Уравнения математической физики : в 2 ч. Ч. 2

К. Б. Сабитов
Уравнения 
математической 
физики
Часть 2
Учебник для вузов
Д о п у щ е н о
УМО по классическому университетскому 
образованию в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению ВПО 010400
«Прикладная математика и информатика»
4e издание, электронное 
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 517.95
ББК 22.311
С12
Сабитов К. Б.
С12
Уравнения математической физики : учебник для вузов : в 2 ч. Ч. 2 / К. Б. Сабитов. — 4-е изд., электрон. —
М. : Лаборатория знаний, 2024. — 258 с. — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-93208-621-6 (Ч. 2)
ISBN 978-5-93208-643-8
В книге дан вывод уравнений математической физики, приведены классические постановки основных задач, аналитические методы
их решения, представлены обобщенные по Соболеву решения краевых задач для уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов, вариационный и галеркинский методы решения
краевых задач, методы интегральных преобразований, возмущений,
автомодельных решений и конечных разностей решения краевых
задач уравнений математической физики. В отличие от известных
учебников данное пособие содержит новый материал по уравнениям
смешанного типа, моделирующим околозвуковые течения.
Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению ВПО 010400 «Прикладная математика и информатика».
УДК 517.95
ББК 22.311
В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации
© Лаборатория знаний, 2024
© Сабитов К. Б., 2024
ISBN 978-5-93208-621-6 (Ч. 2)
ISBN 978-5-93208-643-8

Оглавление
t
Список некоторых обозначений и сокращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Глава 6. Обобщенные решения по Соболеву краевых задач для
уравнений математической физики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§ 32. Вспомогательные сведения из функционального анализа .
7
1. Необходимые понятия и утверждения (7). 2. Средние
функции. Обобщенные производные (11). 3. Пространство
Соболева и его свойства (17).
§ 33. Обобщенные решения основных граничных задач для эллиптического уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . . . .
26
§ 34. Обобщенные решения начально-граничных задач для гиперболического уравнения второго порядка. . . . . . . . . . . . .
33
1. Постановка начально-граничных задач (33). 2. Задача
на
собственные
значения
для
эллиптического
оператора второго порядка (34). 3. Вариационные свойства собственных значений и функций спектральной задачи (42).
4. Построение обобщенного решения первой начальнограничной
задачи
для
однородного
гиперболического
уравнения (43). 5. Построение обобщенного решения первой начально-граничной задачи для неоднородного гиперболического уравнения (47).
§ 35. Обобщенные решения начально-граничных задач для параболического уравнения второго порядка. . . . . . . . . . . . . .
49
§ 36. Вариационный метод решения граничных задач для эллиптических уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1. Задача Дирихле (54). 2. Задача Неймана и третья граничная задача (58). 3. Метод Ритца (59).
§ 37. Метод Галеркина решения краевых задач для уравнений
математической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
1. Задача Дирихле для уравнения Пуассона (64). 2. Начально-граничная задача для уравнения теплопроводности (65). 3. Начально-граничная задача для волнового
уравнения (67).
Глава 7. Уравнения смешанного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
§ 38. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева—Бицадзе.
Единственность решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
1. Постановка
задачи
Трикоми.
Принцип
экстремума.
Единственность
решения
задачи
Трикоми (73).
2. Метод
Трикоми
доказательства
единственности
решения
задачи (76).
§ 39. Существование решения задачи Трикоми . . . . . . . . . . . . . .
77

Оглавление
§ 40. Задача Дирихле для уравнения Лаврентьева—Бицадзе
в прямоугольной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
1. Постановка
задачи (87).
2. Единственность
решения
(88). 3. Существование решения задачи (91). 4. Устойчивость решения (94).
§ 41. Начально-граничная задача для уравнения смешанного
параболо-гиперболического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
1. Постановка
задачи (95).
2. Единственность
решения
(96). 3. Существование и устойчивость решения задачи (99).
Глава 8. Другие методы решения краевых задач для уравнений
математической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
§ 42. Метод интегральных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
1. Преобразования
Лапласа,
Фурье
и
Меллина (103).
2. Применение интегральных преобразований к решению
краевых задач (114).
§ 43. Метод возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
§ 44. Метод подобия, автомодельные решения . . . . . . . . . . . . . . .
125
§ 45. Метод конечных разностей или сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
Приложение. Общие сведения о специальных функциях . . . . . . . . . .
145
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
§ 1. Эйлеровы гамма- и бета-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
1. Свойства
гамма-функции (148).
2. Свойства
бетафункции (152). 3. Логарифмическая производная гаммафункции (154).
§ 2. Теорема существования и единственности решения начальной задачи для линейного дифференциального уравнения
второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
§ 3. Поведение решений дифференциальных уравнений второго порядка в особой точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
§ 4. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя и свойства функций
Бесселя первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
§ 5. Модифицированные функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
§ 6. Гипергеометрическое уравнение. Функции Гаусса и их
свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
§ 7. Ортогональные многочлены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
1. Полиномы Лежандра и их свойства (198). 2. Присоединенные функции Лежандра и их свойства (208). 3. Многочлены Эрмита и их свойства (211). 4. Многочлены Лагерра и их свойства (217). 5. Многочлены Якоби и Чебышёва и их свойства (223).
§ 8. Сферические и шаровые функции. Свойства сферических
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252

Список некоторых обозначений
и сокращений
t
N
— множество натуральных чисел
R
— множество действительных чисел, или числовая
прямая
R𝑛
— арифметическое евклидово пространство размерности 𝑛, 𝑛∈N;
max
𝐷
𝑓(𝑥)
— максимальное (наибольшее) значение функции 𝑓(𝑥)
по множеству 𝐷
min
𝐷𝑓(𝑥)
— минимальное (наименьшее) значение функции 𝑓(𝑥)
по множеству 𝐷
sup
𝐷
𝑓(𝑥)
— верхняя грань значений функции 𝑓(𝑥) по множеству 𝐷
inf
𝐷𝑓(𝑥)
— нижняя грань значений функции 𝑓(𝑥) по множеству 𝐷
𝐶(𝐷)
— множество непрерывных функций, заданных на
множестве 𝐷
𝐶𝑘(𝐷)
— множество 𝑘раз непрерывно дифференцируемых
функций,
заданных
на
множестве
𝐷,
причем
𝐶0(𝐷) ≡𝐶(𝐷)
𝐶∞
0 (𝐷)
— класс бесконечно дифференцируемых в 𝐷функций,
имеющих компактный носитель, т.е. обращающихся
в нуль во всех точках области 𝐷, принадлежащих
некоторой окрестности ее границы
𝐼(𝐷)
— класс функций, интегрируемых по Риману на множестве 𝐷
𝐿𝑝(𝐷)
— класс функций, суммируемых 𝑝-й степенью по Лебегу на множестве 𝐷
𝑊𝑙
𝑝(𝐷)
— пространство Соболева, т. е. множество функций
имеющих обобщенные производные порядка 𝑙, которые суммируемы со степенью 𝑝в области 𝐷
𝑓(𝑥) = 𝑂(1)
при 𝑥→𝑎
— функция 𝑓(𝑥) ограничена в малой окрестности точки 𝑥= 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑜(𝑔(𝑥))
при 𝑥→𝑎
— функция 𝑓(𝑥), бесконечно малая более высокого
порядка, чем 𝑔(𝑥), при 𝑥→𝑎, т.е. lim
𝑥→𝑎[𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)] = 0
𝑓(𝑥) ∼𝑔(𝑥)
при 𝑥→𝑎
— функция
𝑓(𝑥)
эквивалентна
функции
𝑔(𝑥)
при
𝑥→𝑎, т. е. lim
𝑥→𝑎[𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)] = 1
𝑓𝑛(𝑥) →𝑓(𝑥) на 𝑋— последовательность функций 𝑓𝑛(𝑥) сходится поточечно на множестве 𝑋к функции 𝑓(𝑥)

Список некоторых обозначений и сокращений
𝑓𝑛(𝑥) ⇒𝑓(𝑥) на 𝑋— последовательность функций 𝑓𝑛(𝑥) сходится равномерно на множестве 𝑋к функции 𝑓(𝑥)
д. у.
— дифференциальное уравнение
д. у. в ч. п.
— дифференциальное уравнение в частных производных
о. п.
— обобщенные производные
■
— конец решения примера, доказательства леммы или
теоремы

Глава 6
Обобщенные решения по Соболеву
краевых задач для уравнений
математической физики
t
§ 32. Вспомогательные сведения
из функционального анализа
1. Необходимые понятия и утверждения
Будем предполагать, что читатели знакомы с основами функционального анализа. Здесь приведем только те понятия и утверждения, которые необходимы для дальнейшего изложения материала.
В основном мы будем иметь дело с гильбертовыми пространствами.
В гильбертовом пространстве 𝐻для любой пары элементов 𝑢
и 𝑣определено скалярное произведение (𝑢, 𝑣), удовлетворяющее
известным аксиомам. В качестве нормы элемента 𝑢берется число
||𝑢|| =
√︀
(𝑢, 𝑢). По определению пространство 𝐻является полным
и сепарабельным. В пространстве 𝐻помимо сходимости по норме
(сильной сходимости) рассматривают и слабую сходимость. Последовательность 𝑢𝑛элементов из 𝐻называется слабо сходящейся в 𝐻
к элементу 𝑢, если (𝑢𝑛−𝑢, 𝑣) →0 при 𝑛→∞для любого элемента
𝑣∈𝐻. Последовательность 𝑢𝑛не может слабо сходиться к двум
различным элементам 𝐻. Если 𝑢𝑛сходится к 𝑢в норме 𝐻, то она
сходится к 𝑢слабо. Обратное утверждение не верно.
Множество 𝐸⊂𝐻называется компактным в 𝐻, если всякая
бесконечная последовательность элементов из 𝐸содержит в себе
сходящуюся подпоследовательность. Если пределы всех таких подпоследовательностей принадлежат 𝐸, то 𝐸называется компактным
в себе. Аналогично вводятся понятия слабой компактности и слабой
компактности в себе в 𝐻. Имеет место следующий признак слабой
компактности в 𝐻
Утверждение 1. Замкнутое ограниченное множество в 𝐻слабо
компактно в себе.
Линейным функционалом 𝑙на 𝐻называется линейная непрерывная числовая функция 𝑙(𝑢), определенная для любого 𝑢∈𝐻.
Линейность 𝑙означает, что для любых элементов 𝑢1 и 𝑢2 из 𝐻
и любых чисел 𝜆и 𝜇имеет место равенство
𝑙(𝜆𝑢1 + 𝜇𝑢2) = 𝜆𝑙(𝑢1) + 𝜇𝑙(𝑢2).

Глава 6. Обобщенные решения по Соболеву
Непрерывность 𝑙(𝑢) означает, что 𝑙(𝑢𝑛) →𝑙𝑢, если 𝑢𝑛→𝑢по
норме 𝐻.
Известно, что непрерывность линейного функционала 𝑙(𝑢) эквивалентна его ограниченности, т. е. существует постоянная 𝐶> 0,
такая, что при всех 𝑢∈𝐻имеет место неравенство
|𝑙(𝑢)| ⩽𝐶||𝑢||.
(1)
Для линейных функционалов на 𝐻справедливо следующее.
Утверждение 2 (Теорема Рисса). Для любого линейного ограниченного функционала 𝑙на 𝐻существует единственный элемент
𝑣∈𝐻, такой, что для всех 𝑢∈𝐻имеет место равенство
𝑙(𝑢) = (𝑢, 𝑣).
При этом величину ‖𝑣‖ называют нормой ‖𝑙‖ линейного функционала 𝑙. Норма ‖𝑙‖ находится по формуле
|𝑙(𝑢)|
‖𝑢‖
‖𝑙‖ = sup
𝐻∈𝐻
|𝑢(𝑥)|𝑝𝑑𝑥< +∞.
и является нижней гранью значений постоянной 𝐶из неравенства (1).
Пусть функция 𝑓(𝑥) определена в области Ω⊂R𝑛и 𝐾— множество точек области Ω, таких, что функция 𝑓(𝑥) равна нулю в некоторой окрестности каждой из точек 𝐾. Тогда множество Ω∖𝐾называется носителем функции 𝑓(𝑥) и обозначается через supp 𝑓.
Через 𝐶∞
0 (Ω) обозначают класс бесконечно дифференцируемых
в Ωфункций, имеющих компактный носитель. Такие функции называются финитными, или пробными функциями. Если Ω— ограниченная область, то любая функция 𝑓(𝑥) ∈𝐶∞
0 (Ω) бесконечно дифференцируема и обращается в нуль во всех точках Ω, принадлежащих некоторой окрестности ее границы. Если Ω≡R𝑛, то функция
𝑓(𝑥) ∈𝐶∞
0 (R𝑛) равно нулю вне некоторой конечной области и бесконечно дифференцируема в любой точке R𝑛.
Обозначим через 𝐿𝑝(Ω), 𝑝⩾1, множество измеримых по Лебегу
функций 𝑢(𝑥), определенных на Ω, для которых интеграл Лебега
Z
Ω
Такое множество функций образует полное линейное нормированное пространство с нормой
1/𝑝
,
(2)
⎛
⎞
‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω) =
|𝑢(𝑥)|𝑝𝑑𝑥
Ω
⎝
Z
⎠
т. е. банахово пространство.

§ 32. Вспомогательные сведения из функционального анализа
9
Для функций из 𝐿𝑝(Ω) справедливы следующие замечательные
неравенства.
Пусть 𝑝> 1 и обозначим через 𝑞=
𝑝
𝑝+ 1
𝑞= 1 и для
𝑝−1 . Тогда 1
1/𝑞
.
(3)
⎛
⎞
1/𝑝⎛
⎞
|𝑢(𝑥)||𝑣(𝑥)| 𝑑𝑥⩽
|𝑢(𝑥)|𝑝𝑑𝑥
|𝑣(𝑥)|𝑞𝑑𝑥
функций 𝑢(𝑥) ∈𝐿𝑝(Ω), 𝑣(𝑥) ∈𝐿𝑞(Ω) имеет место неравенство Гёльдера
Z
Ω
Ω
Ω
⎝
Z
⎠
⎝
Z
⎠
Если 𝑝= 2, то 𝑞= 2 и неравенство (3) переходит в неравенство
Коши—Буняковского
1/2
.
(4)
⎛
⎞
1/2⎛
⎞
|𝑢(𝑥)||𝑣(𝑥)| 𝑑𝑥⩽
|𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥
|𝑣(𝑥)|2 𝑑𝑥
Z
Ω
Ω
Ω
⎝
Z
⎠
⎝
Z
⎠
Пусть 𝑢(𝑥) ∈С1(Ω). Тогда имеет место неравенство Фридрихса
𝑢𝑑𝑠
⎡
⎛
⎞
2⎤
|𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥⩽𝐶1
𝜕𝑥𝑖
𝑖=1
)︂
2
𝑑𝑥+
(︂
𝜕𝑢
Z
Ω
Ω
𝜕Ω
𝑛
∑︁
⎣
Z
⎝
Z
⎠
⎦,
(5)
и неравенство Пуанкаре
2
𝑢𝑑𝑥
⎡
⎛
⎞
|𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥⩽𝐶2
𝜕𝑥𝑖
𝑖=1
)︂
2
⎤
(︂
𝜕𝑢
+
Z
Z
Ω
Ω
Ω
𝑛
∑︁
⎦,
(6)
⎣
⎝
Z
⎠
где 𝐶𝑖, 𝑖= 1, 2, — положительные постоянные, зависящие только от
меры области Ω.
Измеримая функция 𝑢(𝑥) называется локально интегрируемой
(суммируемой) в Ω, если для любой подобласти Ω1, такой, что
Ω1 ⊂Ω, существует конечный интеграл
|𝑢(𝑥)|𝑑𝑥< ∞.
Z
Ω1
Класс таких функций обозначим 𝐿1,𝑙𝑜𝑐(Ω).
Пусть функции 𝑢𝑘(𝑥) ∈𝐶1(Ω), 𝑘= 1, 2, . . . , 𝑛, и Ω— ограниченная область с кусочно-гладкой границей 𝜕Ω, N = (𝑁1, 𝑁2, . . . , 𝑁𝑛) —

Глава 6. Обобщенные решения по Соболеву
единичный вектор внешней нормали к 𝜕Ω(т. е. 𝑁𝑖= cos(𝑁, 𝑥𝑖)). Тогда справедлива из курса математического анализа формула Гаусса—Остроградского
𝑘=1
𝑘=1
𝑢𝑘(𝑥)𝑁𝑘𝑑𝑆,
(7)
Z
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝑑𝑥=
Z
Ω
𝜕Ω
𝑛
∑︁
𝑛
∑︁
где 𝑑𝑆— элемент площади поверхности 𝜕Ω.
Из формулы (7) вытекает формула интегрирования по частям.
Пусть 𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥) ∈𝐶1(Ω). Тогда
𝑢𝑣𝑁𝑖𝑑𝑆,
(8)
𝑘=1
𝑢𝜕𝑣
𝑘=1
𝑣𝜕𝑢
Z
𝜕𝑥𝑖
𝑑𝑥= −
Z
𝜕𝑥𝑖
𝑑𝑥+
Z
Ω
Ω
𝜕Ω
𝑛
∑︁
𝑛
∑︁
Действительно, полагая в формуле (7) 𝑢𝑘(𝑥) = 0 при 𝑘̸= 𝑖
и 𝑢𝑖= 𝑢𝑣, получим (8).