Практикум по высшей математике : в 2 ч. Ч. 1

Л. И. Дюженкова, О. Ю. Дюженкова
Г. А. Михалин
П р а к т и к у м
по высшей математике
Учебное пособие
В двух частях
Часть 1
Д о п у щ е н о  
Министерства образования и науки 
Научно&методическим советом по математике
Российской Федерации 
в качестве учебного пособия 
для студентов нематематических специальностей 
классических университетов
и высших учебных заведений, 
обучающихся по педагогическим, 
техническим и экономическим специальностям
5&е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 51
ББК 22.1
Д95
Рецензенты:
Сенашенко Василий Савельевич, доктор физ.-мат. наук,
профессор (РУДН),
Шевчук Игорь Александрович, доктор физ.-мат. наук, профессор,
Працевитый Николай Викторович, доктор физ.-мат. наук, профессор
Дюженкова Л. И.
Д95
Практикум по высшей математике : учебное пособие : в 2 ч.
Ч. 1 / Л. И. Дюженкова, О. Ю. Дюженкова, Г. А. Михалин ; пер.
с укр. — 5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2024. —
451 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". —
Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-886-9 (Ч. 1)
ISBN 978-5-93208-818-0
Представлены все основные разделы высшей математики: элементы
математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии,
теории вероятностей и математической статистики. Каждый раздел содержит
обширный перечень задач, который предваряется справочным теоретическим
материалом с иллюстративными примерами. В конце книги приводятся
ответы.
Для студентов и преподавателей технических, экономических, педагогических и сельскохозяйственных вузов.
УДК 51
ББК 22.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Практикум по высшей математике : учебное пособие : в 2 ч. Ч. 1 / Л. И. Дюженкова,
О. Ю. Дюженкова,
Г. А. Михалин
;
пер.
с
укр. — М.
:
БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2009. — 448 с. : ил. — ISBN 978-5-94774-998-4 (Ч. 1);
ISBN 978-5-94774-335-7.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-886-9 (Ч. 1)
ISBN 978-5-93208-818-0
© Лаборатория знаний, 2015

Оглавление
Как пользоваться пособием (вместо предисловия) . . . . . . . . . . . . .
5
Глава 1. Множества и координатные пространства . . . . . . . . . . . .
9
§ 1. Множества и операции над ними
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 2. Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
§ 3. Координатная плоскость. Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
§ 4. Комплексные числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
§ 5. Координатное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Глава 2. Прямые и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 6. Прямая линия на координатной плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 7. Плоскость и прямая в координатном пространстве . . . . . . . . . . . .
74
§ 8. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители
. . . . . .
84
§ 9. Приложения матриц и определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Глава 3. Кривые и поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
§ 10. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
§ 11. Кривые высших порядков. Построение кривых, заданных параметрически и в полярных координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
§ 12. Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Глава 4. Предел и непрерывность функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
§ 13. Понятие функции. Простейшая классификация функций
. . . . . . 146
§ 14. Простейшие свойства функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
§ 15. Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
§ 16. Предел последовательности. Свойства пределов . . . . . . . . . . . . . . 184
§ 17. Предел монотонной последовательности. Экспонента, логарифм,
степень, синус и косинус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
§ 18. Предел функции одной переменной
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§ 19. Непрерывность функции одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
§ 20. Предел и непрерывность функции многих переменных
. . . . . . . . 242
Глава 5. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
§ 21. Понятие числового ряда и его суммы. Простейшие свойства рядов 254
§ 22. Условия сходимости рядов. Абсолютная и условная сходимость . 262
§ 23. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Оглавление
Глава 6. Дифференциальное исчисление
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 24. Производная функции одной переменной. Дифференцирование
степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 25. Геометрический, физический и экономический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
§ 26. Дифференцируемые функции и дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . 303
§ 27. Дифференцируемость функции многих переменных. Критерий
дифференцируемости функции комплексной переменной
. . . . . 310
§ 28. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций
. . . . 322
§ 29. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
§ 30. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Глава
7. Основные теоремы дифференциального исчисления
и их приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
§ 31. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Асимптоты . . . . . . . . . . . 343
§ 32. Формула Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора
. . . . . . . 355
§ 33. Локальные экстремумы и выпуклость функции одной переменной 366
§ 34. Глобальные экстремумы функции одной переменной . . . . . . . . . . 378
§ 35. Экстремумы функции многих переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
§ 36. Условный экстремум. Метод наименьших квадратов
. . . . . . . . . . 395
§ 37. Некоторые методы приближенного решения уравнений
. . . . . . . 400
§ 38. Полное исследование функции и построение ее графика . . . . . . . 403
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Использованная и рекомендованная литература
. . . . . . . . . . . . . . 441
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

Как пользоваться пособием
(вместо предисловия)
Данное пособие адресовано широкому кругу читателей. Прежде
всего, это касается студентов экономических, естественных, технических, технологических, индустриально-педагогических и других нематематических специальностей высших учебных заведений,
в частности тех, которые учатся заочно.
Оно также будет полезно учащимся старших классов, учителям
школ и преподавателям высших учебных заведений.
Пособие можно использовать как задачник, поскольку оно содержит большое количество упражнений для самостоятельного решения.
Пособие состоит из двух томов и имеет следующую структуру.
Весь материал разделен на главы и параграфы. Каждый параграф состоит из трех частей.
В начале кратко изложен теоретический материал, который для
удобства его использования разбит на короткие пункты. В каждом
пункте приведены примеры, непосредственно иллюстрирующие понятия и утверждения, которые рассматриваются в данном пункте.
Кроме того, теоретический материал содержит большое количество
геометрических иллюстраций.
Далее, в порядке размещения соответствующего теоретического
материала, поданы образцы решения разнообразных задач и, в частности, задач практического содержания.
В конце параграфа приведены задачи для самостоятельного решения. Сначала формулируются вопросы теоретического характера,
направленные на проверку усвоения соответствующего теоретического материала.
Часть упражнений предназначена для устного решения. В каждом параграфе приведено достаточное количество прикладных задач, в частности, задачи на использование экономического, геометрического, физического и других толкований основных понятий.
В приложении приведены важные формулы и некоторые константы, встречающиеся при решении задач.

Как пользоваться пособием (вместо предисловия)
Для удобства пользования пособием основные понятия, утверждения, формулы и замечания выделены в отдельные таблицы или
взяты в рамки.
Нумерация примеров и формул в каждом параграфе своя. В то
же время пункты, рисунки и таблицы имеют двойную нумерацию:
указан номер параграфа и их порядковый номер. Это сделано
с целью облегчения их поиска, поскольку ссылки на них имеются
в разных местах.
Материал в параграфах размещен так, чтобы выдержать единую
смысловую линию. Так, основные определения (предела, непрерывности, производной, ряда и т. п.) там, где это возможно, вводятся
одновременно как для функций одной действительной переменной,
так и для функций комплексной переменной. По форме эти определения одинаковы, а возможности их применения значительно
расширяются.
Элементарная теория рядов рассматривается сразу после введения понятий предела и непрерывности функции с целью использования соответствующего материала уже при изучении первых разделов анализа. Свойства, связанные с дифференцированием и интегрированием рядов, а также интегральный признак сходимости
рядов рассматриваются в соответствующих разделах.
Материал пособия скомпонован так, чтобы в случае необходимости соответствующие его части можно было бы использовать позже.
При решении практических задач указанные в тексте условные
денежные единицы не следует жестко привязывать к существующим
денежным единицам.
В пособии широко используется логическая символика и некоторые сокращения, содержание которых раскрывается в приведенной
ниже таблице.
Символ
Слова и обозначения, заменяющие символ
∀
Для любого; для каждого; для всех
∃
Существует; найдется
:
Такой, что; тех, каждый из которых; а именно
:= (=:)
Равно по определению (придается значение)

Как пользоваться пособием (вместо предисловия)
7
Символ
Слова и обозначения, заменяющие символ
⇒
Следует; если . . . , то
⇔
Тогда и только тогда; необходимо и достаточно
▶(◀)
Начало решения (конец решения)
[x] ({ x})
Целая часть x (дробная часть x)
→
Стремится к
p
−
→
Равномерно стремится
↗(↘)
Монотонно возрастает (убывает)
N
Множество натуральных чисел
N0
Множество N ∪{0}
Z
Множество целых чисел
Q
Множество рациональных чисел
R
Множество действительных чисел
C
Множество комплексных чисел
a/b
a : b
n!
1 · 2 · 3 · . . . · (n −1) · n
(2n)!!
2 · 4 · 6 · . . . · (2n −2) · 2n
(2n −1)!!
1 · 3 · 5 · . . . · (2n −3) · (2n −1)
Во второй части данного пособия рассматриваются следующие
разделы: интегральное исчисление функций одной (действительной
и комплексной) переменной и функций многих переменных; элементы векторного анализа, комплексного анализа и операционного
исчисления; дифференциальные уравнения; элементы теории вероятностей и математической статистики.

Как пользоваться пособием (вместо предисловия)
Авторы
выражают
искреннюю
благодарность
В. С. Руденко
и Г. Л. Лагуте за ценные замечания по содержанию пособия; Н. Межаковой — за большую помощь в оформлении работы и особую благодарность — С. Деканову за существенную помощь в оформлении
рисунков и замечания по содержанию материала.
При изложении материала авторы стремились объединить принципы научности, доступности и наглядности.
Замечания по данному пособию просим высылать в адрес издательства или непосредственно авторам по электронной почте:
dujen@yandex.ru.
Желаем успехов в изучении курса высшей математики!
Авторы

Глава 1
Множества и координатные
пространства
Понятие множества является одним из основных математических
понятий. Среди числовых множеств важными являются множество
R действительных чисел, множество C комплексных чисел, множество N натуральных чисел, множество Z целых чисел, а также
множества рациональных и иррациональных чисел и числовые промежутки. Элементы всех перечисленных множеств изображаются
точками числовой прямой или комплексной плоскости.
С помощью числовых множеств образуют новые важные объекты, например, множество упорядоченных пар чисел — точек на
плоскости и множество упорядоченных троек чисел — точек пространства.
Рассмотрению указанных множеств и посвящается данная глава.
§ 1. Множества и операции над ними
Справочные сведения
1.1. Основные и определяемые понятия. Даже в повседневной жизни нужно знать большое количество понятий. Часто
(однако не всегда) одно понятие считают более общим, нежели
другое.
Пример 1. Среди понятий «девочка», «человек», «мальчик», «ребенок»,
наиболее общим является понятие «человек», менее общим — «ребенок» и наименее общими — понятия «мальчик» и «девочка».
Некоторые понятия считают наиболее общими, или основными.
Их не определяют с помощью других понятий, а разъясняют на
конкретных примерах. С помощью основных понятий определяют
много других понятий, которые называют определяемыми.
При введении каждого нового понятия возникают следующие
вопросы:
1) что оно означает и зачем нужно;
2) когда оно существует и является ли единственным;
3) как его найти, вычислить, изобразить, измерить;
4) какие его свойства.

Глава 1. Множества и координатные пространства
1.2. Что такое множество. Множество — это основное математическое понятие. Оно не определяется с помощью других понятий, а используется в том случае, когда объекты различной природы
нужно назвать одним именем. Это позволяет изучать различные
объекты одинаковыми методами. Вместо понятия «множество» часто употребляют термин «совокупность».
Пример 2. Можно говорить о таких множествах:
1) студентов данной
группы;
2) групп данного курса;
3) курсов данного учебного заведения;
4) учебных заведений данного города;
5) городов данной страны;
6) стран планеты Земля;
7) планет Солнечной системы и т. д.
1.3. Элемент множества. Каждое множество, кроме одного
(пустого), состоит из элементов.
Пример 3. Для некоторых множеств из примера 2 имеем:
1) элементом множества студентов данной группы является каждый студент
этой группы, в то время как студент другой группы не является элементом
указанного множества;
2) город Москва является элементом множества городов России, а город
Филадельфия не является элементом этого множества;
3) планета Марс является элементом множества планет Солнечной системы,
а Луна не принадлежит этому множеству.
Каждый объект может быть или не быть элементом фиксированного множества. Множество, не содержащее ни одного элемента,
называют пустым.
Пример 4. Множество студентов данной группы, не являющихся жителями Земли, является пустым.
1.4. Обозначение множеств и их элементов. Множества,
как правило, обозначают большими буквами латинского алфавита:
A, B, C, D и т. п., а их элементы — малыми: a, b, c, d и пр.
Чаще всего множество задают двумя способами: указанием всех
его элементов или заданием некоторого характеристического свойства элементов этого множества.
Для обозначения множества часто используют фигурные скобки
{}, между которыми записывают все элементы множества или условия, определяющие эти элементы. Пустое множество обозначают
символом ∅.
Пример 5.
1) Множество решений уравнения (x −1)(x −2)(x −3) = 0 можно задать
перечислением его элементов: {1, 2, 3};
2) множество четных чисел можно записать в виде {2, 4, 6, . . . , 2n, . . . } или
{x = 2n: n — натуральное число};
3) множество натуральных чисел от 1 до n часто обозначают 1, n.