Использование метода конечных элементов для решения двумерных задач теплопроводности

Московский государственный технический университет  
имени Н. Э. Баумана 
 
 
 
 
А. В. Царёв, В. М. Пучков 
 
 
 
Использование метода конечных элементов 
для решения двумерных задач теплопроводности  
 
 
Методические указания к практическому занятию  
по дисциплине «Проектирование систем термостатирования» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 536.51 
ББК 31.32 
 Ц18 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/267/book1263.html 
 
Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Стартовые ракетные комплексы» 
 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве методических указаний 
 
Рецензент  
д-р техн. наук, профессор С. В. Аринчев 
 
 
Царёв, А. В. 
Ц18 
Использование метода конечных элементов для решения двумерных задач теплопроводности : методические указания к практическому 
занятию по дисциплине «Проектирование систем термостатирования» / А. В. Царёв, В. М. Пучков. — Москва : Издательство МГТУ  
им. Н. Э. Баумана, 2015. — 28, [4] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4211-9 
Дано описание методики численного решения двумерных задач теплопроводности с помощью метода конечных элементов. Приведено подробное 
решение задачи со ссылками на необходимые формулы.  
Для студентов МГТУ имени Н.Э. Баумана, обучающихся по специальности «Стартовые ракетные комплексы». 
 
УДК 536.51 
ББК 31.32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4211-9  
 
  МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 
 
2 

 
Предисловие 
При проектировании систем термостатирования различного 
назначения важно не только обеспечить заданный температурный 
режим внутри объекта термостатирования, но и получить минимальные градиенты температур в различных направлениях. Это 
сложная задача, одним из этапов решения которой является определение теплового состояния конструктивных элементов объекта 
термостатирования под воздействием различных тепловых потоков, вызванных влиянием окружающей среды либо создаваемых 
другими системами.  
Задачи оценки внешнего температурного воздействия подразделяют на стационарные и нестационарные. В результате решения 
стационарной задачи определяют тепловое состояние системы в 
установившемся температурном режиме (когда параметры окружающей среды не изменяются во времени). Решение нестационарной задачи позволяет выяснить, как изменится тепловое состояние 
системы под воздействием изменяющихся во времени внешних 
условий.  
Существуют различные методы решения подобных задач. 
Точные методы основаны на решении полной системы дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями. 
Достоинством точных методов является возможность анализа 
полученных в результате решений зависимостей, а также возможности обобщения полученного решения на широкий круг однотипных задач. К недостаткам точных методов относятся трудности математического описания элементов конструкций со 
сложной геометрией. 
Другим методом решения является физическое моделирование. Основой этого метода является теория подобия. Физическое 
моделирование возможно, когда различные физические процессы 
описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями в 
безразмерном виде. Примером решения может служить электро3 

тепловая аналогия, которая базируется на аналогии распределения потенциалов электрического поля и температуры теплового 
поля. Замена объекта моделью существенно упрощает эксперимент, позволяет выбирать размеры системы, темпы развития 
процесса, параметры физических сред. При этом полное выполнение требований подобия образца и модели при исследовании 
тепловых процессов сопряжено с определенными трудностями и 
не всегда возможно. 
Современным методом решения задач проектирования является численное моделирование, а именно метод конечных элементов 
(МКЭ). Метод конечных элементов базируется на разбиении исследуемого объекта на ряд непересекающихся областей простого 
очертания, называемых конечными элементами. Тепловое состояние элементов, на которые разбит объект, полностью определяется 
значениями температуры в узловых точках элементов. Так как 
элементы имеют простую геометрию, для них легко можно получить уравнения теплового состояния. Эти уравнения, записанные 
для всех элементов объекта, собирают в единую систему и решают 
совместно. Одно из главных достоинств МКЭ — хорошая аппроксимация границ объекта, а основной недостаток — сложность 
формализации процесса разбиения объекта на конечные элементы, 
а также трудности, связанные с оценкой точности полученного 
решения.  
Целью данных методических указаний является практическое 
знакомство студентов с решением задач методом конечных элементов.  
В данном руководстве приводится упрощенный алгоритм, позволяющий с помощью МКЭ решать двумерные задачи стационарной и нестационарной теплопроводности без применения специализированного программного обеспечения. 
 
 
 
4