Как исследовать числовые ряды

Московский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана
З. Ф. Столярова, О. В. Тырина
Как исследовать числовые ряды
Учебное пособие
Под редакцией А. Г. Станевского

УДК 517.37
ББК 22.161
 
С81
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/95/book1016.html
Головной
 
учебно-исследовательский
 
ɢ
ɦ
ɟ
ɬ
ɨ
ɞ
ɢ
ɱ
ɟ
ɫ
ɤ
ɢ
ɣ
центр

профессиональной реабилитации лиц с ограниченными
возможностями здоровья (ГУИМЦ )
Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
Рецензенты:
канд. техн. наук, доцент Л. А. Панченко,
д-р физ.-мат. наук, профессор В. В. Феоктистов
 
Столярова, З. Ф.
С81
Как исследовать числовые ряды : учебное пособие / З. Ф. Столярова, О. В. Тырина ; под редакцией А. Г. Станевского. — Москва : 
Издательство МГТУ им. Н.  Э. Баумана, 2015. — 124, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4073-3
В пособии, предназначенном для самостоятельной работы обучающихся по курсу «Математический анализ», особое внимание 
уделено причинно-следственным связям, рассмотрена схематизация 
исследования рядов, показано разбиение процесса исследования на 
последовательные операции. Приведены примеры с  подробными 
решениями, задачи для самостоятельного решения. 
Для студентов 2-го и 3-го курсов ГУИМЦ, а также студентов 2‑го 
курса общих потоков.
УДК 517.37
ББК 22.161
ISBN 978-5-7038-4073-3
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015
© Оформление Издательство МГТУ
 
им. Н. Э. Баумана, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие содержит обучающий и  контролирующий 
материал по теме «Числовые ряды» и может быть использовано студентами для подготовки к контрольной работе, коллоквиуму, аттестации, защите домашнего задания, сдаче зачета и экзамена.
Пособие состоит из введения и четырех глав, где кратко изложена теория (некоторые теоремы приведены без доказательств), представлены графические иллюстрации, разбор примеров и задачник 
со сквозной нумерацией. Пособие не заменяет конспекта лекций, 
а лишь дополняет его, акцентируя внимание на некоторых вопросах. Часть задач взята из книги «Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов» под редакцией Б. П. Демидовича (М.: 
АСТ; Астрель, 2006). Во введении и гл. 4 приведен справочный материал, необходимый для решения задач.
3

ВВЕДЕНИЕ
В1. Зачем нужно изучать ряды?
Бесконечный ряд и его сумма относятся к основным понятиям 
математического анализа (наряду с функцией, пределом, производной, интегралом и т. д.).
Использование рядов является одним из основных методов вычислительной математики. Простейший пример: когда вы на калькуляторе хотите получить значение sin 1, то  калькулятор дает число 0,8415…, равное частичной сумме ряда 
1
1
1
sin1
1
...,
3!
5!
7!
= −
+
−
+
 
причем калькулятор «умеет выполнять» только четыре действия 
арифметики: сложение, вычитание, умножение и деление(1). В вычислительные машины заложены пакеты стандартных программ для вычисления значений функций с помощью рядов. В теории функций 
комплексного переменного трансцендентные(2) функции вводятся 
с помощью рядов. Например, свойства трансцендентной функции ех 
действительной переменной х мы изучаем, не применяя ряды (за исключением приближенного вычисления этой функции). Для комплексного переменного z
x
iy
=
+
 функция еz по определению вводится в виде ряда: 
n
z
z
z
e
z
n
= +
+
+
+
+
, вид которого совпадает 
2
1
...
...
2!
!
с рядом для ех при 
:
x ∈  
n
x
x
x
e
x
n
= +
+
+
+
+
. Также по опре2
1
...
...
2!
!
(1)  По определению 
!
1 2 3 ...
n
n
= ⋅⋅⋅
⋅
, т.е. n! равен произведению последовательных чисел от 1 до n (n! произносится «эн факториа́л»), n – произвольное 
натуральное число. Полагают также по определению 0!=1; 1!=1. Напомним, что
(2
1)!
1 2 3
(
1)
(2
1);
n
n n
n
−
= ⋅⋅
+
−


 (2 )!
1 2 3
(
1)
(2
1)(2 ).
n
n n
n
n
= ⋅⋅
+
−


(2) Алгебраические функции образуются из переменных и чисел с помощью 
действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную 
степень, извлечения корня. Остальные элементарные функции – трансцендентные 
(например,  показательные, тригонометрические).

делению в  виде ряда вводится, например, функция sin : sin
z
z = 
n
n
z
z
z
z
n
3
5
1
2
1
( 1)
...
...
3!
5!
(2
1)!
−
−
−
=
−
+
−
+
+
−
, и т. д.
Ряды используют для формирования неэлементарных функций, для 
исследования периодических процессов (тригонометрические ряды).
До  сих пор дифференциальные уравнения, которые вы изучали, 
интегрировались в конечном виде. Теперь добавится и интегрирование 
дифференциальных уравнений, где неизвестная функция сразу ищется 
в виде ряда (что целесообразно для приближенных вычислений).
При изучении курса математики в МГТУ им. Н. Э. Баумана ряды встречаются в математическом анализе, в  теории функций комплексного переменного, отдельно рассматриваются тригонометрические ряды Фурье.
В2. Начальный уровень, или что необходимо знать 
для изучения рядов
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность 
таких чисел (членов прогрессии), что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом одна и та же. Пусть 
a1 – первый член арифметической прогрессии {an}: a1, a2, …, ak, …, 
an и d  – разность прогрессии. Тогда 
2
1
3
2
, 
a
a
d a
a
d
=
+
=
+
 и  т. д. 
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид
	
1
(
1)
n
a
a
d n
=
+
−
.
Для возрастающей прогрессии 
0,
d >
 для убывающей 
0.
d <
Задачи для самостоятельного решения
1. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии, если:
а) 
1
5, 
2;
a
d
= −
=
	
б) 
1
5, 
2;
a
d
=
= −
 
в) 
1
0, 
3;
a
d
=
=
	
г) 
1
1, 
4;
a
d
=
=
д) 
1
7, 
6.
a
d
= −
=
2. Напишите первые четыре члена арифметической прогрессии, для 
которой 
7
3.
n
a
n
=
−
Для вывода формулы суммы Sn первых n членов арифметической прогрессии отметим, что суммы двух ее членов, равноотстоящих от концов последовательности, равны. В самом деле,
5

1
1
1
(
1)
2
(
1);
n
a
a
a
a
d n
a
d n
+
=
+
+
−
=
+
−
2
1
1
1
1
(
)
(
(
2))
2
(
1)
n
a
a
a
d
a
d n
a
d n
−
+
=
+
+
+
−
=
+
−
 и т. д.
Запишем сумму n  членов арифметической прогрессии двумя 
способами (в прямом и обратном порядке):
S
a
a
a
a
a
...
;
=
+
+
+
+
+
n
n
n
1
2
3
1
−
	
S
a
a
a
a
a
...
.
=
+
+
+
+
+
n
n
n
n
1
2
2
1
−
−
Сложим оба равенства, при этом сгруппируем слагаемые, стоящие одно под другим:
1
2
1
3
2
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
...
(
)
(
).
n
n
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
В правой части равенства содержится n скобок, причем, как показано выше, каждая скобка равна одному и тому же выражению:
	
1
2
1
1
1
(
)
(
)
...
(
)
2
(
1).
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
d n
−
+
=
+
=
=
+
=
+
−
Следовательно, 
(
)
1
1
2
(
)
2
(
1) .
n
n
S
n a
a
n
a
d n
=
+
=
+
−
 Отсюда
n
n
a
a
S
n
+
=
	
(
)
1
2
(
1) 2
n
n
S
a
d n
=
+
−
 или 
1
.
2
Геометрическая прогрессия
Пусть имеется последовательность чисел b1, b2, …, bk, …, bn, 
причем каждый следующий член получается из предыдущего умножением на  одно и  то  же число  q: 
2
2
1
3
2
1
, 
,
b
b q b
b q
b q
=
=
=
⋅
2
1
3
2
1
1
 
, ..., 
.
n
n
b
b q
b q
b
b q −
=
=
=
Последовательность чисел 
1
2
,
, ...,
, ...,
,
k
n
b b
b
b  определенная таким образом, называется геометрической прогрессией. Число q  – 
знаменателем прогрессии.
Вычислим суммы нескольких первых членов геометрической 
прогрессии:
	
1
1;
S
b
=
в случае q 1
q ≠ 1 имеем
2
	
q
q
q
S
b
b
b
b q
b
q
b
b
q
q
2
1
2
1
1
1
1
1
(1
)(1
)
1
(1
)
;
1
1
+
−
−
=
+
=
+
=
+
=
=
−
−
	
2
2
3
1
2
3
1
1
1
1(1
)
S
b
b
b
b
b q
b q
b
q
q
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
6

3
	
1
1
(1
)(1
)
1
(1
)
1
q
q
q
q
b
b
q
q
+
+
−
−
=
=
−
−
и т. д.
Можно предположить, что формула для cуммы Sk имеет вид
k
	
1
1
, 
1.
1
k
q
S
b
q
q
−
=
≠
−
Методом математической индукции (см.  4.1) докажем, что она 
справедлива для любого числа членов. При  k = 1 сумма   
1
1
1
1
1
q
S
b
b
q
−
=
=
−
. 
Предположим, что формула справедлива для Sn - 1:
n
1
−
	
n
q
S
b
q
q
1
1
1
, 
1.
1
−
−
=
≠
−
Тогда
	
n
n
n
n
n
q
S
S
b
b
b q
q
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
=
+
=
+
⋅
=
−
1
1
1
1
	
n
n
n
n
n
n
q
q
q
q
q
b
q
b
b
q
q
q
1
1
1
1
1
1
.
1
1
1
−
−
−
−


−
−
+
−
−
=
+
=
=


−
−
−


Формула для суммы n членов геометрической прогрессии доказана. Итак, для любого 
,
n ∈  
1.
q ≠
n
	
1
1
.
1
n
q
S
b
q
−
=
−
Если геометрическая прогрессия конечна, т. е. содержит конечное число слагаемых, то ее сумма существует и вычисляется по указанной выше формуле. Если геометрическая прогрессия бесконечна, то  ее  суммой называют предел, к  которому стремится  Sn при 
.
n →∞ Возможны следующие варианты:
1 –
q <
 тогда 
0
n
q →
 при n →∞ и сумма Sn имеет конечный преn
дел 
1
1
1
lim
lim
;
1
1
n
n
n
b
q
S
S
b
q
q
→∞
→∞


−
=
=
=


−
−


1 –
q >
 в этом случае 
n
q
→∞ при n →∞ и конечного предела Sn не существует (условно записывают 
);
S = ∞
7

–
q =
 прогрессия состоит из  одинаковых членов: b1, b2  = 
1
1
3
2
1
1
, 
1
, ...
b
b
b
b
b
=
⋅=
=
⋅=
 и 
;
S = ∞
1
q = −  – прогрессия имеет вид 
1
1
1
1
;
;
;
; ...;
b
b b
b
−
−
 а  ее сумма 
не  определяется: 
1
1
2
3
1
4
,
0,
,
0, ...,
S
b S
S
b S
=
=
=
=
 т. е. частичная 
сумма Sn не имеет предела. 
Бесконечную геометрическую прогрессию будем называть геометрическим рядом.
В3. Необходимое и достаточное условия
Необходимое и  достаточное условия следует отличать одно 
от другого. Многочисленные ошибки связаны с тем, что необходимое условие студенты путают с достаточным, вместо прямой теоремы пытаются формулировать и доказывать обратную и т. п.
Пусть из условия А следует условие В. Символически это записывается в виде A
B
⇒
(«из А следует B»). Знак «⇒» в математической логике называется импликацией. Импликация A
B
⇒
 означает, 
что выполнение условия А достаточно для того, чтобы выполнилось условие В, а условие В необходимо для того, чтобы имело место условие А.
Например, очевидно, что если целое число делится на 10 (условие А), то оно делится на 2 (условие В). Делимости на 10 достаточно, чтобы число делилось на 2. Делимость на 2 необходима, чтобы 
число делилось на 10.
Далее, если известно, что условие В является необходимым для 
условия А, то если условие В не выполняется, то и А не может выполняться. Действительно, если бы А выполнялось, то обязательно 
выполнялось бы и В, что противоречит предположению, что В не выполняется. Символически этот результат можно записать следующим 
образом. Обозначив невыполнение условия В символом 
B
¬
 (символ 
«¬» означает отрицание «не»), а невыполнение условия A – символом 
,
A
¬
 перепишем последнее предложение следующим образом: 
((
)
(
)
A
B
B
A
⇒
⇒¬
⇒¬
), или «если из A следует В, то из отрицания В следует отрицание A». На самом деле, как мы покажем ниже, 
высказывания (импликации) A
B
⇒
 и 
B
A
¬
⇒¬
 эквивалентны:
	
(
)
(
).
A
B
B
A
⇒
⇔¬
⇒¬
Составим так называемые таблицы истинности формул A
B
⇒
 и 
.
B
A
¬
⇒¬
 В таблицах истинности принято, что условия А и В имеют 
8

значения 1 (истинно) и 0 (ложно): например, А = 1 означает, что «условие А выполняется». Символ импликации «⇒» также имеет значения 1 и 0, причем из истины (значение 1) следует только истина (значение 1), а из лжи (значение 0) может следовать как ложь (значение 0), 
так и истина (значение 1) (отсюда высказывание: «из лжи следует все, 
что угодно»). При составлении таблицы начинаем со значений А = 1, 
В = 1, далее по убыванию значения истинности А (табл. В1):
Таблица В1
A
B
⇒
А
В
⇒
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
Запишем элементы последнего столбца в виде двоичного числа: 
1011. Логическая формула A
B
⇒
 имеет номер 1011. Составим теперь таблицу для формулы 
B
A
¬
⇒¬
 (табл. В2).
Таблица В2
B
A
¬
⇒¬
А
В
B
¬
A
¬
⇒
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
Получаем тот же номер 1001, что доказывает тот факт, что логические формулы A
B
⇒
 и 
B
A
¬
⇒¬
 равносильны (эквивалентны).
Если назвать импликацию A
B
⇒
 прямой теоремой, то  импликация 
B
A
¬
⇒¬
 является теоремой, обратной противоположной. Как показано выше, эти теоремы эквивалентны: (
)
A
B
⇒
⇔
(
).
B
A
⇔¬
⇒¬
 Именно потому, что эти теоремы эквивалентны, 
при доказательстве прямой теоремы иногда применяют метод доказательства от  противного, т. е. доказывают теорему, обратную 
противоположной.
9

Важно понимать, что обратная теорема В 
Â
À
⇒ А не эквивалентна прямой теореме 
.
A
B
⇒
 Действительно, обратная теорема имеет 
другой номер 1101 (табл. В3).
Таблица В3
В 
Â
À
⇒ А
A
B
⇐
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Двойная импликация A
B
⇔
 называется эквивалентностью. 
Двойная импликация A
B
⇔
 имеет номер 1001 (табл. В4).
Таблица В4
A
B
⇔
А
В
⇔
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A
B
⇔
 означает, что условие А необходимо и достаточно для 
условия В (и наоборот). Необходимое и достаточное условие называется критерием. 
Если A
B
⇒
 и  B
C
⇒
, то  A
C
⇒
 (проверьте самостоятельно 
с помощью таблиц истинности).
Различные формулировки для импликации 
:
A
B
⇒
если дано условие А, то будет выполняться условие В;
условие В выполняется тогда, когда выполняется условие А.
Различные формулировки для эквивалентности 
:
A
B
⇔
условие В выполняется тогда и только тогда, когда выполняется 
условие А;
условие В  выполняется, если и  только если выполняется 
условие А.
10