Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
 
ЭЛЕКТРОСТАТИКА. МАГНИТОСТАТИКА. 
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 
 
 
 
Методические указания к выполнению  
домашнего задания по курсу общей физики 
 
 
 
Под редакцией д-ра техн. наук, проф. А.М. Макарова 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М о с к в а  
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 1 1  
 
1 

УДК 5.38 
ББК 22.33 
Э45 
Рецензент В.И. Хвесюк  
 
Э45 
 
  
   
 
       Электростатика. 
Магнитостатика. 
Электромагнитная 
индукция : метод. указания к выполнению домашнего задания 
по курсу общей физики / Л.А. Лунева, С.Н. Тараненко,  
А.В. Козырев, В.Г. Голубев, А.В. Купавцев ; под ред. А.М. Макарова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. —  
55, [1] с. : ил.  
В методических указаниях изложены методы решения задач по 
фундаментальным разделам курса общей физики. В каждом разделе 
приведены необходимые краткие теоретические сведения, содержащие фундаментальные утверждения в виде теорем или обобщений, а также даны примеры решения типовых задач. 
Для студентов 2-го курса 3-го семестра обучения всех специальностей. Также будут полезны для углубленного изучения указанных разделов курса общей физики. 
УДК 5.38 
ББК 22.33 
Учебное издание 
Лунева Любовь Александровна  
Тараненко Сергей Николаевич  
Козырев Александр Валентинович 
Голубев Владимир Геннадиевич  
Купавцев Анатолий Владимирович  
ЭЛЕКТРОСТАТИКА. МАГНИТОСТАТИКА.  
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 
 
Редактор С.А. Серебрякова 
Корректор Р.В. Царева 
Компьютерная верстка С.А. Серебряковой 
Подписано в печать 30.12.2010. Формат 60×84/16. 
Усл. печ. л. 3,26. Изд. № 40. Тираж 500 экз. Заказ          . 
 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Типография МГТУ им. н.Э.Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 
 
2 

1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 
1.1. Основные теоретические сведения 
G
Теорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля 
G
E  в диэлектрике. Поле вектора E
 в диэлектрике 
обладает замечательным и важным свойством: поток вектора E
G
 
сквозь любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов (как сторонних q, так и связанных q′), охватываемых 
этой поверхностью, деленной на ε0, т. е. 
1
( ,
)
(
),
 
G
G
v
 
(1.1) 
0
S
E d s
q
q′
=
+
ε
∫
G
где вектор 
,
ds
nds n
=
G
G
G  — нормаль к элементу поверхности ds, 
внешняя по отношению к объему, охватываемому поверхностью S; 
кружок у знака интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности S. Уравнение (1.1) является математическим выражением теоремы Гаусса для вектора напряженности 
E
K
 электростатического поля в диэлектрике в интегральной форме.  
Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора напряженности электростатического поля 
E  в диэлектрике: 
G
 
 
(1.2) 
1
div
(
),
E
′
=
ρ + ρ
ε
0
G
где ρ и ρ′ — объемные плотности сторонних и связанных зарядов 
в той точке, где вычисляется div .
E
 При использовании теорем 
(1.1) и (1.2) для вакуума следует учесть, что в этом случае 
0
V
q
dV
′
′
= ρ
=
∫
 и 
0
′
ρ =
.  
 
3 

Теорема Гаусса для вектора поляризованности среды 
G
P : 
поток вектора P
G
 сквозь любую замкнутую поверхность S равен 
взятому с обратным знаком суммарному связанному заряду  
диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью интегрирования S, т. е. 
 
( ,
)
.
G
G
v
 
(1.3)  
S
P ds
q′
= −
∫
G
Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора поляризованности среды 
P : 
G
 
(1.4) 
 
div
.
P
′
= −ρ
G
Общее выражение для оператора div в ортогональных криволинейных системах координат приведено в приложении к методическим указаниям. 
Если выразить заряд q′ через поток вектора P
 по формуле (1.3) 
и подставить его в уравнение (1.1), то выражение (1.1) можно преобразовать к следующему виду: 
 
0
((
),
)
.
G
G
G
v
 
S
E
P d s
q
ε
+
=
∫
G
Величину, стоящую под знаком интеграла во внутренних скобках, 
обозначают буквой D
G
 и называют вектором электрического смещения, или просто вектором D
:  
G
G
G
 
(1.5) 
 
0
.
D
E
P
= ε
+
Поток этого вектора через любую замкнутую поверхность S зависит только от стороннего заряда q, находящегося в ограниченном поверхностью интегрирования S объеме.  
Теорема Гаусса для вектора электрического смещения 
:
G
D  
поток вектора D
G
 сквозь произвольную замкнутую поверхность S 
равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых 
этой поверхностью, т. е. 
 
( ,
)
.
G
G
v
  
(1.6) 
S
D ds
q
=
∫
 
4 

G
Заметим, что свойство (1.6) поля вектора D
G
D  
 оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение электрического поля в диэлектриках [1]. 
Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора 
электрического смещения 
:
G
, 
(1.7) 
 
div D = ρ
G
т. е. дивергенция поля вектора D
 равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке. 
Если диэлектрик линейный и изотропный, то вектор поляризованности диэлектрика 
G
G
 
(1.8) 
 
0
,
P
E
= ε κ
G
G
G
 
(1.9) 
где κ — диэлектрическая восприимчивость вещества — скалярная 
величина, не зависящая от модуля вектора напряженности электрического поля. Подставив зависимость (1.8) в соотношение (1.5), 
получим 
 
0
0
(1
)
.
D
E
E
= ε
+ κ
= ε ε
Безразмерную величину 
1
ε = + κ  называют диэлектрической проницаемостью диэлектрика.  
1.2. Методические рекомендации к решению задач  
по теме «Электростатика» 
G
В условиях предлагаемых задач, как правило, задан (явно в виде q или неявно в виде разности потенциалов) сторонний заряд на 
обкладках конденсатора. Выбирая поверхность интегрирования в 
соответствии с видом симметрии каждой задачи, по теореме Гаусса (1.6) находим распределение зависимости вектора D
 от пространственных координат, которые для каждого рассматриваемого 
случая могут быть различны: либо декартовы ( , , )
x y z , либо сферические ( , , )
r θ ϕ , либо цилиндрические ( , , )
r
z
ϕ
. Ниже мы будем 
рассматривать сферически симметричный случай, поэтому определяемые величины будут зависеть только от одной пространственной координаты — радиальной координаты r. 
 
5 

G
Далее из соотношения (1.9) определяем зависимость вектора 
напряженности электростатического поля E
 от радиальной координаты в диэлектрике: 
 
( )
( )
( )
D r
E r
r
= ε ε
. 
(1.10) 
0
G
Вектор поляризованности P
G
 связан с вектором напряженности 
электростатического поля E
 соотношением (1.8), поэтому  
 
0
( )
[ ( ) 1] ( ).
P r
r
E r
= ε ε
−
 
(1.11) 
В результате поляризации среды в диэлектрике возникают связанные заряды с объемной плотностью ρ′, которая определяется из 
соотношения (1.4). Объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри однородного диэлектрика будет равна нулю, если 
внутри него отсутствует объемная плотность сторонних электрических зарядов (ρ = 0). Для неоднородного диэлектрика (grad
0
ε ≠
)  
G
к указанному условию необходимо добавить условие E
G
= 0 [1]. 
В нашем случае ρ = 0, поэтому появление связанных зарядов с 
объемной плотностью ρ′ обусловлено неоднородностью диэлектрика и наличием напряженности электрического поля между обкладками конденсатора.  
В результате поляризации среды на границе раздела диэлектриков или на границе раздела «диэлектрик — вакуум» могут появляться также поверхностные связанные заряды. Зависимость 
между поляризованностью среды P
 и поверхностной плотностью 
σ′ связанных зарядов на границе раздела диэлектриков имеет вид 
 
2
1
,
n
n
P
P
′
−
= −σ  
(1.12) 
G
где 
2n
P и 
1n
P  — проекции вектора поляризованности P
G
 в диэлект- 
риках 2 и 1 на общую нормаль n
G  к границе раздела в данном месте (вектор n
G  проводят от диэлектрика 1 к диэлектрику 2).  
Из соотношения (1.12) следует, что на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора P
 испытывает разрыв, 
величина которого равна зависящей от свойств диэлектриков по 
6