль параметра, не зависящего от переменной интегрирования), вынесем 
2
x  за знак этого интеграла и 
возьмем определенный интеграл от получившегося выражения: 
x
x
x
1
1
9.
4
x
dy
dx
dy
x dx
x
dx
x
x
dx
y
x
y
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x

























 
8 

Переход от двойного интеграла к повторному.  
Расстановка пределов интегрирования 
Для вычисления значения двойного интеграла (1.1) необходимо перейти к повторному интегралу вида (1.4) или (1.5). Способ перехода зависит от вида области D. 
Определение 1.2. Область, ограниченная слева и справа прямыми 
1
x
x

 и 
2,
x
x

 а сверху и снизу кривыми 
1( )
y
y x

 и 
2( ),
y
y
x

 такими, что любая прямая 
0
x
x

 

1
0
2 ,
x
x
x


 проведенная через область D, пересекает каждую из кривых 
1( )
y
y x

 
и 
2( )
y
y
x

 в одной точке, называется y-правильной. При этом 
точку А называют точкой входа в область, а точку В — точкой 
выхода из области (рис. 1.4, а), т. е. область D  является yправильной, если 


1
2
1
2
( , ) |
,
( )
( ) .
D
x y
x
x
x
y x
y
y
x





  
Рис. 1.4 
Определив пределы изменения переменных по области D, 
расставим пределы интегрирования в повторном интеграле:  
x
y
x
( )
2
2
 
f
dxdy
dx
f
dy
x y
x y




 
(1.6) 
D
x
y
x
( )
.
,
(
)
)
,
(
1
1
Аналогично вводится понятие x-правильной области (рис. 1.4, б). 
В этом случае 


1
2
1
2
(
)|
,
(
,
)
( )
D
y
y
y
x y
x x
y
x y



 и согласно (1.5), 
y
x
y
( )
2
2
 
f
dxdy
dy
f
dx
x y
x y




  
(1.7)  
D
y
x
y
( )
.
,
(
)
)
,
(
1
1
9 

Пример 1.3. Расставить двумя способами пределы интегирования в двойном интеграле 
(
)
,
,
f
dxdy
x y

 где D — треугольник с 
D
вершинами А(0,0), В(1,1), С(1,0). 
Решение. Построим область D. Она одновременно является 
как y-, так и x-правильной. Поэтому первый способ расстановки 
пределов при переходе к повторному интегралу выглядит следующим образом.  
Для всех точек данной области переменная x  изменяется между 
1
0
x 
 и 
2
1,
x 
 а переменная y  для любого из этих x  — от y  
1( )
0
y x


 до 
2( )
,
y
y
x
x


 т. е. D  

(
) | 0
1, 0
,
.
x
x
x
y
y





 
Определив пределы изменения переменных по области D, 
расставим пределы интегрирования в повторном интеграле: 
x
y
x
x
( )
1
2
2
D
x
y
x
( )
0
0
(
)
(
(
)
,
,
)
,
.
1
1
f
dxdy
dx
f
dy
dx
f
dy
x y
x y
x y






 
Изменим порядок интегрирования, т. е. расставим пределы интегрирования в повторном интеграле 
вторым способом. На рис. 1.5 
видно, что для всех точек данной 
области переменная y  изменяется 
между 
1
0
y 
 и 
2
1,
y 
 а переменная 
x  для любого из этих y  — от 
 
Рис. 1.5 
1( )
x
x
y
y


 до 
2( )
1,
x
x
y


 т. е. 


(
) | 0
1,
.
,
1
D
y
x
x
y
y





 В результате получаем 
y
x
y
( )
1
1
2
2


f x y dxdy
dy
f
dx
dy
f
x
x y
x y d






 
D
y
x
y
y
( )
0
,
)
.
,
,
(
)
(
1
1
Пример 1.4. Изменить порядок интегрирования в повторном 
2
2
x
интеграле 
2
0
2
,
(
)
.
x x
x y
dx
f
dy



 
Решение. Из данного интеграла следует, что область 
интегрирования ограничена прямыми 
0,
x 
 
2
x 
 и кривыми
10