Анализ данных. Методы теории вероятностей и математической статистики на языке Python

С.Я. КРИВОЛАПОВ
АНАЛИЗ ДАННЫХ 
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 
НА ЯЗЫКЕ PYTHON
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Москва
ИНФРА-М
2025

УДК 519.23+004.43(075.8)
ББК 22.161:32.973.2я73
 
К82
Р е ц е н з е н т ы:
Белотелов Н.В., кандидат физико-математических наук, доцент, 
старший научный сотрудник Федерального исследовательского 
центра «Информатика и управление» Российской академии наук;
Апалькова Т.Г., кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры математики Финансового университета при Правительстве 
Российской Федерации
Криволапов С.Я.
К82  
Анализ данных. Методы теории вероятностей и математической 
статистики на языке Python : учебное пособие / С.Я. Криволапов. — 
Москва : ИНФРА-М, 2025. — 678 с. — (Высшее образование). — DOI 
10.12737/2034420.
ISBN 978-5-16-018616-0 (print)
ISBN 978-5-16-111570-1 (online)
Учебное пособие содержит изложение вероятностно-статистических 
методов, составляющих теоретическую основу анализа данных. Отличается интенсивным использованием средств языка Python. Для всех примеров и задач приведены подробные решения.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов, аспирантов, научных сотрудников и преподавателей.
УДК 519.23+004.43(075.8)
ББК 22.161:32.973.2я73
Данная книга доступна в цветном  
исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium
ISBN 978-5-16-018616-0 (print)
ISBN 978-5-16-111570-1 (online)
© Криволапов С.Я., 2024

Основные обозначения
( )
A
P
 — вероятность события A
(
)
|
A B
P
  — условная вероятность события A при  условии события B
( )
X
F
x  — функция распределения случайной величины X
( )
X
f
x  — плотность распределения случайной величины X
(
)
X
E
 — математическое ожидание случайной величины X
2
(
),
x
X
σ
Var
 — дисперсия случайной величины X
x
σ   — стандартное (среднее квадратическое) отклонение случайной величины X
(
)
k X
ν
 — начальный момент k-го порядка случайной величины X
(
)
k X
µ
 — центральный момент k-го порядка случайной величины X
X
A  — коэффициент асимметрии случайной величины X
X
E  — коэффициент эксцесса случайной величины X
med
x
 — медиана случайной величины X
mod
x
 — мода случайной величины X
xα — квантиль уровня α случайной величины X
1
x
α
−α
ω
=
 — 100α%-ная точка случайной величины X
Bin( ; )
n p  — случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами n и p
Geom( )
p  — случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p
NB( ; )
r p  — случайная величина, распределенная по отрицательному биномиальному закону с параметрами r и p
Pois( )
λ  — случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром λ
HGeom(
; ;
)
M n N  — случайная величина, распределенная по гипергеометрическому распределению с  параметрами: M (общий 
объем совокупности, состоящей из элементов двух типов: типа I 
и типа II); n (число элементов типа I); N (объем выборки)
( ; )
a σ

 — случайная величина, распределенная по нормальному 
закону с параметрами a и σ
zα — квантиль уровня α стандартной, нормально распределенной 
случайной величины X
( ; )
a σ

  — случайная величина, распределенная по  логнормальному закону с параметрами a и σ
Unif( ; )
a b  — случайная величина, равномерно распределенная 
на отрезке [ ; ]
a b
Exp( )
λ  — случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с параметром λ
3

n
T  — случайная величина, распределенная по закону Стьюдента 
с числом степеней свободы n
;n
tα  — квантиль уровня α случайной величины, распределенной 
по закону Стьюдента с числом степеней свободы n
2
n
χ  — случайная величина, распределенная по закону хи-квадрат 
с числом степеней свободы n
2;n
α
χ
 — квантиль уровня α случайной величины, распределенной 
по закону хи-квадрат с числом степеней свободы n
;
n k
F
 — случайная величина, распределенная по закону Фишера 
с числом степеней свободы n и k
; ;
n k
fα
 — квантиль уровня α случайной величины, распределенной 
по закону Фишера с числом степеней свободы n и k
0
C(
; )
x
γ  — случайная величина, распределенная по закону Коши 
с параметрами 
0
x  и γ
( ; )
a
Γ
θ  — случайная величина, имеющая гамма-распределение 
с параметрами a и θ
( )
x
Γ
 — гамма-функция, 
1
( )
x
t
x
t
e dt
∞
−
−
Γ
= ∫
0
0
P(
;
)
x
α  — случайная величина, распределенная по закону Парето с параметрами 
0
x  и α
cov(
,
)
X Y  — ковариация случайных величин X и Y
xy
r  — коэффициент корреляции случайных величин X и Y
x — выборочное среднее
2
ˆ x
σ  — выборочная дисперсия
ˆ x
σ  — выборочное стандартное отклонение
После значка, составленного из трех звездочек (***), следует 
текст, разъясняющий листинг приведенной программы на языке 
Python.
4

Предисловие
Учебное пособие разработано для  учебного и  методического 
обеспечения вводной части дисциплины «Анализ данных», посвященной методам теории вероятностей и математической статистики.
Книга содержит теоретические понятия по основным разделам 
теории вероятности и математической статистики и примеры практического использования этих понятий. При решении примеров 
и задач активно используются средства языка Python. Для большого количества примеров приведены аналитические решения, 
точные решения на языке Python или приближенные решения с использованием метода статистических испытаний (метода МонтеКарло).
Глава 1 посвящена краткому предварительному обзору методов 
теории вероятностей и математической статистики, применяемых 
в анализе данных. Дается понятие метода статистических испытаний.
В главе  2 на  многочисленных примерах рассматриваются 
средства и приемы использования языка Python для решения вероятностных задач. Рассматриваются как точные аналитические 
методы решения, так и решения методом Монте-Карло.
В главе 3 излагаются теоретические сведения и приемы решения 
задач на вычисление вероятности события с конечным множеством 
исходов и на геометрическую вероятность.
В главе  4 рассматриваются приемы решения задач на  вычисление вероятностей сложных событий. Рассматриваются условные 
вероятности, формулы полной вероятности и формула Байеса.
В главе 5 вводится понятие случайной величины. Рассматриваются дискретные и непрерывные случайные величины, их описание функцией распределения, функцией вероятности и плотностью распределения вероятностей. Рассматриваются важнейшие 
числовые характеристики — математическое ожидание и дисперсия.
Глава  6 посвящена общим числовым характеристикам случайных величин: моментам, квантилям, мерам связи.
В главе 7 рассматриваются важнейшие типы дискретных случайных величин. Изучены методы модуля scipy.stats языка Python 
для работы с вероятностными распределениями. Особое внимание 
уделено распределениям, связанным с последовательностью независимых испытаний.
5

В главе 8 рассматриваются важнейшие типы абсолютно непрерывных случайных величин. Наряду с традиционными изучены некоторые дополнительные типы, широко используемые в анализе данных.
Функции одной и нескольких случайных величин даны в главе 9. 
Рассматриваются методы использования интегральной формулы 
полной вероятности, интегральной формулы Байеса, композиции 
и смеси случайных величин.
В главе  10 изложены условные характеристики систем случайных величин, двумерное нормальное распределение, условное 
математическое ожидание.
Глава 11 посвящена закону больших чисел и центральной предельной теореме.
В главе 12 рассматриваются марковские цепи с конечным числом состояний. С использованием языка Python решаются задачи 
на вычисление вероятности достижения и среднего времени достижения заданных состояний.
Главы 13–15 посвящены математической статистике. В глава 13 
рассмотрен первичный анализ данных, в главе 14 — выборочные 
оценки, методы построения точечных оценок, в главе 15 — интервальные оценки, включая метод бутстрэп.
В главе 16 проанализированы различные виды статистических 
гипотез.
В каждой главе даны примеры с подробными решениями. Также 
по материалам глав приведено более 200 задач. Для каждой из них 
в конце учебного пособия предложены решения.
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей направлений «Экономика», «Прикладная информатика», 
«Информационная безопасность», «Бизнес-информатика».
В результате изучения материалов пособия студент должен:
знать
•
• основные понятия теории вероятностей и математической статистики, в том числе методы точечного и интервального оценивания параметров случайных величин и способы проверки статистических гипотез о параметрах и законах случайных величин;
•
• компьютерные технологии, используемые при реализации математических методов и моделей;
уметь
•
• выбирать вероятностные модели, подходящие для исследования 
соответствующих случайных признаков;
•
• моделировать с  помощью метода статистических испытаний 
случайные признаки, описывающие статистические системы;
владеть
•
• навыками вычислительной работы в Jupyter Norebook.
6

Глава 1. 
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ 
И МЕТОДАХ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ, 
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В АНАЛИЗЕ ДАННЫХ
В силу множества объективных причин данные, подлежащие 
обработке, следует рассматривать как реализацию некоторых случайных величин.
Теория вероятностей дает способы описания случайных величин, их числовых характеристик и законов распределения.
Математическая статистика, опираясь на  понятия и  методы 
теории вероятностей, выявляет вероятностные характеристики 
и статистические закономерности в выборках данных.
Основными объектами внимания теории вероятностей являются случайные события и их вероятности, случайные величины 
и их характеристики.
Вероятность события
Для количественной оценки возможности наступления некоторого события используется понятие «вероятность события». 
Для конечных вероятностных моделей (когда множество различных 
исходов случайного события  — конечное) с  равновозможными 
«элементарными исходами» вероятность события вычисляется как 
отношение числа исходов, благоприятствующих ему, к числу всех 
исходов (классическое определение вероятности). В формульном 
виде это записывается как
	
( )
A
n
A
n
=
P
,	
где A — обозначение случайного события; ( )
A
P
 — вероятность события A; n — число элементарных исходов; 
A
n  — число исходов, 
благоприятствующих событию A.
В математической статистике вероятность события A оценивается по выборочным данным. В задаче оценивания вероятности события выборочные данные представляют собой два числа: n  — 
число проведенных испытаний; 
A
n  — количество тех испытаний 
(из общего числа n), в которых произошло событие A. Отношение 
7

A
n  к n дает оценку (приближенное значение) для величины вероятности события:
	
( )
A
n
A
n
≈
P
.	
Такой способ вычисления вероятности называется статистическим определением вероятности.
Когда вероятностное устройство случайного события A известно 
(в каких условиях, по каким правилам происходит это событие), 
вычислить оценку вероятности события с помощью статистического определения вероятности можно без проведения реальных 
испытаний, методом статистических испытаний (методом 
Монте-Карло). Для  этого нужно, используя какой-либо язык 
программирования, смоделировать некоторое число n случайных 
исходов испытаний и посчитать, в каком количестве опытов k было 
зафиксировано появление события A. Тогда 
( )
k
A
n
≈
P
. Точность 
такой оценки увеличивается с ростом числа опытов n.
Пример 1.1
Имеется монета, которая предполагается симметричной 
(при  подбрасывании равновозможно выпадение как орла, так 
и решки). Требуется вычислить вероятность события A = {при случайном подбрасывании выпал орел}.
Решение
1.  Классическое определение. ( )
1/2
A =
P
 (два элементарных исхода при однократном подбрасывании — орел, решка; благоприятствующий исход — один, выпадение орла).
2.  Статистическое определение. Французский ученый 
Ж.-Л.  Бюффон бросил монету 4040  раз, причем орел выпал 
2048 раз. Оценка вероятности:
	
( )
2048
0,50693.
4040
A
n
A
n
≈
=
≈
P
	
3.  Метод Монте-Карло. Выполним моделирование опыта 
по  подбрасыванию монеты на  языке Python. Зададим число 
опытов n. Используя команду Python, генерирующую последовательность случайных равновероятных чисел, равных нулю или единице, получим выборку длины n из нулей и единиц. Интерпретируем получение единицы как выпадение орла, получение нуля — 
8

как выпадение решки. Оценкой вероятности события является 
относительная частота
	
( )
k
A
n
≈
P
,	
где k — количество благоприятствующих случаев (число единиц). 
Для массива из нулей и единиц относительная частота выпадения 
единиц совпадает с выборочным средним (средним арифметическим элементов массива). Выборочное среднее массива X вычисляет функция mean(X) библиотеки numpy:
import numpy as np # Загрузка библиотеки
                   # numpy под псевдонимом np
iters = 4040 # Число итераций (опытов метода
             # Монте-Карло)
np.random.seed(312) # Такая команда (параметр –
           # любое целое число) обеспечивает
           # воспроизводимость случайного опыта
           # при повторном запуске.
# Сгенерируем последовательность из 0 и 1
# длины iters и запишем ее в массив coin
coin = np.random.choice([0,1],size=iters,
                     replace=True,p=[0.5,0.5])
# replace=True - означает, что производится
# выборка из набора {0,1} с возвращением;
# параметр p определяет, с какими вероятностями
# извлекаются числа 0 и 1. По умолчанию
# производится равновероятный выбор
# с возвращением, т.е. здесь можно было записать
# короче: np.random.choice([0,1],iters)
''' Вероятность оцениваем относительной
    частотой. Для массива из 0 и 1 совпадает
    с выборочным средним '''
print(np.mean(coin))
0.488366
Точность неудовлетворительная. Однако мы можем увеличить 
число опытов:
iters = 10**5 # Сто тысяч
np.random.seed(312) 
9

M_coin = np.random.choice([0,1],iters)
print(np.mean(M_coin))
0.49971
iters = 10**8 # Сто миллионов
np.random.seed(312) 
M_coin = np.random.choice([0,1],iters)
print(np.mean(M_coin))
0.500134
На рис.  1.1 изображен график относительной частоты выпадения орла в зависимости от числа опытов метода Монте-Карло. 
Довольно быстро значения стабилизируются около теоретической 
вероятности 0,5.
Относительная частота
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
200
400
600
800
1000
Рис. 1.1. Относительная частота выпадения орла
Дискретные и непрерывные случайные величины
Случайные величины можно разделить на две категории.
1.  Дискретная случайная величина — величина, которая в результате испытаний может принимать определенные значения 
с определенной вероятностью. Множество значений может быть 
как конечным, так и бесконечным.
2.  Непрерывная случайная величина — такая случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого 
конечного или бесконечного промежутка. Количество возможных 
значений непрерывной случайной величины бесконечно и  несчетно. С ненулевой вероятностью непрерывная случайная величина может принимать значения только в некотором промежутке. 
10