Краткий курс теории вероятностей

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
 
 
 
 
С.В Галкин, В.Ф. Панов, О.С. Петрухина 
 
 
 
 
КРАТКИЙ КУРС 
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
 
 
 
 
 
 
Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2007 
 
1

Г16 
УДК 519.21(075.8) 
ББК 22.171 
       Г16 
 
Рецензенты: С.В. Свистова, Г.М. Цветкова 
 
 
Галкин С.В., Панов В.Ф., Петрухина О.С. 
Краткий курс теории вероятностей: Учеб. пособие. — М.: 
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 56 с: ил.  
       ISBN 978-5-7038-2997-4 
Приведены определения вероятности (классическое, статистическое, 
геометрическое и аксиоматическое), примеры вычисления вероятности, а 
также теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности, 
формула Байеса. Рассмотрены основные распределения случайной величины и доказательства их свойств. Исследованы многомерные случайные 
величины, их характеристики, доказаны свойства функции распределения, плотности распределения, математического ожидания и ковариации. Приведены доказательства неравенств Чебышева и законов больших 
чисел. Представлена без доказательства предельная теорема в форме теоремы Ляпунова. Выведена интегральная теорема Муавра—Лапласа. 
Для студентов, изучающих курс «Основы теории вероятностей и математической статистики».  
Ил. 11. Табл. 6. Библиогр. 5 назв. 
 
УДК 519.21(075.8) 
ББК 22.171 
 
 
Учебное издание 
 
Сергей Владимирович Галкин 
Владилен Федорович Панов 
Ольга Сергеевна Петрухина 
 
Краткий курс теории вероятностей 
 
Редактор О.М. Королева 
Корректор Л.И. Малютина 
Компьютерная верстка И.А. Марковой 
 
ISBN 978-5-7038-2997-4                                 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007 
 
Подписано в печать 19.07.2007. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. 
 Печ. л. 3,5. Усл. печ. л. 3,26. Уч.-изд. л. 3,05. Тираж 600 экз. 
Изд. № 37. Заказ № 
 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5 
 
2 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Технические университеты воспитывают настоящих инженеров, которые потом становятся ведущими специалистами во 
всех отраслях техники. Они должны быть теоретиками и практиками в точных науках и различных технических дисциплинах, 
сочетать строгость аналитика, образность геометра, фантазию 
дилетанта и интуицию профессионала. Эрудиция, системность 
мышления и интуиция отличают инженеров-бауманцев — выпускников старейшего технического университета страны МГТУ 
им. Н.Э. Баумана.  
Несколько лет назад коллектив преподавателей-математиков 
МГТУ написал для студентов комплекс учебников «Математика 
в техническом университете» в 21 томе, который был отмечен 
Премией Правительства России в области науки и техники.  
Однако немногие студенты смогут освоить такой объем материала, тем более что предметов много, а времени у студентов мало. Поэтому надо создавать и краткий курс — строгое, конспективное изложение предмета.  
Именно так построено учебное пособие по теории вероятностей. В нем кратко, но строго изложены основы курса, от различных определений вероятности до законов больших чисел и 
центральной предельной теоремы в разных формах. Авторы надеются, что пособие пригодится не только студентам, но и инженерам, применяющим вероятностный подход. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3

1. ВЕРОЯТНОСТЬ 
В теории вероятностей рассматриваются такие явления или 
опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно 
условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа 
экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).  
Элементарным событием (элементарным исходом) называется 
любое событие (исход опыта), которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен, 
то и любое элементарное событие случайно. Далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность. 
Пространством элементарных событий Ω (исходов) называется 
множество 
всех 
элементарных 
событий 
(исходов) 
1
(
,...,
...)
n
ω
ω
, если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один. Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и 
даже бесконечное множество элементарных событий. 
Случайным событием (событием) называется подмножество 
пространства элементарных событий. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие. 
Пример. Бросается одна монета. Рассмотрим события: герб 
(
)
1
Г
ω =
, решка (
)
(
)
2
Р ,тогда
Г,Р
ω
=
Ω=
. 
Пример. Бросаются две монеты, тогда 
(
) (
) (
) (
)
(
)
Г,Г , Г,Р , Р,Г , Р,Р .
Ω=
  
Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку, 
тогда 
(
)
(
)
,
,
,
.
x y
a
x
b
c
y
d
Ω=
<
<
<
<
 
Достоверное событие — событие, которое всегда происходит 
в результате данного опыта, оно содержит все элементарные 
события и обозначается Ω, так же, как и пространство элементарных событий. 
Невозможное событие — событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается ∅. 
 
4 

1.1. Действия над событиями 
Пусть события А, В определены как множества, поэтому 
действия над ними аналогичны действиям над множествами и 
хорошо иллюстрируются диаграммами Венна. Пространство Ω 
обозначим прямоугольником, элементарное событие — точкой 
прямоугольника, а каждое событие — подмножеством точек 
этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать. 
 
 
Рис. 1 
Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В (или C = А ∪ В),
состоящее из элементарных событий,
принадлежащих А или В (рис. 1). 
 
 
 
Произведением двух событий А и В 
называется событие D = AB (или C = 
 = A ∩ B), состоящее из элементарных 
событий, принадлежащих и А, и В 
(рис. 2).  
Рис. 2 
 
 
Разностью двух событий А и В называется событие А\В, состоящее из 
элементарных событий, принадлежащих А и не принадлежащих В (рис. 3). 
 
Рис. 3 
 
 
Пример. Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие — выбор червонной карты, событие — выбор десятки. 
Сумма событий А, В: С = А + В — выбор любой червонной 
карты или любой десятки. 
Произведение событий А, В — выбор десятки червей. 
Разность событий А, В — выбор любой червонной карты, 
кроме десятки. 
 
5

1.2. Классификация событий 
Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в A , обозначим А  и будем называть противоположным событием А  = Ω\ A . 
Пример. Событие A  — выбор червонной карты; А  – выбор 
любой карты другой масти.  
Два события A  и B  будем называть совместными, если 
имеется хотя бы одно общее элементарное событие, т. е., если 
АВ ≠ ∅, и несовместными, если АВ = ∅. 
Пример. События А — выбор червонной карты и В — выбор 
десятки являются совместными событиями, так как АВ ≠ ∅ 
(АВ — выбор червонной карты).  
Пример. Бросается игральный кубик; событие А — выпадение четного числа очков, А = {2, 4, 6}, событие В — выпадение 
нечетного числа очков, В = {1, 3, 5}. Очевидно, что события А и 
В несовместны. 
Полная группа событий — это совокупность n событий А1, 
А2, …, Аn, одно из которых обязательно произойдет, т. е. 
n
1
.
i
i
А
=
= Ω
∑
 
1.3. Свойства операций над событиями 
Если 
, то
,
А
В
А
В
В АВ
А
⊆
+
=
=
. Отсюда следует 1) Ω = ∅; 
2) А
А
А
+
=
; 3) АА
А
=
; 4) А + Ω= Ω; 5) А
А
+ ∅=
; 6) А
А
Ω=
; 
7) А∅= ∅; 8) А
А
=
; 9) А
А
+
= Ω; 10) AA = ∅. 
Коммутативность операций: 
;
А
В
В
А АВ
ВА
+
=
+
=
. 
Ассоциативность операций:  
(
)
(
)
,
А
В
С
А
В
С
+
+
=
+
+
 
(
)
(
)
А ВС
АВ С
АВС
=
=
. 
Дистрибутивность:  
(
)
,
(
)
(
)(
)
А В
С
АВ
АС А
ВС
А
В
А
С
+
=
+
+
=
+
+
. 
Пример. Вычислим (
)(
)
А
В
А
С
АА
ВА
АС
ВС
А
ВС
+
+
=
+
+
+
=
+
. 
 
6