Вариационное исчисление

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
Н.С. Полякова 
Вариационное исчисление 
Методические указания к выполнению домашнего задания  
по дисциплине «Методы оптимизации» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 517.97 
ББК 22.161.8 
 
П54 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1274.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
Рецензент 
д-р техн. наук, профессор Н.И. Сидняев 
Полякова, Н. С. 
П54  
 
Вариационное исчисление : методические указания к выполнению домашнего задания по дисциплине «Методы оптимизации» / Н. С. Полякова. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2015. — 36, [4] с.  
ISBN 978-5-7038-4216-4 
Рассмотрены шесть основных типов задач вариационного исчисления: простейшая, Больца, с подвижными концами, изопериметрическая, со старшими производными и Лагранжа. Изложены 
основные определения и теоремы, относящиеся к рассматриваемым 
типам задач. Для каждого типа задач приведены примеры их решения, иллюстрирующие применение изложенных теорем при отыскании экстремальных траекторий. Даны условия 20 вариантов типового расчета, состоящего из пяти задач. Перед условиями задач указаны их типы, по названиям которых в оглавлении можно найти 
теоретические сведения, необходимые для их решения, и соответствующий пример. 
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Математика и компьютерные науки» и специальности «Прикладная 
математика», а также студентов машиностроительных специальностей, изучающих дисциплину «Методы оптимизации». 
 
  УДК 517.97 
 
  ББК 22.161.8 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4216-4 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
2 

Предисловие 
В задачах по физике нередко возникает необходимость найти 
максимальные или минимальные значения величин особого рода, 
называемых функционалами. Это переменные величины, значения 
которых определяются выбором одной или нескольких функций. 
Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, 
что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен 
достигать минимума или максимума. В такой формулировке эти 
законы носят название вариационных принципов механики и физики. К числу таких вариационных принципов или простейших 
следствий из них принадлежит принцип наименьшего действия, а 
также законы сохранения энергии, импульса и количества движения, различные вариационные принципы классической и релятивистской теории поля, принципы Ферма в оптике и Кастилиано в 
теории упругости и многие другие.  
Методические указания способствуют закреплению у студентов умений оперировать основными определениями и понятиями курса, относящимися к вариационному исчислению, применять теоретические знания в практике решения задач на безусловный и условный экстремум функционалов; вычислять экстремали 
для различных задач вариационного исчисления и исследовать их 
на выполнение достаточных условий экстремума. 
3 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ  
ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА  
И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 
1.1. Предварительные сведения  
Предметом вариационного исчисления являются разнообразные задачи на нахождение функций вещественной переменной, 
обеспечивающих экстремум функционала при выполнении накладываемых на эти функции условий. 
Если каждому элементу 
( )
y
y x

 некоторого множества функций Y поставлено в соответствие определенное число J, то говорят, 
что на множестве Y задан функционал ( )
[ ( )].
J y
J y x

 
Линейные функционалы уже встречались в курсе линейной алгебры. Примером нелинейного функционала может служить выражение 
1
2
2
 
 
0
( )
(
)
(1).
J y
y
y dx
y




 
Множество вещественнозначных функций ( ),
y x  определенных 
на отрезке [ ; ]
a b  и непрерывно n раз дифференцируемых на нем, 
будем обозначать 
[ ; ],
n
C
a b  при этом норма  
 
( )
[ ; ]
[ ; ]
[ ; ]
[ ; ]
|| ||
max{max| ( )|, max|
( )|,..., max|
( )|}
n
n
C
a b
a b
a b
a b
y
y x
y x
y
x


  
превращает это множество в нормированное линейное пространство, а следовательно, определено расстояние 
*
( ,
)
n y y

 
*
[ ; ]
||
||
n
C
a b
y
y


 между элементами 
*
( )  и  
( )
y x
y
x  этого пространства. 
4