Математическая статистика

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 
 
М. Д. Ковалев, Н. С. Полякова, Х. Р. Федорчук 
 
 
Математическая статистика 
 
Методические указания к выполнению типового расчета  
по курсу «Статистика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 519.2 
ББК 22.172 
К56 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book219.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Вычислительная математика  
и математическая физика» 
Рекомендовано Учебно-методической комиссией  
Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки»  
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве методических указаний 
Рецензент  
канд. физ.-мат. наук, доцент О. В. Пугачев 
 
Ковалев, М. Д. 
К56 
  
 
Математическая статистика : методические указания к выполнению типового расчета по курсу «Статистика» / М. Д. Ковалев, Н. С. Полякова, Х. Р. Федорчук. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 67, [5] с.  
ISBN 978-5-7038-3997-3 
Кратко изложены основы теории математической статистики и 
приведены задачи на нахождение точечных и интервальных оценок,  
регрессионного и однофакторного дисперсионного анализа, на применение параметрических и непараметрических методов статистики. Большинство задач дан  в текстовом виде. 
о
Для студентов 2-го и 3-го курсов машиностроительных и приборостроительных специальностей. 
УДК 519.2 
ББК 22.172 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-3997-3 
 
 
       МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 
 
2 

 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
Методы математической статистики прочно вошли в жизнь. 
Они широко применяются в производстве, медицине, сельском 
хозяйстве, во всех опытных науках и технических дисциплинах. 
При изучении и сравнении различных технологических процессов, 
методов обработки по определенным измеряемым признакам, 
например по точности или по прочности, результаты наблюдений 
используют для получения оценок некоторых величин или для 
проверки предположений — гипотез. 
В данном пособии кратко изложена теория и приведены задачи 
на нахождение точечных и интервальных оценок, регрессионного и 
однофакторного дисперсионного анализа, задачи на применение 
параметрических и непараметрических методов статистики. С более 
подробным изложением теории математической статистики можно 
ознакомиться в изданиях [1 − 4]. Приведенные в пособии условия 
задач типового расчета имеют двойную нумерацию: первое число 
соответствует номеру задачи, второе — номеру варианта.  
 
3 

 
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ  
Предметом математической статистики является суждение о 
случайной величине X  по результатам опытов (случайных испытаний), в которых получаются определенные значения этой случайной величины. Например, при наличии случайных погрешностей измерения физической величины ее можно рассматривать как 
случайную величину, а выводы о ней мы делаем на основании ряда ее значений, полученных при измерении. С некоторой идеализацией то же можно сказать, и когда, например, исследуют распределение по массе зерен пшеницы из большой партии, выбирая 
случайным образом и взвешивая несколько зерен. Выборкой объема n называют совокупность 
0
0
0
1
2
, 
,
,
n
X
X
X
…
 независимых изме
 вычисляемую по формуле 
рений случайной величины X. При этом говорят, что выборка взята 
из генеральной совокупности X. (В примере с зерном генеральной совокупностью можно считать всю партию зерна.) Выборкой 
также называют совокупность независимых одинаково распределенных (так же, как и X) случайных величин 
1,...,
,
n
X
X
 отвечающих результатам n наблюдений случайной величины X.  
Определение. Выборочным начальным моментом k-го порядка называют величину ˆ (
),
k
n
X
µ

1
ˆ (
)
 
. 
  
X
X
n
=
µ
= ∑
n
k
k
n
i
i
1
Выборочный начальный момент 1-го порядка обозначают 
n

1
ˆ (
)
 
X
X
X
n
=
= µ
= ∑
n
i
i
 
1
1
и называют выборочным средним. 
 
4 


υ
 вычисляемую по формуле 
Определение. Выборочным центральным моментом k-го порядка называют величина ˆ (
),
k
n
X

1
ˆ (
)
(
) .
 
υ
 
X
X
X
n
=
=
−
∑
n
k
k
n
i
i
1
Замечание. При 
2
k =
 получаем выборочную дисперсию 
n
1
(
) .
 
2
2
0
1
i
i
S
X
X
n
=
=
−
∑
  
Однако эта оценка оказывается смещенной, поэтому рассматривают оценку дисперсии  
n
 
2
2
1
(
) ,
1
i
i
S
X
X
n
=
=
−
−∑
  
1
n
называемую исправленной выборочной дисперсией.  
Определение. Если имеется две выборки одинакового объема 
   и   
,
n
n
X
Y


 то для них может быть вычислен выборочный корреляционный момент
 
 
1
ˆ (
,
)
(
)(
).
K X
Y
X
X Y
Y
n
=
=
−
−
∑


 
n
n
i
i
i
1
Определение. Выборочным коэффициентом корреляции 
называют величину 
 






 
ˆ (
,
)
ˆ(
,
)
,
ˆ
ˆ
(
)
(
)
K X
Y
X
Y
X
Y
ρ
= σ
σ
n
n
n
n
x
n
y
n
n
n


2
2
где 
2
2
 — выборочные 
1
ˆ (
)
(
) ;
1
ˆ (
)
(
)
y
n
i
i
Y
Y
Y
n
=
σ
=
−
∑
1
1
x
n
i
i
X
X
X
n
=
σ
=
−
∑
 
+∞
дисперсии. 
Замечание. Если известна плотность распределения 
( )
f x  непрерывной случайной величины X, то величины
 
 
(
)
( )
,
k
k
k
m
X
x f x dx
−∞
= Μ
= ∫
 
 
5 

называют теоретическими начальными моментами k-го порядка, а 
величины 
+∞
 
(
(
))
(
(
))
( )
k
k
k
m
X
X
x
X
f x dx
−∞
= Μ
−Μ
=
−Μ
∫

 
— теоретическими центральными моментами k-го порядка.  
В частности, 
1
M(
)
m
X
=
 — математическое ожидание, 
2
(
)
m
D X
=

 — дисперсия случайной величины X.  
2. МЕТОД МОМЕНТОВ 
В математической статистике разработано большое число методов оценивания неизвестных параметров распределения случайной величины X по данным случайной выборки. Метод моментов, 
метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов относятся к числу наиболее часто употребляемых. 
Метод моментов состоит в приравнивании эмпирических (выборочных) моментов, вычисленных по данной выборке, и теоретических, вычисленных по предполагаемой плотности распределения, содержащей неизвестные параметры. Если число полученных 
моментов равно числу неизвестных параметров распределения, 
получают систему уравнений для вычисления этих неизвестных 
параметров. Например, если неизвестен один параметр, то для его 
нахождения достаточно выборочное среднее приравнять к математическому ожиданию. Если неизвестны два параметра, то вычисляют также дисперсию и выборочную дисперсию, в итоге получают второе уравнение и т. д. 
Отметим, что при решении задач, приведенных в методических 
указаниях, используют «неберущиеся» интегралы, приводящие к 
неэлементарным функциям, а именно к функции Лапласа, гамма- и 
бета-функциям Эйлера. Таблицы значений этих функций приводятся в специальной литературе, например [1, 2, 5—7]. Функции 
Лапласа, гамма- и бета-функции Эйлера также встроены в системы 
компьютерной математики Maple, Mathcad и др. 
 
6 

x
t
x
dt
−
Определение. Функцию 
−∞
Φ
=
π ∫
 называют функ2/2
1
( )
e
2
цией Лапласа. 
Перечислим некоторые свойства функции Лапласа:  
1) 
(
)
1
Φ +∞= ; 
2) 
(
)
1
( ).
x
x
Φ −
= −Φ
 
Функция Лапласа является интегральной функцией стандартного нормального распределения. В общем случае нормальное 
(гауссово) распределение с параметрами 
2
( ,
)
m σ
 имеет плотность 
2
2
1
(
)
( )
exp
.
2
2
x
m
f x
⎡
⎤
−
=
−
⎢
⎥
σ
πσ
⎣
⎦
 К числу часто используемых распределений следует отнести также следующие распределения: 
экспоненциальное, 
2
χ  (хи-квадрат), Стьюдента и Фишера.  
Определение. Функцию 
1
+∞
−
−
Γ
= ∫
 называют гамма0
( )
e
x
t
x
t
dt
функцией (Г-функцией Эйлера). 
1
1
1
Определение. Функцию 
0
( , )
(1
)
p
q
p q
x
x
dx
−
−
Β
=
−
∫
 называют 
бета-функцией (В-функцией Эйлера). 
Перечислим некоторые свойства Г-функции. Прежде всего 
( )
x
Γ
 определена, непрерывна и дифференцируема любое число 
раз при 
0
x >
. Далее имеем:  
π
Γ
Γ
−
=
π ;  
1) (1)
1
Γ
= ;  2)
1
( )
2
Γ
=
π ;  3) ( ) (1
)
sin
x
x
x
4) (
1)
( )
x
x
x
Γ
+
= Γ
;  5) ( )
(
1)!
n
n
Γ
=
−
;  
6) 
1 3
(2
1)
1
2
2n
n
n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−
⎛
⎞
Γ
+
=
π
⎜
⎟
⎝
⎠
;  7) 
( )
( )
( , )
.
(
)
x
y
x y
x
y
Γ
⋅Γ
Β
= Γ
+
 
В качестве примера рассмотрим решение задачи 1 варианта 24. Найти методом моментов по выборке 
1,  , n
x
x
…
 точечную 
оценку ˆ
θ  неизвестного параметра θ данного распределения случайной величины, заданной плотностью вероятностей 
 
7 

2
2
(
1)
( )
exp
,  
1.
x
f x
x
⎡
⎤
−
=
−
>
⎢
⎥
θ
θ π
⎣
⎦
 
Решение. Найдем математическое ожидание данной случайной 
величины: 
+∞
+∞
2
 
2
(
1)
М(
)
 ( )
 
 exp
.
x
X
x f x dx
x
dx
⎡
⎤
−
=
=
−
⎢
⎥
θ
θ π
⎣
⎦
∫
∫
 
2
1
−∞
Выполним замену переменной (
1) /
. 
x
t
−
θ =
 Тогда 
1,
x
t
= θ +
 dx = 
= θdt. Далее имеем 
2
2
2
+∞
+∞
+∞
−
−
−
t
t
t
X
t
dt
t
dt
dt
2
2
2
М(
)
(
1)e
e
e
∫
∫
∫
=
θ +
θ
=
θ
+
=
θ π
π
π
0
0
0
 
2
t
2
+∞
−
d
t
∫
θ
π
θ
= −
−
+
=
+
π
π
π
 
2
                                             
 e
(
)
 
1.
2
0
Теперь приравняем полученный теоретический начальный момент 
первого порядка (т. е. найденное математическое ожидание) соответствующему эмпирическому моменту (т. е. выборочному среднему): 
 
M(
)
 ;
X
X
=
   
1
.
X
θ + =
π
 
Решая это уравнение относительно θ, получаем точечную оценку 
(
1)
.
ˆ
X
=
−
π
θ
 
3. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ 
Определение. Функцией правдоподобия случайной выборки 
1
{
,...,
}
n
n
X
X
X
=

 из генеральной совокупности X, закон распреде
ления которой известен с точностью до параметра θ
, называют 
функцию, определяемую как произведение вероятностей: 
 
8