Математические методы в бизнесе и менеджменте

В. В. Покровский
Математические
методы
в бизнесе и менеджменте
Учебное пособие
6е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 519+65.0+334(075.8)
ББК 22.17я73
П48
Покровский В. В.
П48
Математические
методы
в
бизнесе
и
менеджменте
:
учебное пособие / В. В. Покровский. — 6-е изд., электрон. —
М. : Лаборатория знаний, 2024. — 113 с. — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-93208-743-5
В учебном пособии представлены методы линейного программирования и математической статистики, позволяющие предпринимателю принять оптимальное или близкое к оптимальному решение
в условиях рыночной экономики. Описана методика построения
математических моделей, графическое и численное решение задач
оптимизации в среде MS Excel. Рассмотрено применение статистических критериев, позволяющее принимать решение на основе строгих
методов, отсеивающих случайные причины. Предложены алгоритмы
компьютерной обработки статистических критериев.
Отдельная глава посвящена задачам и упражнениям, наиболее
трудные из которых приводятся с решениями.
Для студентов и преподавателей высших учебных заведений.
УДК 519+65.0+334(075.8)
ББК 22.17я73
Деривативное издание на основе печатного аналога: Математические методы в бизнесе и менеджменте : учебное пособие /
В. В. Покровский. — 2-е изд., испр. — М. : БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2008. — 110 с. : ил. — ISBN 978-5-94774-832-1.
В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-743-5
© Лаборатория знаний, 2015

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Глава 1. Линейное программирование (ЛП) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Общий вид задачи ЛП. Канонический и симметрический
(стандартный) виды задачи ЛП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Построение математической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Графический метод решения задач линейного
программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5. Двойственные задачи линейного программирования . . . . . . . 31
1.6. Решение задачи оптимизации
в среде Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7. Целочисленное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.8. Графическое оформление результатов в среде Excel. . . . . . . . 58
Глава 2. Статистические методы в менеджменте и экономике. . . . . . 62
2.1. Роль статистических методов в современном
менеджменте и бизнесе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2. Критерий знаков G (G-критерий) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3. Парный Т-критерий Вилкоксона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4. Критерий Пейджа
(L-критерий тенденций Пейджа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5. Компьютерная обработка G-критерия знаков
в среде Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6. Компьютерная обработка парного Т-критерия
Вилкоксона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Глава 3. Задачи и упражнения. Рекомендации по решению задач. . . 84
Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Ответы и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Предисловие
«…Примеры полезнее правил.»
Исаак Ньютон
«…такая точная дисциплина, как экономика, не должна быть ни скучной, ни трудной».
Пол Самуэльсон,
лауреат Нобелевской премии по экономике
В настоящее время, в связи с переходом на двухступенчатую
систему образования, возникла потребность в учебниках по математическим дисциплинам, качественно отличающихся от имеющихся,
в которых большая часть посвящена строгому доказательству теории и выводу формул. Студенты, желающие завершить свое образование бакалаврами и стать специалистами в современном понимании этого термина, должны быть подготовлены к практической
деятельности с использованием математических методов в сфере
бизнеса и предпринимательства.
Кроме того, сейчас весьма широк круг лиц, получающих второе
высшее образование и уже имеющих опыт работы в сфере бизнеса.
Работая несколько лет с такими студентами, автор пришел к
следующим выводам.

Учебники для таких студентов должны представлять практические руководства по применению математических методов.
Доказательства теорем и вывод формул должны быть максимально упрощены либо вообще опущены, так как, по мнению
автора, строгое изложение, например, симплекс-метода с последующим решением задач линейного программирования
«вручную» надолго, если не навсегда, отобьет охоту у специалиста применять в своей практической деятельности математические методы. Кроме того, в век компьютеризации,

Предисловие
5
решение задач подобного типа «вручную» иначе, как пустой
тратой времени, назвать нельзя.

Изучение математических методов должно быть максимально компьютеризировано. С одной стороны, это делает курс
современным, с другой — вызывает повышенный интерес у
студентов, большинство из которых владеет компьютерной
техникой.

Примеры, рассматриваемые на семинарских занятиях, должны иметь практическую значимость и очевидную полезность.
В данном пособии в достаточно простой иллюстративной форме
на практических примерах рассмотрено применение методов линейного программирования и математической статистики в менеджменте и бизнесе. Предполагается, что читатели в необходимом объеме
владеют методами работы с электронными таблицами Microsoft
Excel.

Глава 1
Линейное программирование
(ЛП)
1.1. Постановка задачи
Менеджеру и экономисту, а также руководителю любого ранга
в условиях рыночной экономики постоянно приходится принимать
решения — какую экономическую стратегию выгоднее проводить,
стоит ли заключать контракт с некоей фирмой, если есть сомнения в
ее надежности, стоит ли вкладывать деньги в рекламу, а если стоит,
то сколько, какое количество запасов надо иметь на складах и т. д.
Несмотря на кажущуюся разницу между перечисленными задачами, все они сводятся к отысканию наиболее оптимального алгоритма действий, приводящего к желаемой цели — наименьшим
затратам, максимальной прибыли и т. д.
Последние годы характеризуются резкой математизацией экономических дисциплин, что связано не в последнюю очередь с появлением персональных компьютеров. Математизация, кроме всего
прочего, означает, что экономика из описательной науки переходит,
а точнее, уже перешла в разряд точных. Однако, как правило, в науке при рассмотрении какого-либо явления или события выступает
не реальная вещь или объект, а ее идеальный образ (модель). Дело в
том, что реальные объекты в природе и обществе крайне сложны,
поэтому в ходе исследований многие их черты и связи приходится
отсекать, иначе мы получим такой образ (модель) объекта, что его
количественное изучение создаст непреодолимые математические и
программные трудности. Поэтому в любой науке при создании моделей (моделировании) какого-либо объекта или явления необходимо оставить наиболее характерные черты, отбросив второстепенные.
Этот подход далеко не нов и постоянно применяется в различных
науках. Например, в физике при рассмотрении задачи о пути, пройденном телом, подброшенным вертикально вверх, идеализация заключается в том, что не учитывается вращение Земли вокруг своей
оси и вокруг Солнца, релятивистское изменение массы, сопротивление воздуха, зависимость ускорения свободного падения от широты и

Линейное программирование (ЛП)
7
долготы места, где проводится испытание, высоты над уровнем моря,
тело принимается на материальную точку и т. д. Возникает вопрос —
где же проходит граница идеализации? Какие черты и связи явления
или процесса можно отбросить, а какие нет? Вопрос этот довольно
сложный и зачастую является ключевым. Руководствуясь пожеланиями менеджера или экономиста, математик может построить модель,
которая впоследствии будет настолько далека от реальности, что
практическая польза от нее будет равна нулю. Поэтому этап создания
модели должен проводиться математиками в союзе с менеджерами и
экономистами. Любая модель предполагает наличие параметров, некоторые из которых строго зафиксированы и не зависят от нашей
воли и желания, например расстояние от складов, где хранятся сырье
и комплектующие, до производственных помещений, НДС, дорожные
налоги, арендная плата и др. Другие параметры могут варьироваться,
но в строго определенных пределах, например количество киловатт
энергии, потребляемое компанией, предел выброса в атмосферу экологически вредных веществ и т. п. Некоторые же параметры могут
практически не иметь ограничений. Скажем, в регионе, где находится
производство, нет проблем с рабочей силой.
Таким образом, задача управления сводится к отысканию оптимального алгоритма действий, когда из множества всех имеющихся
параметров (X) мы меняем в допустимых пределах те, которые могут быть изменены (x), чтобы достичь наибольшей эффективности
производственного процесса, т. е. получить максимальную прибыль
и рентабельность, в кратчайший срок запустить производство, определить оптимальное количество комплектующих, хранящихся на
складах и т. д. Эти параметры условимся называть управляющими
переменными, переменными управления или просто управлением. Очевидно, что для нахождения набора параметров управления x,
обеспечивающих эффективность производственного процесса, надо
иметь функцию F, названную целевой, которая ставит в соответствие каждому набору x  X какое-либо количественное значение.
Как правило, необходимо подобрать такой набор переменных
управления x, чтобы целевая функция F имела минимальное (себестоимость, затраты, количество работающих и т. д.) либо максимальное (прибыль, рентабельность, эффективность и т. д.) значения, т. е.
при каком-либо наборе переменных управления x функция F(x) достигала экстремума — минимума или максимума, т. е.
min (max) F(x) = F(x)
x  X

Глава 1
Понятно, что при построении целевой функции необходим тесный контакт менеджера, экономиста и математика, поскольку математик зачастую не представляет себе критериев оптимизации, ограничений на переменные управления и еще ряда специальных вопросов.
Зато следующий этап — разработка или применение известных
математических методов или математического аппарата — прерогатива математика.
Завершается работа отысканием набора переменных управления 
xi , обеспечивающих минимум или максимум целевой функции F,
и «натурными испытаниями». Если набор

xi не обеспечивает экстремального значения целевой функции, то необходимо либо учесть
в модели факторы, которые мы отбросили при создании модели, либо
строить новую, более соответствующую экономическим реалиям,
либо менять целевую функцию, либо совершенствовать или заменять
математический аппарат. В худшем случае приходится начинать работу заново и продолжать ее до тех пор, пока найденный набор

xi не
обеспечит экстремального значения целевой функции.
Теперь мы можем определить порядок действий при поиске
правильного решения.
1. Изучение реальной действительности, т. е. всех факторов, влияющих на эффективность нашей деятельности.
2. Идеализация реальной деятельности, т. е. создание модели.
3. Выбор целевой функции.
4. Выбор уже имеющегося или создание нового математического
аппарата для нахождения экстремума целевой функции.
5. Выбор программного обеспечения для работы с целевой функцией.
6. Отыскание набора переменных (параметров управления).
7. Поиск оптимального варианта действий.
8. Натурные испытания.
9. Коррекция имеющейся или создание новой модели (в случае
необходимости).
10. Выдача конкретных рекомендаций совместно с инженерно-техническим персоналом, технологами, управленцами.
Задачами подобного типа, связанными с поиском оптимальной
человеческой (управленческой) деятельности, занимается наука, называемая «исследование операций». Ее изучение мы начнем с основ
линейного программирования, задачей которого является поиск набора переменных управления, обеспечивающих максимум или минимум целевой функции с учетом ограничений, наложенных на этот
набор переменных управления.

Линейное программирование (ЛП)
9
1.2. Общий вид задачи ЛП. Канонический
и симметрический (стандартный) виды задачи ЛП
Термин «линейное программирование» (ЛП) появился в 30-х годах прошлого века и обязан своему появлению не совсем корректному переводу английского слова «programation». В те времена компьютеров еще не было и, соответственно, ни о каком программировании не могло быть речи. Корректнее был бы перевод «линейное
планирование». Однако с появлением компьютеров термин «линейное программирование» стал соответствовать своему содержанию.
Линейное программирование — математический метод, позволяющий описывать экстремум (минимум или максимум) целевой
функции, когда линейна как сама функция, так и ограничения, накладываемые на переменные управления.
Широкое применение этого метода обусловлено тем, что на
практике многие экономические показатели, например прибыль, линейно (или почти линейно) зависят от вложений в рекламу, количества закупаемого сырья, стоимости энергоресурсов, перевозок и т. д.
В общем виде задача линейного программирования записывается следующим образом:
n
( )
min (max)




1
(1.1)
F x
c x
j
j
j
при налагаемых ограничениях
n



1
(i = 1, ..., m1);
(1.2)
a x
b
ij
j
i
j
n



1
(i = m1 + 1, ..., m2);
(1.3)
a x
b
ij
j
i
j
n



1
(i = m2 + 1, ..., m);
(1.4)
a x
b
ij
j
i
j
xj  0,
(1.5)
где F(x) — целевая функция, экстремум которой нам необходимо
найти;
xj — переменная управления;
bj, aij, i = 1, ..., m; j = 1, ..., n — параметры.

Глава 1
Выражения (1.1)–(1.5) означают, что нам необходимо найти экстремум функции (1.1) при условиях (ограничениях) (1.2)–(1.5).
Ограничения — это математические выражения, отражающие
экономические реалии процесса производственной деятельности.
Например, мы не можем рассчитывать на неограниченные энергоресурсы и площади складских и производственных помещений. Наши
транспортные средства могут вывезти ограниченное количество единиц произведенной продукции и т. д. Некоторые же управляющие
переменные, наоборот, могут не иметь ограничений. Так, например,
если мы хотим организовать какое-либо производство в «депрессивном» регионе, то у нас не будет проблем с рабочей силой.
Геометрическая интерпретация каждого из неравенств — гиперплоскость, т. е. плоскость в n-мерном пространстве; а область, в которой мы будем искать значение управляющих переменных, представляет собой выпуклый многогранник в этом же n-мерном пространстве, ограниченный этими плоскостями.
Мы рассмотрели математическую запись общей задачи линейного программирования (ОЗЛП) и ее геометрическую интерпретацию. Теперь можно сказать, что допустимое решение (план) — это
n-мерный вектор X = (x1, x2,… xn), удовлетворяющий системе ограничений (1.2)–(1.5).
Множество всех допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР), а оптимальным называется то или те из допустимых решений, которые обеспечивают максимум или минимум
целевой функции, т. е. решения х, для которых выполняются следующие неравенства:
F(x)  F(x), когда требуется найти максимум целевой функции,
и
F(x)  F(x), когда требуется найти минимум целевой функции.
Общая задача линейного программирования решается, как правило, либо графически, либо симплекс-методом. Для применения
симплекс-метода ОЗЛП следует записать в каноническом виде:
F(x)  c1x1 + c2x2 + … + cnxn  max;
(1.6)
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn  b1;
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn  b2;
(1.7)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + … + amnxn  bm;
xj  0;
j  1, ..., n.
(1.8)

Линейное программирование (ЛП)
11
При записи ОЗЛП в общем виде целевая функция может принимать как максимальное, так и минимальное значение (см. запись (1.1)). При записи же в каноническом виде требуется только
максимум. Это требование легко выполнимо. Если в записи в общем виде целевая функция должна иметь минимальное значение,
то достаточно просто поменять знаки в обеих частях записи (1.1), и
мы
автоматически
переходим
к
поиску
максимума,
так
как
min F(x)  – max(–F(x)).
Теперь нам предстоит заменить неравенства (1.2; 1.3) на равенства. Это требование также легко осуществимо: достаточно в неравенстве вида  ввести в левую часть новую положительную переменную, а в неравенстве вида  достаточно вычесть из левой части
новую положительную переменную.
Может случиться, что на какую-либо переменную не распространяются условия неотрицательности, тогда ее заменяют разностью двух неотрицательных переменных.
Пример 1
Привести к каноническому виду задачу



2
7
F(x)  3x1 + 2x2 – x3  max
(1.9)
x1 + 2x2  7
(1.10)
3x1 + x2 – 2x3  8
(1.11)
2x1 + x3  –5
(1.12)
x1  0; x2  0
(1.13)
Необходимо максимизировать целевую функцию F(x), поэтому
знаки в левой и правой частях формулы (1.9) менять не надо. Однако
в целевой функции, а также в соотношениях (1.11) и (1.12) содержится переменная x3, на которую не накладывается условие неотрицательности. Поэтому проведем замену x
x
x
3
3
3
 

–
в соотношениях
(1.9), (1.11), (1.12). К левой части неравенства (1.10) прибавим x4,
а из левой части неравенства (1.12) вычтем x5. Кроме того, наложим
условие неотрицательности на переменные

x3, 
x3, x4 и x5 и запишем
задачу (1.9)–(1.13) в каноническом виде:
F x
x
x
x
x
( )
–
max


   
3
2
1
2
3
3
x
x
x
	
1
2
4


 
 
3
2
2
8
x
x
x
x
1
2
3
3

–
 

 
2
5
–
–
x
x
x
x
1
3
3
5

x
x
x
1
2
3
0
0
0



,
,

,

x
x
x
3
4
5
0
0
0



,
,