Алгебраические задачи повышенной сложности для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам

С. Ф. Кожухов, П. И. Совертков
Алгебраические
задачи
повышенной сложности 
для подготовки
к ЕГЭ и олимпиадам
2%e издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 512
ББК 22.141я729+22.141я721.6
К58
Кожухов С. Ф.
К58
Алгебраические задачи повышенной сложности для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам / С. Ф. Кожухов, П. И. Совертков. — 2-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2024. —
259 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". —
Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-676-6
Книга предназначена для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам по
математике и иллюстрирует различные методы решения алгебраических задач повышенной сложности.
Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный материал и подробно разобранные примеры. Кроме того, в пособие
включены задачи для самостоятельной работы учащихся. Ко всем
задачам даны ответы и ко многим — решения.
Для учащихся старших классов.
УДК 512
ББК 22.141я729+22.141я721.6
Деривативное издание на основе печатного аналога: Алгебраические задачи повышенной сложности для подготовки к ЕГЭ
и олимпиадам / С. Ф. Кожухов, П. И. Совертков. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 256 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-281-8.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-676-6
© Лаборатория знаний, 2020

ВВЕДЕНИЕ
Для
решения
олимпиадных
задач
по
математике и задач второй части ЕГЭ требуется как математическая культура (знание определений, формул, признаков, алгоритмов), так и умение решать
нестандартные задачи. Это выражается в умении
рассмотреть
объекты
под
другим
углом
зрения,
выбрать
наиболее
рациональный
путь
решения,
выстроить в предложенной задаче с новым сюжетом аналогию с известным методом и предложить
свое решение.
Домашняя подготовка к олимпиаде не ограничена во времени, а решение задач на олимпиаде
или на ЕГЭ требует быстрого апробирования различных подходов к решению задач, поэтому актуально формирование различных методов решения
задачи.
В
пособии
приведены
различные
методы
решения
некоторых
задач.
Набор
методов
решения
можно
расширить
для
многих
задач
(метод
математической индукции, четность и нечетность,
использование
делимости
на
некоторое
специально
подобранное
число,
арифметика
остатков
при
делении), но во многих задачах этот набор методов специально ограничен. Читателю настоятельно
рекомендуется после решения предложенной задачи задуматься о возможности решения этой задачи
другим методом.
В пособии алгебраические задачи распределены
по темам, хотя это распределение является относительным, так как большинство задач решаются
различными методами, а значит, они могли быть
распределены другим способом.
Некоторые задачи проще решаются при геометрическом
истолковании условия задачи, поэтому
иногда
используется
геометрическая
интерпретация и далее задачи решаются методами алгебры
и геометрии.
В
каждой
теме
вначале
кратко
рассмотрены
теоретические сведения, потом разобраны несколь

Введение
ко примеров и затем приведены задачи для самостоятельного решения. В конце темы приведены
дополнительные сведения об использовании алгебры в других разделах математики, физики и техники, а также занимательные задачи, направленные на формирование интереса к математике.
Нумерация
задач
в
пособии
двойная.
Первое
число указывает номер раздела, а второе — номер
задачи в разделе.
Критические замечания и пожелания по наиболее рациональному решению предложенных в пособии задач можно направлять авторам по e-mail:
psovertkov@mail.ru

Глава 1. ВОКРУГ ДЕЛИМОСТИ
1. Использование четности
и нечетности чисел
Теоретический материал
Если целое число делится на 2, то оно называется четным,
а
если
не
делится
на
2,
то
называется
нечетным.
Четное
число n имеет вид n = 2k, а нечетное число — n = 2k + 1, где
k ∈Z.
Два
целых
числа
называются
числами
одинаковой
четности,
если
они
оба
четные
или
оба
нечетные.
Два
целых
числа называются числами разной четности, если одно из них
четное, а другое нечетное.
Свойства четности и нечетности чисел:
1. Сумма любого количества четных чисел — число четное.
2. Сумма четного и нечетного чисел — число нечетное.
3. Сумма нечетных чисел — число четное, если количество
слагаемых
четно,
и
нечетное
число,
если
количество
слагаемых нечетно.
4. Сумма и разность любых целых чисел имеют одинаковую
четность.
5. Для любых целых чисел a и b числа a и a + 2b имеют
одинаковую четность.
6. Для
любых
целых
чисел
a
и
b
числа
a
и
a + 2b + 1
имеют разную четность.
7. Произведение нескольких целых чисел четно, если хотя
бы один из множителей четен.
8. Среди
двух
последовательных
натуральных
чисел
одно
обязательно четно, а другое нечетно.
9. Произведение двух последовательных целых чисел — число четное.
10. Произведение целых чисел нечетно, если все множители
нечетны.
11. Числа a и an, где a ∈Z и n ∈N, имеют одинаковую
четность.
12. Если a и b — числа одинаковой четности, b и c — числа
одинаковой четности, то a и c — числа одинаковой четности.

Глава 1. Вокруг делимости
13. Наибольший
общий
делитель
нечетных
чисел
является
нечетным числом.
14. Наименьшее
общее
кратное
нечетных
чисел
является
нечетным числом.
Решение в целых числах уравнения
ax + by = c с целыми коэффициентами
a, b, c ∈Z.
Если
(x0;
y0) — некоторое
решение
этого
уравнения
в
целых
числах, то все решения имеют вид x = x0 −bt, y = y0 + at,
где t ∈Z. В дальнейшем будет предъявлен метод нахождения
частного
решения
(x0; y0),
а
пока
оно
будет
находиться
для
простейших уравнений простым подбором.
Примеры решения задач
1.1. В ряд выписаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Между
ними
произвольно
расставляют
знаки
«+»
и
«−»
и
находят
сумму. Какие значения может принимать сумма?
Р е ш е н и е. Сумма
1 + 3 + 5 + 7 + 9
пяти
нечетных
чисел
является
нечетным
числом.
При
замене
произвольного
знака
«+»
на
знак
«−»
четность
суммы
не
изменяется,
поэтому,
расставляя произвольным образом знаки около пяти нечетных
чисел, получим в каждом случае нечетное число.
Расставляя произвольным образом знаки около пяти остальных четных чисел, получим в каждом случае четное число.
Итак,
сумма
всех
чисел
при
любой
расстановке
знаков
является нечетным числом.
Изменив все расставленные знаки в сумме на противоположные, получим число, противоположное первоначальной сумме,
поэтому достаточно изучить только положительные суммы.
Наибольшее значение суммы
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.
Заменив только одно слагаемое в этой сумме на противоположное число с помощью одной смены знака, можно уменьшить
сумму
55
последовательно
на
2,
4,
6,
8,
10,
12,
14,
16,
18, 20, а значит, получить новые суммы, равные следующим
числам: 53, 51, 49, 47, 45, 43, 41, 39, 37, 35.
Если в сумме 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 −10 = 35 изменить
только один раз знак в первых восьми слагаемых, то сумма 35
будет уменьшаться последовательно на числа 2, 4, 6, 8, 10, 12,
14, 16 и примет значения 33, 31, 29, 27, 25, 23, 21, 19.
Если в сумме 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 −8 + 9 −10 = 19 изменить
только один раз знак в первых шести слагаемых, то сумма 19

1. Использование четности и нечетности чисел
7
будет уменьшаться последовательно на числа 2, 4, 6, 8, 10, 12
и примет значения 17, 15, 13, 11, 9, 7.
Если в сумме 1 + 2 + 3 + 4 + 5 −6 + 7 −8 + 9 −10 = 7 изменить
только
один
раз
знак
в
первых
трех
слагаемых,
то
сумма
примет значения 5, 3, 1.
О т в е т. Все нечетные числа от −55 до 55.
□
1.2. Перед
каждым
из
чисел
5,
6,
7,
. . .,
13
и
16,
17,
18,
19,
20
произвольным
образом
расставили
знаки
«плюс»
или «минус», после чего к каждому из образовавшихся чисел
первого набора добавили каждое из образовавшихся чисел второго набора, а потом все 45 полученных результатов сложили.
Какую
наименьшую
по
модулю
сумму
и
какую наибольшую
сумму можно получить?
Р е ш е н и е. Если взять все числа с плюсами, то максимальная сумма равна
5(5 + 6 + . . . + 13) + 9(16 + 17 + . . . + 20) =
= 5
(5 + 13)
2
· 9

+ 9
(16 + 20)
2
· 5

= 45 · 27 = 1215.
При такой расстановке знаков сумма всех чисел нечетна. Число
нечетных слагаемых в ней также нечетно, поэтому сумма всех
результатов останется нечетной при любой расстановке знаков.
Модуль суммы не может быть равен 0.
Покажем, что сумма всех результатов при некоторой расстановке знаков может оказаться равной 1.
Положим x = ±5 ± 6 ± . . . ± 13 и y = ±16 ± 17 ± . . . ± 20,
где в каждой алгебраической сумме подразумевается некоторая
фиксированная расстановка знаков.
Тогда
нужно
решить
прежде
всего
уравнение
5x + 9y = 1
в целых числах. Одно решение очевидно: x = 2, y = −1. Все
решения
этого
линейного
уравнения
имеют
вид
x = 2 −9t,
y = −1 + 5t, t ∈Z. Учитывая диапазон сумм ±5 ± 6 ± . . . ± 13
и
±16 ± 17 ± . . . ± 20,
выберем
решение
x = −25,
y = 14.
Теперь в каждой алгебраической сумме нужно расставить знаки
следующим образом:
−5 −6 −7 + 8 + 9 −10 + 11 −12 −13 = −25.
Поясним способ получения нужной комбинации знаков. Если
перед
каждым
числом
поставить
«минус»,
то
сумма
равна
−5 −6 −. . . −13 = −81. Если только перед одним слагаемым
изменить знак, то сумма изменится на выражение в два раза
большее
числа,
перед
которым
меняли
знак.
Итак,
решая
уравнение −81 + 2z = −25, получаем z = 28. Теперь осталось
только из некоторых чисел набора составить сумму, равную 28,
и
поменять
перед
ними
знаки.
Например,
28 = 8 + 9 + 11
и нужная комбинация знаков получена. А можно было выбрать
28 = 5 + 11 + 12, тогда 5 −6 −7 −8 −9 −10 + 11 + 12 −13 = −25.

Глава 1. Вокруг делимости
Для второго набора аналогично получаем
16 + 17 −18 + 19 −20 = 14.
Итак, сумма примет значение 1 при следующей расстановке
знаков:
5(−5 −6 −7 + 8 + 9 −10 + 11 −12 −13) + 9(16 + 17 −18 + 19 −20) =
= 5 · (−25) + 9 · 14 = 1.
Наименьшая по модулю сумма равна 1.
□
1.3. Может ли разность двух чисел вида n2 + 2n, где n — целое
число, равняться 2018?
Р е ш е н и е. Для любых чисел такого вида получаем
n2 + 2n −(m2 + 2m) = 2018 ⇔
n2 −m2 + 2(n −m) = 2018 ⇔
⇔
(n −m)(n + m + 2) = 2 · 1009.
Для любых натуральных чисел n и m числа n −m и n + m
имеют одинаковую четность, числа n + m и n + m + 2 имеют
одинаковую четность, следовательно, числа n −m и n + m + 2
также имеют одинаковую четность.
Если
число
n −m
четное,
то
и
число
n + m + 2
четное,
а
следовательно,
левая
часть
последнего
уравнения
должна
делится на 4, в то время как число 2 · 1009 не делится на 4.
Если число n −m нечетное, то и число n + m + 2 нечетное,
а
следовательно,
левая
часть
последнего
уравнения
является
нечетным числом, в то время как число 2 · 1009 — четное число.
Полученные противоречия показывают, что число 2018 нельзя представить в таком виде.
□
1.4. Решить уравнение 2x2 −5y2 = 7 в целых числах.
Р е ш е н и е. Если y — четное число, то левая часть данного
уравнения является четным числом, а правая часть — нечетное
число. Полученное противоречие показывает, что y — нечетное
число.
Пусть y = 2n + 1, где n ∈Z, тогда 2x2 −5 (4n2 + 4n + 1) = 7,
или x2 −10n2 −10n = 6. Из уравнения следует, что x — четное
число.
Пусть x = 2m, где m ∈Z. Тогда
4m2−10n2−10n = 6 ⇔2m2−5n2−5n = 3 ⇔2m2−5n (n+1) = 3.
Произведение двух последовательных чисел n (n + 1) является
четным числом. Следовательно, левая часть последнего уравнения — четное число, а правая часть уравнения — нечетное число. Полученное противоречие показывает, что данное уравнение
не имеет решений в целых числах.
□
1.5. Решить уравнение 4x3 −6y3 −z3 = 0 в целых числах.
Р е ш е н и е. Число 4x3 −6y3 делится на два, следовательно,
и число z3 должно делиться на 2, т. е. число z должно быть
четным.

1. Использование четности и нечетности чисел
9
Пусть z = 2z1, где z1 — целое число. Тогда 4x3 −6y3 −8z3
1 = 0,
или 2x3 −3y3 −4z3
1 = 0.
Из последнего уравнения следует, что y должно быть четным.
Пусть y = 2y1, где y1 — целое число. Тогда 2x3 −24y3
1 −4z3
1 =
= 0, или x3 −12y3
1 −2z3
1 = 0. Отсюда следует, что x должно быть
четным.
Пусть x = 2x1, где x1 — целое число, тогда 8x3
1 −12y3
1 −2z3
1 =
= 0, или 4x3
1 −6y3
1 −z3
1 = 0.
Коэффициенты при неизвестных в последнем уравнении оказались равными коэффициентам при соответствующих переменных
в исходном уравнении, т. е. последнее уравнение совпадает с исходным уравнением с точностью до обозначения переменных.
Ход вышеприведенных рассуждений показывает, что числа
x, y, z, удовлетворяющие
данному уравнению, должны быть
четными.
Числа x1 = x
2
также удовлетворяют этому
2 , y1 = y
2 , z1 = z
уравнению, а значит, должны быть четными.
Числа x2 = x1
2
удовлетворяют
данному
2 ,
y2 = y1
2 , z2 = z1
уравнению и должны быть четными и т. д.
Но существуют единственные числа x = 0, y = 0, z = 0, которые удовлетворяют этому условию.
□
Задачи
1.6. Можно
ли
представить
число
101 030
в
виде
разности
квадратов двух целых чисел?
1.7. Докажите, что уравнение x2 −y2 = 6 не имеет решений
в целых числах.
1.8. Решите уравнение 4x3 −y3 −2z2 = 0 в целых числах.
1.9. Докажите, что уравнение x2 + y2 + z2 = 2xyz имеет в целых
числах единственное решение x = 0, y = 0, z = 0.
1.10. Перед каждым из чисел 7, 8, . . . , 15 и 13, 14, . . . , 18
произвольным образом расставили знаки «плюс» или «минус»,
после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора
добавили
каждое
из
образовавшихся
чисел
второго
набора,
а потом все 45 полученных результатов сложили. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно
получить?
1.11. Докажите, что число N5 оканчивается на ту же цифру,
что и число N.

Глава 1. Вокруг делимости
≻
≺
Дружественные и совершенные числа
Два
натуральных
числа
называются
дружественными,
если
сумма делителей (не считая самого числа) одного из них равна
второму числу, и наоборот.
В Греции была известна одна пара дружественных чисел:
220 = 1 · 22 · 5 · 11 и 284 = 1 · 22 · 71.
Суммы делителей этих чисел:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Пьер Ферма нашел пару 17 296 = 24 · 23 · 47 и 18 416 = 24 · 1151.
Натуральное число называется совершенным, если оно равно
сумме всех своих делителей (не считая самого числа).
Примеры совершенных чисел:
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Если p — простое число, то 2p−1(2p −1) — совершенное число.
≻
≺
Числа Мерсенна
Числа вида Mn = 2n −1, где n — натуральное число, называются
числами Мерсенна. {Mn} = 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, . . . .
Теорема. Если n — составное число, то и число Мерсенна Mn
составное.
Действительно, пусть n = km, где k и m — натуральные числа, тогда Mn = 2n−1 = 2km−1 = (2k−1)(2k(m−1)+2k(m−2)+. . .+1) —
составное число.
Следствие. Если число Мерсенна Mn простое, то число n также
простое (если
предположить, что n составное, то
по теореме
получаем противоречие с тем, что Mn простое).
Но существуют простые числа n, для которых Mn составное.
Например, M11 = 2047 = 23 · 89.
Простое число Мерсенна — это число Мерсенна, являющееся
простым. Например, простыми числами являются числа Мерсенна для n = 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521.
≻
≺
Числа Ферма
Числа вида fn = 22n + 1, где n = 0, 1, 2, . . . , называются числами
Ферма.
При n = 0, 1, 2, 3, 4 получаем простые числа Ферма:
f0 = 220 + 1 = 3,
f1 = 221 + 1 = 5,
f2 = 222 + 1 = 17,
f3 = 223 + 1 = 257,
f4 = 224 + 1 = 65 537.
Число Ферма f5 = 225 + 1 не является простым.