Практикум по высшей математике : в 2 ч. Ч. 2

Л. И. Дюженкова, О. Ю. Дюженкова
Г. А. Михалин
П р а к т и к у м
по высшей математике
Учебное пособие
В двух частях
Часть 2
Д о п у щ е н о  
Министерства образования и науки 
Научно&методическим советом по математике
Российской Федерации 
в качестве учебного пособия 
для студентов нематематических специальностей 
классических университетов
и высших учебных заведений, 
обучающихся по педагогическим, 
техническим и экономическим специальностям
5&е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 51
ББК 22.1
Д95
Рецензенты:
Сенашенко Василий Савельевич, доктор физ.-мат. наук,
профессор (РУДН),
Шевчук Игорь Александрович, доктор физ.-мат. наук, профессор,
Працевитый Николай Викторович, доктор физ.-мат. наук, профессор
Дюженкова Л. И.
Д95
Практикум по высшей математике : учебное пособие : в 2 ч.
Ч. 2 / Л. И. Дюженкова, О. Ю. Дюженкова, Г. А. Михалин ; пер.
с укр. — 5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2024. —
471 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". —
Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-887-6 (Ч. 2)
ISBN 978-5-93208-818-0
Представлены все основные разделы высшей математики: элементы
математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии,
теории вероятностей и математической статистики. Каждый раздел содержит
обширный перечень задач, который предваряется справочным теоретическим
материалом с иллюстративными примерами. В конце книги приводятся
ответы.
Для студентов и преподавателей технических, экономических, педагогических и сельскохозяйственных вузов.
УДК 51
ББК 22.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Практикум по высшей математике : учебное пособие : в 2 ч. Ч. 2 / Л. И. Дюженкова,
О. Ю. Дюженкова,
Г. А. Михалин
;
пер.
с
укр. — М.
:
БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2009. — 468 с. : ил. — ISBN 978-5-94774-999-1 (Ч. 2);
ISBN 978-5-94774-335-7.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-887-6 (Ч. 2)
ISBN 978-5-93208-818-0
© Лаборатория знаний, 2015

Оглавление
Как пользоваться пособием (вместо предисловия) . . . . . . . . . . . . .
5
Глава 8. Интегральное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 39. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы
интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 40. Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
§ 41. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
.
34
§ 42. Определенный интеграл и его свойства. Интегрирование функциональных и степенных рядов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
§ 43. Приближенные методы вычисления определенных интегралов . .
62
§ 44. Несобственные интегралы. Интегральный признак сходимости
рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
§ 45. Приложения определенных интегралов в геометрии . . . . . . . . . . .
85
§ 46. Приложения определенных интегралов в физике, экономике
и других науках
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
§ 47. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
§ 48. Приложения кратных интегралов в геометрии
. . . . . . . . . . . . . . . 122
§ 49. Приложения кратных интегралов в физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
§ 50. Криволинейные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 51. Приложения криволинейных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 52. Интеграл функции комплексной переменной. Различные определения аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
§ 53. Поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Глава 9. Элементы векторного анализа, комплексного анализа
и операционного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
§ 54. Элементы векторного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
§ 55. Ряд и теорема Лорана. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . 197
§ 56. Вычеты и их приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
§ 57. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
§ 58. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
§ 59. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Глава 10. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
§ 60. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка
. . . . . . 251

Оглавление
§ 61. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка . . . . 258
§ 62. Приближенные решения дифференциальных уравнений первого
порядка. Уравнения Клеро и Лагранжа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
§ 63. Практические приложения дифференциальных уравнений первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 64. Дифференциальные уравнения высших порядков . . . . . . . . . . . . . 296
§ 65. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Глава 11. Элементы теории вероятностей и математической
статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
§ 66. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
§ 67. Случайный эксперимент, пространство элементарных событий,
события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
§ 68. Пространство событий. Относительная частота события. Понятие
вероятности события и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
§ 69. Сложение и умножение вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
§ 70. Схема независимых испытаний. Предельные теоремы
. . . . . . . . . 362
§ 71. Понятие случайной величины и ее функции распределения. Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
§ 72. Непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
§ 73. Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . 394
§ 74. Элементы математической статистики. Выборка и ее характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
§ 75. Оценки параметров генеральной совокупности. Проверка статистических гипотез
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Использованная и рекомендованная литература . . . . . . . . . . . . . . . 462
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

Как пользоваться пособием
(вместо предисловия)
Данное пособие адресовано широкому кругу читателей. Прежде
всего, это касается студентов экономических, естественных, технических, технологических, индустриально-педагогических и других нематематических специальностей высших учебных заведений,
в частности тех, которые учатся заочно.
Оно также будет полезно учащимся старших классов, учителям
школ и преподавателям высших учебных заведений.
Пособие можно использовать как задачник, поскольку оно содержит большое количество упражнений для самостоятельного решения.
Пособие состоит из двух томов и имеет следующую структуру.
Весь материал разделен на главы и параграфы. Каждый параграф состоит из трех частей.
В начале кратко изложен теоретический материал, который для
удобства его использования разбит на короткие пункты. В каждом
пункте приведены примеры, непосредственно иллюстрирующие понятия и утверждения, которые рассматриваются в данном пункте.
Кроме того, теоретический материал содержит большое количество
геометрических иллюстраций.
Далее, в порядке размещения соответствующего теоретического
материала, поданы образцы решения разнообразных задач и, в частности, задач практического содержания.
В конце параграфа приведены задачи для самостоятельного решения. Сначала формулируются вопросы теоретического характера,
направленные на проверку усвоения соответствующего теоретического материала.
Часть упражнений предназначена для устного решения. В каждом параграфе приведено достаточное количество прикладных задач, в частности, задачи на использование экономического, геометрического, физического и других толкований основных понятий.
В приложении приведены важные формулы и некоторые константы, встречающиеся при решении задач.
Для удобства пользования пособием основные понятия, утверждения, формулы и замечания выделены в отдельные таблицы или
взяты в рамки.

Как пользоваться пособием (вместо предисловия)
Нумерация примеров и формул в каждом параграфе своя. В то
же время пункты, рисунки и таблицы имеют двойную нумерацию:
указан номер параграфа и их порядковый номер. Это сделано
с целью облегчения их поиска, поскольку ссылки на них имеются
в разных местах.
Материал в параграфах размещен так, чтобы выдержать единую
смысловую линию. Так, основные определения (предела, непрерывности, производной, ряда и т. п.) там, где это возможно, вводятся
одновременно как для функций одной действительной переменной,
так и для функций комплексной переменной. По форме эти определения одинаковы, а возможности их применения значительно
расширяются.
Элементарная теория рядов рассматривается сразу после введения понятий предела и непрерывности функции с целью использования соответствующего материала уже при изучении первых разделов анализа. Свойства, связанные с дифференцированием и интегрированием рядов, а также интегральный признак сходимости
рядов рассматриваются в соответствующих разделах.
Материал пособия скомпонован так, чтобы в случае необходимости соответствующие его части можно было бы использовать позже.
При решении практических задач указанные в тексте условные
денежные единицы не следует жестко привязывать к существующим
денежным единицам.
В пособии широко используется логическая символика и некоторые сокращения, содержание которых раскрывается в приведенной
ниже таблице.
Символ
Слова и обозначения, заменяющие символ
∀
Для любого; для каждого; для всех
∃
Существует; найдется
:
Такой, что; тех, каждый из которых; а именно
:= (=:)
Равно по определению (придается значение)
⇒
Следует; если . . . , то
⇔
Тогда и только тогда; необходимо и достаточно

Как пользоваться пособием (вместо предисловия)
7
Символ
Слова и обозначения, заменяющие символ
▶(◀)
Начало решения (конец решения)
[x] ({ x})
Целая часть x (дробная часть x)
→
Стремится к
p
−
→
Равномерно стремится
↗(↘)
Монотонно возрастает (убывает)
N
Множество натуральных чисел
N0
Множество N ∪{0}
Z
Множество целых чисел
Q
Множество рациональных чисел
R
Множество действительных чисел
C
Множество комплексных чисел
a/b
a : b
n!
1 · 2 · 3 · . . . · (n −1) · n
(2n)!!
2 · 4 · 6 · . . . · (2n −2) · 2n
(2n −1)!!
1 · 3 · 5 · . . . · (2n −3) · (2n −1)
Во второй части данного пособия рассматриваются следующие
разделы: интегральное исчисление функций одной (действительной
и комплексной) переменной и функций многих переменных; элементы векторного анализа, комплексного анализа и операционного
исчисления; дифференциальные уравнения; элементы теории вероятностей и математической статистики.
Авторы
выражают
искреннюю
благодарность
В. С. Руденко
и Г. Л. Лагуте за ценные замечания по содержанию пособия; Н. Межаковой — за большую помощь в оформлении работы и особую бла

Как пользоваться пособием (вместо предисловия)
годарность — С. Деканову за существенную помощь в оформлении
рисунков и замечания по содержанию материала.
При изложении материала авторы стремились объединить принципы научности, доступности и наглядности.
Замечания по данному пособию просим высылать в адрес издательства или непосредственно авторам по электронной почте:
dujen@yandex.ru.
Желаем успехов в изучении курса высшей математики!
Авторы

Глава 8
Интегральное исчисление
Действием, обратным к дифференцированию, является интегрирование, которое связано с понятием первообразной функции, ее
неопределенного и определенного интегралов, несобственных интегралов, кратных и криволинейных интегралов функции многих
переменных, интегралов функции комплексной переменной.
Вопросам
определения,
условиям
существования,
свойствам
и способам вычислений указанных интегралов и посвящен данный
раздел.
§ 39. Первообразная и неопределенный интеграл.
Основные методы интегрирования
Справочные сведения
39.1. Что такое первообразная. Первообразной функции f
на промежутке ⟨a; b⟩называют такую функцию F, для которой
F ′(x) = f(x), x ∈⟨a;b⟩. Говорят также «первообразная от функции»,
или «первообразная для функции».
Пример 1. Первообразной
функции
f(x) = sin x
на
промежутке
(−∞; +∞) является функция F(x) = −cos x,
x ∈R, поскольку F ′(x) =
= (−cos x)′ = sin x, x ∈R.
Понятно, что для любой постоянной C функция Φ(x) = −cos x + C, x ∈R,
также является первообразной функции f(x) = sin x, x ∈R.
Вообще, если функция F является первообразной функции f на
промежутке ⟨a; b⟩, то множество всех первообразных функции f
на ⟨a; b⟩определяется равенством
Φ(x) = F(x) + C,
x ∈⟨a; b⟩,
где C — произвольная постоянная.
Если функция f непрерывна на промежутке ⟨a; b⟩, то она имеет
первообразную на этом промежутке.
39.2. Неопределенный интеграл. Неопределенным интегралом функции f на промежутке ⟨a;b⟩называют множество всех пер

Глава 8. Интегральное исчисление
вообразных функции f на промежутке ⟨a; b⟩и обозначают

f(x)dx,
где

— знак неопределенного интеграла, f(x) — подынтегральная
функция, а f(x) dx — подынтегральное выражение.
Итак,

f(x) dx = {Φ: Φ — первообразная f на ⟨a; b⟩} = {Φ =
= F + C : F — фиксированная первообразная f на ⟨a;b⟩, а C — произвольная постоянная }. Сокращенно последнее равенство записывают
так:

f(x)dx = F(x) + C,
x ∈⟨a; b⟩.
(1)
Пример 2. Учитывая пример 1, получаем

sin x dx = −cos x + C.
39.3. Простейшие свойства неопределенного интеграла.
Если в равенстве (1) постоянная C — произвольная, но фиксированная, то
1) (

f(x)dx)′ = f(x), т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции;
2) d (

f(x) dx) = f(x)dx, т. е. дифференциал от неопределенного
интеграла равен подынтегральному выражению;
3)

F ′(x) dx =

dF(x) = F(x) + C.
Свойство (1) используют для проверки правильности вычисления неопределенного интеграла.
Пример 3. Равенство

dx
x = ln(−x) + C,
x ∈(−∞; 0).
x = ln |x| + C следует понимать так:

dx
x = ln x + C,
x ∈(0; +∞)
и

dx
Чтобы убедиться в этом, воспользуемся свойством (1):
(ln(−x) + C)′ =
1
x,
x ∈(−∞; 0),
и
−x · (−1) = 1
(ln x + C)′ = 1
x,
x ∈(0; +∞).
39.4. Таблица основных интегралов. Каждый из интегралов в табл. 39.1 называют табличным. Приведенные формулы выполняются на любом промежутке ⟨a; b⟩из области определения
подынтегральной функции, причем в формулах 5, 12 и 14–18 параметр положителен.
x2 −22 =
Пример 4. Пользуясь интегралом 15, получаем:

dx
x2 −4 =

dx
=
1
x + 2
x + 2
x ∈(2; +∞).
2 · 2 ln


 x −2
4 ln


 x −2


 + C = 1


 + C, где x ∈(−∞; −2) или x ∈(−2; 2), или