Сборник задач по квантовой физике для профильных образовательных учреждений

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 
 
 
Л. В. Жорина, Б. С. Старшинов  
 
 
 
Сборник задач  
по квантовой физике  
для профильных  
образовательных учреждений  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва  
2014 

УДК 373.53(075.8) 
ББК 22.3 
Ж81 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/69/book81.html 
 
Специализированный учебно-научный центр 
Кафедра «Основы физики» 
Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве учебного пособия 
Рецензенты: д-р пед. наук, профессор В. А. Макаров,  
канд. физ.-мат. наук, доцент Г  Н. Змиевской 
 Ж81
 
Жорина Л. В. 
  
 
Сборник задач по квантовой физике для профильных образовательных учреждений : учеб. пособие / Л. В. Жорина,  
Б. С. Старшинов. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 
44, [4] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-3981-2 
В конспективной форме изложены основные законы и понятия 
разделов физики «Квантовые свойства излучения» и «Квантовая оптика». Приведены задачи и решения к ним по указанным разделам. Это 
поможет учащимся при подготовке к ЕГЭ, олимпиадам, практическим 
занятиям и лабораторным работам.  
Для учащихся физико-математического лицея № 1580 при МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, изучающих курс физики по углубленной программе 
в соответствии с тематическим планом кафедры «Основы физики» 
(СУНЦ-2) при МГТУ им. Н. Э. Баумана.   
 
УДК 373.53(075.8) 
ББК 22.3 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-3981-2 
 
 
        МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 
 
2 

1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПОНЯТИЯ 
Согласно гипотезе Планка, атомы тела излучают энергию не 
непрерывно, а в виде отдельных порций — квантов излучения, 
позднее названных фотонами. Энергия кванта Е0 пропорциональна 
частоте излучения волн ν: Е0 = hν. Коэффициент пропорциональности между энергией и частотой называется постоянной Планка  
h = 6,62·10−34 Дж·с. Учитывая, что циклическая частота и частота 
волны связаны соотношением ω = 2πν, длина волны и период 
  
,
сT
λ =
 а частота обратна периоду 
1/
,
T
ν =
 т. е. 
/
c
ν =
λ =  
/ (2 ),
= ω
π
 получим Е0 = hν = 
/
hc λ =
/ (2 )
hω
π = ω
ℏ
, где ν — частота излучения, с — скорость света, ℏ=
/ (2 )
h
π = 1,05·10−34 Дж·с — 
постоянная Планка перечеркнутая.  
Энергия связана с массой соотношением Е = mc2. Фотон лишен 
массы покоя и при рождении сразу имеет скорость света, поэтому 
масса движущегося фотона m = 
2
/
.
h
c
ν
 
Импульс фотона определяется по формуле p = mc = 
/
/
h
c
h
ν
=
λ . 
Направление импульса фотона совпадает с направлением светового луча.  
Поскольку излучение испускается порциями, энергия Е, излученная телом, может принимать лишь определенные дискретные 
значения, кратные целому числу элементарных порций энергии Е0: 
Е0 = nЕ0 = nhν, где n = 0, 1, 2, … 
Законы внешнего фотоэффекта. Профессор Столетов опытным путем установил три закона внешнего фотоэффекта: 
1) при фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна потоку энергии света, падающему на катод); 
 
3 

2) скорость фотоэлектронов (и, соответственно, кинетическая 
энергия электронов) не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой; 
3) для каждого вещества существует так называемая красная 
граница фотоэффекта, т. е. минимальная частота света νкр, зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности, при которой еще возможен фотоэффект (фотоэффект наблюдается только при условии ν ≥ νкр). 
При фотоэффекте передача энергии электрону соответствует 
поглощению одного кванта энергии электромагнитного поля. 
Часть энергии поглощенного фотона электрон тратит на то, чтобы 
покинуть пределы металла. Минимальная энергия, затраченная 
электроном для того, чтобы покинуть пределы металла, называется 
работой выхода Авых электрона из металла. Оставшаяся часть энергии фотона составляет кинетическую энергию Екин электрона.  
Закон сохранения энергии для фотоэффекта: энергия электромагнитного излучения hν равна сумме работы выхода электрона 
Авых из металла и его кинетической энергии, т. е.  
 
hν = Авых + Екин. 
Последнее выражение называется уравнением Эйнштейна для 
внешнего фотоэффекта.  
Если энергия кванта hν меньше работы выхода электрона из 
металла Авых, то какой бы интенсивностью ни обладало излучение, 
электроны не смогут покинуть пределы металла и фотоэффекта не 
будет (третий закон Столетова). Минимальная частота (максимальная длина волны), при которой возможен фотоэффект, соответствует условию Екин = 0 и определяет красную границу фотоэффекта: hνкр = Авых, откуда νкр =
вых /
А
h  и λкр =
вых
/
.
hc A
 
Если энергии кванта достаточно для того, чтобы электрон смог 
покинуть пределы металла (энергия кванта hν больше работы выхода Авых электрона из металла), то оставшаяся часть энергии поглощенного кванта составит кинетическую энергию электрона. 
Кинетическая энергия вылетающих электронов зависит только от 
химической природы катода (т. е. от Авых) и от частоты ν (длины 
волны λ) излучения и не зависит от интенсивности излучения 
(второй закон Столетова). 
 
4 

При решении задач по теме «Фотоэффект» необходимо помнить, что выражение для кинетической энергии вылетающих электронов различается в зависимости от скорости электронов. Если 
скорость электронов v значительно меньше скорости света в вакууме (v ≪ с), то Екин = 
2 / 2
e
m v
, где me — масса электрона. Различие между релятивистским и нерелятивистским случаями определяется сравнением энергии кванта электромагнитного излучения 
hν с энергией покоя электрона mec2. Если энергия электромагнитного излучения меньше энергии покоя электрона (hν ≪ mec2 = 
= 8,2·10−14 Дж = 0,51 МэВ), то закон сохранения энергии для фотоэффекта имеет вид hν = Авых + 
2 / 2
e
m v
. Если же скорость электронов соизмерима со скоростью света в вакууме (v ≈ с — релятивистский случай), то энергия электромагнитного излучения 
соизмерима с энергией покоя электрона hν ≈ mec2 = 8,2·10−14 Дж = 
= 0,51 МэВ, и работой выхода в уравнении Эйнштейна можно пренебречь: hν = Екин, где кинетическая энергия фотоэлектрона связана с его скоростью релятивистским соотношением 
 
Екин = mec2
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠
v
. 
2
2
1
1
1
/ c
Так как фотон подобен частице, т. е. обладает массой и скоростью, он обладает и импульсом. Согласно теории относительности 
Эйнштейна, связь между энергией частицы и его импульсом определяется формулой 
2
2 2
0
E
c
р
m c
=
+
, где m0 — масса покоя частицы. Для фотона масса покоя равна нулю, следовательно, импульс определяется как 
0 /
/
/
.
p
E
c
h
c
h
mc
=
= ν
=
λ =
 
Экспериментальным доказательством наличия у фотонов импульса является световое давление, которое оказывает падающее 
на тело излучение. Согласно квантовой теории, давление света на 
поверхность тела обусловлено тем, что каждый фотон при соударении с поверхностью передает ей свой импульс подобно тому, 
как давление идеального газа является результатом передачи импульса молекул стенкам сосуда. Пусть за время 1 с на 1 м2 поверхности тела падает nф фотонов при коэффициенте отражения света ρ 
 
5