Уравнения математической физики : в 2 ч. Ч. 1

К. Б. Сабитов
Уравнения 
математической 
физики
Часть 1
Учебник для вузов
Д о п у щ е н о
УМО по классическому университетскому 
образованию в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению ВПО 010400
«Прикладная математика и информатика»
4e издание, электронное 
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 517.95
ББК 22.311
С12
Сабитов К. Б.
С12
Уравнения математической физики : учебник для вузов : в 2 ч. Ч. 1 / К. Б. Сабитов. — 4-е изд., электрон. —
М. : Лаборатория знаний, 2024. — 326 с. — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-93208-620-9 (Ч. 1)
ISBN 978-5-93208-643-8
В книге дан вывод уравнений математической физики, приведены классические постановки основных задач, аналитические методы
их решения, представлены обобщенные по Соболеву решения краевых задач для уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов, вариационный и галеркинский методы решения
краевых задач, методы интегральных преобразований, возмущений,
автомодельных решений и конечных разностей решения краевых
задач уравнений математической физики. В отличие от известных
учебников данное пособие содержит новый материал по уравнениям
смешанного типа, моделирующим околозвуковые течения.
Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению ВПО 010400 «Прикладная математика и информатика».
УДК 517.95
ББК 22.311
В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации
© Лаборатория знаний, 2024
© Сабитов К. Б., 2024
ISBN 978-5-93208-620-9 (Ч. 1)
ISBN 978-5-93208-643-8

Оглавление
t
Предисловие к третьему изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Список некоторых обозначений и сокращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Глава 1. Постановка основных задач для уравнений математической
физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§ 1. Дифференциальные уравнения в частных производных.
Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§ 2. Вывод уравнения колебаний струны. Постановка основных
начально-граничных задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
§ 3. Вывод уравнения теплопроводности. Постановка основных
начально-граничных задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
§ 4. Задачи, приводящиеся к уравнениям Пуассона и Лапласа.
Постановка основных граничных задач . . . . . . . . . . . . . . . .
34
§ 5. Задача Коши. Характеристики. Теорема Коши—Ковалевской . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§ 6. Понятие о корректно поставленной краевой задаче для
дифференциальных уравнений. Примеры некорректных
краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Глава 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
§ 7. Типы линейных дифференциальных уравнений в частных
производных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
§ 8. Приведение к каноническому виду дифференциального
уравнения второго порядка от двух независимых переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Глава 3. Уравнения гиперболического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
§ 9. Первая начально-граничная задача для уравнения колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
1. Постановка задачи. Энергетическое неравенство. Единственность и устойчивость решения (62). 2. Существование решения (69).
§ 10. Общие замечания о методе разделения переменных. . . . . .
86
1. Замкнутость и полнота ортогональных систем функций (86). 2. Вторая и третья начально-граничные задачи
для уравнения струны (88). 3. Начально-граничная задача
для более общего уравнения гиперболического типа (90).
§ 11. Задача Дирихле для уравнения струны . . . . . . . . . . . . . . . .
98

Оглавление
§ 12. Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула
Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
1. Постановка задачи Коши для уравнения струны (106).
2. Построение общего решения уравнения струны (106).
3. Построение решения задачи Коши (108). 4. Физическая
интерпретация решения задачи Коши (112).
§ 13. Задачи Гурса и Дарбу для уравнения струны. . . . . . . . . . .
114
§ 14. Задача Коши для трехмерного и двумерного волновых
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
1. Задача Коши для трехмерного однородного волнового
уравнения. Формула Пуассона. Принцип Гюйгенса (119).
2. Задача Коши для трехмерного неоднородного волнового уравнения. Формула Кирхгофа (128). 3. Задача Коши
для двумерного волнового уравнения. Метод спуска (132).
4. Энергетическое неравенство. Непрерывная зависимость
решения. Единственность решения (134).
§ 15. Задачи Коши и Гурса для общего линейного гиперболического уравнения. Метод последовательных приближений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
1. Задача Коши (139). 2. Задача Гурса (145).
§ 16. Метод
Римана
для
построения
решения
задач
Коши
и Гурса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
1. Понятие сопряженного дифференциального оператора.
Формула Грина (149). 2. Метод Римана (149).
§ 17. Решение задачи Коши методом Римана для телеграфного
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
1. Вывод телеграфного уравнения (154). 2. Постановка задачи Коши (157). 3. Построение функции Римана (158).
4. Построение решения задачи Коши (159).
§ 18. Решение задачи Коши методом Римана для вырождающегося гиперболического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
1. Постановка задачи Коши (161). 2. Построение функции
Римана (162). 3. Построение решения задачи Коши (165).
Глава 4. Уравнения эллиптического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
§ 19. Общие сведения об эллиптических уравнениях . . . . . . . . . .
170
§ 20. Гармонические функции. Примеры. Теорема Кельвина . . .
172
§ 21. Внутренний принцип экстремума гармонических функций.
Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле.
178
§ 22. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круговых областях. Формула Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
1. Решение задачи Дирихле в круговых областях (182).
2. Формула Пуассона. Обобщенное решение задачи Дирихле (188).
§ 23. Свойства гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
§ 24. Граничный принцип экстремума для гармонических функций. Задачи Неймана и Пуанкаре для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
§ 25. Внешние граничные задачи для уравнения Лапласа . . . . .
209

Оглавление
5
§ 26. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом
Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
1. Формула Грина оператора Лапласа. Интегральное представление решения уравнения Пуассона (215). 2. Функция Грина задачи Дирихле и ее свойства (220). 3. Решение задачи Дирихле в произвольной области методом
Грина (226). 4. Построение решения задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в круге и в полукруге (233). 5. Построение решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа
в шаре и в полушаре (236). 6. Метод конформных отображений (238).
§ 27. Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона методом
Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
1. Необходимое
условие
разрешимости
задачи
Неймана (242). 2. Функция Грина задачи Неймана (243). 3. Построение функции Грина задачи Неймана в шаре и вне
шара (249).
§ 28. Решение граничных задач для уравнения Лапласа методами потенциала и интегральных уравнений. . . . . . . . . . . .
255
1. Потенциалы объема, простого и двойного слоев (256).
2. Поверхности Ляпунова (259). 3. Свойства потенциала
двойного
слоя (262).
4. Свойства
потенциала
простого
слоя (265). 5. Интегральные уравнения Фредгольма (269).
6. Сведение задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям (271).
§ 29. Уравнение Гельмгольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
1. Физическая интерпретация решения (278). 2. Фундаментальные решения уравнения Гельмгольца (279). 3. Интегральное представление решения. Функция Грина (281).
4. Внутренние задачи для уравнения Гельмгольца (284).
5. Внешние задачи. Принцип излучения (288).
Глава 5. Уравнения параболического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297
§ 30. Первая
начально-граничная
задача
для
уравнения
теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297
1. Постановка задачи. Принцип экстремума.
Единственность
и
устойчивость
решения (297).
2. Решение
задачи методом разделения переменных (300). 3. Начальнограничная задача для уравнения теплопроводности с обратным направлением времени (304). 4. Функции Грина
первой начально-граничной задачи (305). 5. Понятие 𝛿функции Дирака (306). 6. Обобщенное решение первой
начально-граничной задачи (308).
§ 31. Распространение тепла в бесконечном стержне (задача
Коши) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310
1. Постановка
задачи
Коши.
Единственность
решения
(310).
2. Существование
решения
задачи
Коши (312).
3. Физический смысл фундаментального решения (317).
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320

Предисловие к третьему изданию
t
В настоящее издание внесены ряд существенных изменений в имеющиеся главы и приложение, добавлены две новые главы (6 и 8),
а также исправлены обнаруженные опечатки и неточности. Начиная
с этого издания книга выходит в двух частях.
Прежде всего отметим здесь новые дополнения. В главе 3 добавлен новый § 18 о решении задачи Коши для вырождающегося
гиперболического уравнения методом Римана с использованием гипергеометрической функции.
В главе 4 появился новый § 28 о решении задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа методами теории потенциалов и интегральных уравнений.
В бывшую главу 6 (ныне гл. 7) добавлены два новых параграфа
(40 и 41) о решении первой граничной задачи для двух уравнений
смешанного типа в прямоугольной области методом спектрального
анализа.
Существенные изменения произошли и в приложении. Здесь
также добавлены два новых параграфа. Один из них посвящен изучению ортогональных многочленов, имеющих важные приложения
в различных областях науки, а другой — сферическим и шаровым
функциям.
В новой главе 6 изложены обобщенные по Соболеву решения
краевых задач для уравнений эллиптического, гиперболического
и параболического типов, а также вариационный и галеркинский
методы решения краевых задач.
В следующей новой главе 8 представлены: метод интегральных
преобразований, метод возмущений, метод автомодельных решений
и метод конечных разностей решения краевых задач уравнений
математической физики.
Считаю своим долгом выразить благодарность студентам, коллегам (особенно проф. Ляхову Л. Н. из Воронежского госуниверситета)
и ученикам за указанные опечатки и неточности. Особая благодарность ученику к. ф.-м. н. Сидорову С. Н. за помощь при подготовке
в печать этого учебника.
Буду также благодарен всем, кто пришлет свои замечания и пожелания на мой электронный адрес: sabitov_fmf@mail.ru.
2024 г.
Автор

Предисловие ко второму изданию
t
На сегодняшний день тенденция вузовского образования такова, что
студенту отводится больше времени для самостоятельной работы
над учебным материалом; с другой стороны, новые образовательные стандарты недостаточно обеспечены соответствующими учебнометодическими пособиями. При создании данного пособия ставились
следующие цели.
1. Дать наиболее полный объем информации об основных математических моделях курса «Уравнения математической физики».
2. Изложить материал в форме, доступной для студентов.
3. Обеспечить развитие математической культуры студентов
в плане прикладной направленности обучения.
Круг вопросов, относящихся к уравнениям математической физики, чрезвычайно широк и тесно связан с изучением различных
физических и других естественно-научных процессов.
Математические модели, возникающие при этом, содержат много
общих элементов и составляют предмет «Уравнения математической
физики». Методы исследования этой отрасли науки являются математическими. Задачи уравнений математической физики, будучи
тесно связанными с изучением прикладных проблем, имеют свои
специфические особенности. Поэтому выбор и изложение материала
были продиктованы типичными физическими процессами, в связи
с чем расположение материала соответствует основным типам уравнений математической физики.
Данный курс позволит студентам обладать знаниями о:
– математических моделях (краевых задачах) различных физических и других естественно-научных явлений и процессов,
которые содержат общие элементы;
– корректной постановке краевых задач;
– методах решения основных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка;
умениями:
– математически грамотно пользоваться знаниями; ориентироваться в постановках краевых задач;

Предисловие ко второму изданию
– понять поставленную краевую задачу, решить ее, сформулировать результат и строго доказать соответствующее утверждение;
– публично представить собственные научно-исследовательские
результаты;
владеть:
– методами математического моделирования при решении прикладных задач;
– навыками поиска, анализа и контекстной обработки информации, в том числе относящейся к новым областям знаний;
получить возможность преподавания элементов теории краевых задач в учреждениях среднего и высшего образования.
Предлагаемое учебное пособие разделено на шесть глав.
В главе 1 излагаются понятия курса «Уравнения математической
физики». Выводятся основные уравнения математической физики,
приводятся постановки начально-граничных и граничных задач,
а также начальной задачи (задачи Коши). Вводится понятие о корректности краевой задачи уравнений математической физики.
В главе 2 изучаются вопросы о классификации линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
и приведении к каноническому виду дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка от двух независимых переменных.
В главе 3 рассмотрены вопросы, касающиеся уравнений гиперболического типа. Методом разделения переменных производится
полное решение первой начально-граничной задачи для волнового
уравнения. С использованием метода характеристик решения задач
Коши, Гурса и Дарбу для уравнения колебаний струны построены
в явном виде. Методом усреднения построено решение задачи Коши
для трехмерного волнового уравнения, затем на основании метода
спуска найдено решение задачи Коши в двумерном случае. Излагается метод Римана, позволяющий построить решения задач Коши
и Гурса для общих линейных уравнений гиперболического типа.
Глава 4 посвящена уравнениям Лапласа и Гельмгольца. Изучаются гармонические функции и их свойства. На основании этих
свойств доказаны теоремы единственности и устойчивости решений
основных граничных задач для уравнения Лапласа. Методом разделения переменных строится решение задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в круге, вне круга и в кольце. Изучается метод Грина
для построения решения задач Дирихле и Неймана в произвольной
области. Изучены внутренние и внешние граничные задачи для
уравнения Гельмгольца, указаны их физические приложения.

Предисловие ко второму изданию
9
В главе 5 излагаются первая начально-граничная задача и задача
Коши для уравнения теплопроводности.
В главе 6 приводится постановка задачи Трикоми для уравнения
смешанного типа Лаврентьева—Бицадзе и доказывается единственность решения. В области специального вида методом разделения
переменных установлена ее разрешимость.
В приложении приведены основные сведения из теории специальных функций — важнейшего аппарата исследования краевых задач
математической физики.
В каждой главе приводятся примеры для иллюстрации изложенных теоретических положений. В конце пособия предлагаются
задачи для самостоятельной работы.
Во второе издание данного учебного пособия (первое издание
вышло в издательстве «Высшая школа» в 2003 г.) внесен ряд дополнений и изменений с учетом замечаний и пожеланий студентов,
аспирантов и коллег. Благодаря им исправлены опечатки и неточности. Добавлены новые пункты, параграфы и задачи для самостоятельной работы студентов. В отличие от других учебников по
уравнениям математической физики добавлен параграф о задаче
Дирихле для уравнения струны, где возникает проблема малых
знаменателей, которая тесно связана с вопросами неустойчивых
колебаний. В главе 6 приводится полное обоснование равномерной
сходимости биортогонального ряда, на основании которого строится
решение задачи Трикоми. Основной упор делается на корректную
постановку краевых задач уравнений математической физики, т. е.
для рассматриваемых задач исследуются вопросы единственности,
существования решения и его непрерывной зависимости от заданных
условий. В этом издании более подробно изучаются обобщенные
решения краевых задач. Особое внимание уделяется методам разделения переменных, функций Римана и Грина, специальных функций
как важнейшим аналитическим методам решения краевых задач,
так как на их основе решение строится в явном виде.
В список использованной литературы добавлены новые учебные
пособия по уравнениям математической физики, брошюры и научные статьи, которые оказались полезными автору при выборе
учебного материала.
Учебное пособие написано на основе лекций, прочитанных автором в Стерлитамакской государственной педагогической академии,
Самарском государственном филиале Башкирского государственного университета и в других вузах и предназначено для студентов,
обучающихся по направлениям подготовки «Математика», «Прикладная математика и информатика», «Информатика», «Физика»,

Предисловие ко второму изданию
бакалавров и магистров в соответствии с государственным образовательным стандартом третьего поколения.
Автор выражает благодарность профессорам А. М. Денисову,
А. И. Шашкину, Ф. Х. Мукминову за ряд замечаний и советов,
а Н. В. Перемолотовой за набор и верстку первого издания.
При подготовке книги ко второму изданию существенную помощь при наборе и редактировании оказали мои ученики и коллеги
кандидаты физико-математических наук Р. Г. Идрисов, Р. Х. Каримов, Э. М. Сафин и другие. Всем им выражаю благодарность.
2011 г.
Автор