Расчет параметров межпланетных траекторий по методу сфер влияния

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
А.В. Фомичев
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ
МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
ПО МЕТОДУ СФЕР ВЛИЯНИЯ
Методические указания к выполнению домашнего задания
по курсу «Механика полета космических аппаратов»
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2010

УДК 629.758
ББК 39.62
Ф76
Рецензент В.А. Матвеев
Ф76
Фомичев А.В.
Расчет параметров межпланетных траекторий по методу
сфер влияния : метод. указания / А.В. Фомичев. – М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. – 54, [2] с. : ил.
Изложен ряд разделов динамики космического полета, необходимых для выполнения домашнего задания по курсу «Механика полета
космических аппаратов».
Предлагаемый теоретический материал и его приложения могут
быть использованы в лекциях и упражнениях по соответствующему учебному курсу, а также могут представлять самостоятельный
практический интерес для студентов и аспирантов при углубленном
изучении курса «Механика полета космических аппаратов».
УДК 629.758
ББК 39.62
Учебное издание
Фомичев Алексей Викторович
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
ПО МЕТОДУ СФЕР ВЛИЯНИЯ
Редактор С.Ю. Шевченко
Корректор
Е.В. Авалова
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 24.02.2010. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 3,26. Тираж 100 экз. Изд. №50.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010

ПРЕДИСЛОВИЕ
Методические указания содержат изложение ряда разделов динамики космического полета, связанных с выполнением домашнего задания по курсу «Механика полета космических аппаратов».
Предлагаемый теоретический материал и его приложения могут быть использованы в лекциях и упражнениях по соответствующему учебному курсу, а также могут представлять самостоятельный практический интерес для студентов, аспирантов, инженеров
и специалистов в области космонавтики.
Обсуждаемые в методических указаниях вопросы, как показывает многолетняя практика преподавания на кафедре ИУ-1 МГТУ
им. Н.Э. Баумана, наиболее трудно усваиваются студентами, но в
то же время являются одними из центральных проблем для полного усвоения соответствующего курса.
Методической основой большинства разделов явились лекции
по курсу «Механика полета космических аппаратов», прочитанные студентам и аспирантам на кафедре «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана в период с 1975 по 2005 г.
профессорами В.В. Семеновым [8], В.Ф. Бирюковым и В.П. Пантелеевым, доцентами А.В. Крутовым [4] и Е.С. Лобусовым [5], а
также собственный опыт автора в работе со студентами специальности «Системы управления летательными аппаратами» в МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
В теоретической части рассмотрена проблема двухточечного перелета в центральном гравитационном поле, составляющая
основную суть домашнего задания по курсу «Механика полета
космических аппаратов». В первых четырех разделах приводятся основные математические соотношения задачи двух тел, дано
понятие сфер влияния небесных тел Солнечной системы и опи3

сана методика приближенного расчета траектории космического
аппарата (КА) в поле тяготения нескольких небесных тел.
Для решения уравнения Ламберта, связывающего время перелета и большую полуось орбиты, использован метод, предложенный американским астродинамиком Р. Бэттином. Его суть заключается в рассмотрении двух классических форм уравнения времени
перелета для двух объектов (проблема двух граничных точек, известная как проблема Ламберта) и объединении этих форм в одну,
которая служит основой эффективного метода вычисления. Полученное Р. Бэттином уравнение времени перелета универсально,
т. е. справедливо для эллиптической, параболической и гиперболической орбит, является хорошо отрегулированной функцией одной
независимой переменной и требует оценки единственной гипергеометрической функции. Для увеличения скорости вычисления
эффективной оценки гипергеометрической функции использован
алгоритм вычисления периодической дроби.
Уравнение времени перелета решается относительно независимой переменной с помощью итерационной процедуры типа метода
Ньютона — Рафсона или с помощью процедуры вычисления корня
трансцендентного уравнения внутри интервала.
В практической части рассмотрен пример выполнения домашнего задания по курсу «Механика полета космических аппаратов».
В разделе 5 сформулировано условие домашнего задания и приведены основные данные, необходимые для проведения расчетов.
В разделе 6 приведен порядок расчета межпланетной траектории
по методу сфер влияния, решен вопрос определения гиперболической траектории КА в сфере действия Земли, соответствующей
оптимальному (в смысле минимизации энергетических затрат на
перелет) импульсному маневру КА. В заключение приведен пример полного расчета межпланетной траектории.
Методические указания снабжены приложениями, в которые
помещены процедура автоматизации календаря, формы траектории и соответствующие соотношения уравнения Ламберта, а также
фокального параметра, основные характеристики планет Солнечной системы, их орбит и сфер влияния, номограммы полученных
решений уравнения Ламберта.

1. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ЗАДА
ЧИ ДВУХ ТЕЛ
Из классических курсов небесной механики [1—3, 6, 7, 9, 10,
14] известны следующие соотношения динамики движения непритягивающей точки (космического аппарата) в центральном гравитационном поле.
1. Дифференциальное уравнение движения
d2⃗
r
dt2 + μ ⃗
r
r3 = 0,
(1.
.1)
где ⃗
r — радиус-вектор центра масс космического аппарата (КА);
μ = fM — константа гравитации центрального тела; f
=
= 6,67 ∙10−11 м3кг−1с−2 — универсальная постоянная тяготения;
M — масса притягивающего центра.
2. Первые интегралы движения:
• интеграл площадей —
⃗
r × ⃗
V = ⃗
σ;
(1.
.2)
• интеграл энергии —
V 2 −2μ
r = h = −μ
a ;
(1.
.3)
• интеграл Лапласа —
⃗
σ × ⃗
V + μ⃗
r
r = −⃗
λ,
(1.
.4)
где ⃗
V — вектор скорости движения КА с нормальной Vn и радиальной Vr компонентами соответственно; ⃗
σ — константа площадей; a
— большая полуось орбиты КА; ⃗
λ — вектор Лапласа, направленный
из притягивающего центра в перицентр орбиты.
5

Рис. 1.1. Эллиптическая орбита
3. Уравнение орбиты КА в полярной форме
r =
p
1 + e cos ϑ,
(1.
.5)
где p = σ2/μ — фокальный параметр; e = λ/μ — эксцентриситет;
ϑ — истинная аномалия.
Для эллиптической орбиты справедливо соотношение
r = a(1 −e cos E),
(1.
.6)
где E — эксцентрическая аномалия (рис. 1.1).
Перицентр орбиты
rπ =
p
1 + e = a(1 −e).
(1.
.7)
Апоцентр орбиты
rα =
p
1 −e = a(1 + e).
(1.
.8)
Из (1.7) и (1.8) вытекает практически важная взаимосвязь
p = a(1 −e2).
(1.
.9)
4. Скорость КА на орбите
V =
r μ
p (1 + 2e cos ϑ + e2),
(1.
.10)
6