Введение в анализ. Теория пределов. Часть 1

Московский государственный технический университет  
имени Н. Э. Баумана 
 
 
 
 
 
Ф.Х. Ахметова, А.В. Косова, И.Н. Пелевина 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. 
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 
 
Часть 1 
 
Методические указания 
к выполнению домашнего задания 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
2014 
1 

А95 
ISBN 978-5-7038-3795-5
УДК 517 
ББК 22.161 
А95 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/122/book109.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Математическое моделирование» 
Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учебного 
комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана 
Рецензент  канд. техн. наук, доцент А.В. Котович 
Ахметова Ф. Х.  
Введение в анализ. Теория пределов : метод. указания к выполнению домашнего задания / Ф. Х. Ахметова, А. В. Косова, 
И. Н. Пелевина. — Ч. 1. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2014. — 33, [3] с.  
ISBN 978-5-7038-3795-5 
Кратко изложен материал по теории пределов числовых последовательностей и пределов функций. Рассмотрены основные 
понятия, свойства пределов, способы их вычислений. Материал 
сопровождается решением типовых примеров. 
Для самостоятельного изучения темы «Теория пределов» студентами первого курса всех специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
 
УДК 517
 
ББК 22.161 
Учебное издание 
 
Ахметова Фания Харисовна 
Косова Анна Владимировна 
Пелевина Ирина Николаевна 
 
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 
Часть 1 
 
Редактор В.М. Царев 
Корректор О.Ю. Соколова 
Компьютерная верстка С.Ю. Ахмакова 
 
Подписано в печать 24.06.2014. Формат 60×84/16. 
Усл. печ. л. 2,09. Тираж 100 экз. Изд. № 123. Заказ № 
 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул. д. 5, стр. 1.  
 
 
                    
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 
 Оформление. Издательство 
    МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 
2 

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 
Определение 1. Бесконечной числовой последовательностью 
называется функция 
:
n
a
f n



, заданная на множестве 
натуральных чисел.  
Обозначается она следующим образом: .
n
a
 
 
Пример 1. 


1
3 4 5
1
: 1; 2; 3; 4;...
1;
;
;
;...;
;... .
2
4 6 8
2
n
n
n
n















 
Определение 2. Число a называется пределом числовой 
последовательности 
n
a
, если для любого сколь угодно малого 
числа 
0

 найдется такой номер 
,
N
N


 что для каждого 
n
N

 выполняется неравенство 
.
n
a
a

 
Запишем определение, используя логические символы: 







lim
:
0
:
,
n
n
n
a
a
N
N
n
N
a
a











 
 где знак : – равенство по определению. 
 
Рассмотрим неравенство из определения 
n
a
a


n
n
a
a
a
a
a





 для 
.
n
N

 
3 

Таким образом, вне интервала 

,
a
a

 окажется только 
конечное число членов последовательности 
1
2
3
1
,
,
, ...,
,
.
N
N
a a
a
a
a

 
Начиная с номера n  = N + 1, все члены последовательности попадают в интервал 

,
.
a
a


 
Определение 3. Если предел числовой последовательности 
существует и конечен, то числовая последовательность называется 
сходящейся. Если предел последовательности не существует (в 
частности равен ∞), то числовая последовательность называется 
расходящейся. 
В задачах 1, 2 доказать  lim
,
n
n
a
a


 определить для каждого 
значения  ( =0,1; =0,01; =0,001)



 число 

N
N

 такое, что 
n
a
a

 для всех 
,
n
N

 где 
n
a  и a  заданы.  
Задача 1. 
1
1
,
.
2
2
n
n
a
a
n



 
Вычислим предел заданной числовой последовательности: 










 
1
1
1
1
lim
lim
.
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n


Возьмем произвольное  число 
0.

 Найдем 

N
N

, начиная с которого выполняется неравенство 
,
n
a
a

 т. е.  
1
1
2
2
n
n


1
2
n
n
n



1
.
2n

 
Поскольку 
n2
0,
n 
 
1
1
2
2
n
n

 
 
1 ,
2
n 
 

1
2
N







 — целая часть числа, так как 

.
N  
При ε1 = 0,1 
1
5.
2 0,1
N









 Тогда, при 
5
n 
  
4