Численные методы решения задач диффузии

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
К.В. Титов 
 
 
 
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ  
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ  
 
 
 
Методические указания к компьютерному практикуму  
по курсу «Уравнения математической физики» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М о с к в а  
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 9  
 

УДК 518.12 
ББК 22.193 
Т454 
Ре це нзе нт  
И.О. Янов 
 
Т454 
Титов К.В. 
Численные методы решения задач диффузии: Метод. указания к компьютерному практикуму по курсу «Уравнения математической физики». — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. — 48 с.: ил. 
Справочно представлены основные методы численного решения 
обыкновенных дифференциальных уравнений и краевых задач. Механизм и эффективность работы этих методов выявляются в процессе 
выполнения компьютерного практикума. Это способствует формированию у студентов необходимой теоретической и практической базы 
знаний для последующего решения прикладных задач диффузии. Даны все необходимые рекомендации для проведения вычислительных 
работ на персональных компьютерах по численным методам решения 
некоторых задач математической физики. Приведены теоретический 
материал, необходимый для работы с электронной версией методических указаний, и условия типового расчета. 
Для студентов старших курсов (третий и выше) специальности 
«Ядерные реакторы и установки». Изложенный материал может быть 
полезен и другим пользователям с точки зрения применения компьютерных технологий в обучении, в том числе дистанционном.  
 
УДК 518.12 
ББК 22.193 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Поставленная перед автором задача состояла в том, чтобы за 
весьма ограниченное время научить студентов решать некоторые 
прикладные задачи по их будущей специальности. Поэтому многое из того, что составляет предмет численных методов решения 
обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), пришлось 
опустить или отослать читателя к самостоятельной проработке 
материала.  
Данные методические указания следует рассматривать лишь 
как введение в численные методы решения ОДУ, ориентированное в первую очередь на специальные прикладные задачи математической физики. Однако, несмотря на временные ограничения, в процессе обучения студент получает в свое распоряжение 
завершенный, эффективно работающий инструмент для решения 
рассматриваемого класса задач. 
Помимо «твердой копии» методические указания имеют также 
электронную версию, что позволяет эффективнее вести процесс 
обучения, в частности, проводить лабораторные работы, закрепляющие теоретические знания на практике. 
По данной тематике автором был прочитан курс лекций и проведен ряд лабораторных работ, в том числе зачетная лабораторная 
работа для студентов специальности «Ядерные реакторы и установки». В основе предлагаемого пособия лежат методические указания [1].  
Автор выражает свою признательность и благодарность профессору Г.И. Богомолову за полезные советы и обсуждение и предоставленную возможность использования таблицы вариантов для 
проведения зачетной лабораторной работы. 
 
3 

 
1. ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ  
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 
Численные методы и их реализация в среде систем компьютерной математики, к которым в первую очередь следует отнести 
MathCAD, Maple, MATLAB, Mathematica и некоторые другие, не 
только расширяют класс реально решаемых дифференциальных 
уравнений, но и существенно упрощают сам процесс их решения. 
В этом случае можно говорить об интегрируемости ОДУ в явном 
виде, когда решение может быть получено с помощью конечного 
числа элементарных операций, к которым относят вычисления на 
ЭВМ. Решение можно представить в виде графика, в том числе 
трехмерного, или анимационного клипа, соответствующего изменению параметров задачи в интерактивном режиме. 
Самый общий и хронологически более ранний подход в решении дифференциальных уравнений — представление решения рядом Тейлора, которое по разным причинам (в первую очередь изза отсутствия мощной вычислительной техники) отвергалось и заменялось другими, более простыми методами. Этот метод интегрирования дифференциальных уравнений был исключен из широкой практики более столетия назад [2]. С появлением систем 
компьютерной математики вычислительные трудности были устранены, и метод разложения в ряд Тейлора можно с успехом применять при решении ОДУ. 
Суть метода состоит в том, что решение на отрезке [xi, xi+1] в 
окрестности точки xi отыскивают в виде  
 
( )
−
= ∑
  
(1) 
(
)
( )
(
)
,
!
x
x
y x
y
x
j
=
0
j
n
j
i
i
j
где n — целое положительное число; y(j)(xi) — производная от y(x) 
порядка j, вычисленная в точке xi. 
 
4 

Такой подход был использован в [3] для решения широкого 
класса дифференциальных уравнений, в том числе нелинейных. 
В методических указаниях рассмотрены так называемые методы Рунге – Кутта: метод Эйлера, метод Адамса, уже упомянутый 
метод Тейлора (см. уравнение (1)) и др. Дан сравнительный анализ 
их точности, которая продемонстрирована на решении конкретных 
задач лабораторного практикума. 
Решение большинства задач, рассмотренных в методических 
указаниях, проведено в системе MathCAD как наиболее простой. 
Хотя с таким же успехом все они могли быть решены в любой 
другой из перечисленных выше систем компьютерной математики. 
Использование системы MathCAD приводит к необходимости достаточно специфического изложения учебного материала, что обусловлено требованиями этой системы. 
Имеется в виду, что в методических указаниях автор средствами 
редактора Word (по просьбе Издательства) пытается представить 
решения задач в виде, приближенном к тому, в котором эти решения записывались бы с помощью системы MathCAD. Автор предлагает читателю, изучающему материал, принять эту условность. 
1.1. Метод Эйлера 
Пусть требуется решить уравнение вида 
( )
( , )
d y x
f x y
dx
=
 для 
заданных начальных условий: 
0,
x
 
0
0
(
)
y x
y
=
 численно методом 
конечных разностей. 
Число точек дискретизации: n : 10
FRAME
=
+
 i : 0...n
1
=
− 
Задание функции: f (x,y): y
x
=
+
 
Область определения функции: 
[
]
0
x
x ,b
=
 b: 1
=  
Начальные условия: 
0
x : 0
=
 
0
y : 1
=  
Просмотр на экране дисплея численного значения функции в 
этой точке: 
0
0
f (x , y )
1
=  
−
=
. Для выбранных параметров h
0.1
=
 
Дискрет по х: 
0
b
x
h :
n
Дискретное представление самой переменной: 
i
x : h i
=
⋅ 
 
5