Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления

В.  К. Романко
КУРС 
дифференциальных 
уравнений 
и вариационного 
исчисления
8-е издание (электронное)
Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических специальностей
высших учебных заведений
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 517.9
ББК 22.161.1
Р69
Романко В. К.
Р69
Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В. К. Романко. — 8-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2024. — 349 с. — Систем. требования: Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст
:
электронный.
ISBN 978-5-93208-735-0
В пособии изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных первого
порядка и вариационного исчисления. Наряду с изложением традиционных разделов курса обыкновенных дифференциальных уравнений, в книге рассмотрены и некоторые нетрадиционные вопросы
(граничные задачи, уравнения с малым параметром, нелинейные
уравнения в частных производных первого порядка, вариационная
задача Больца и др.).
Многочисленные примеры иллюстрируют рассматриваемые теоретические положения.
Для студентов высших учебных заведений.
УДК 517.9
ББК 22.161.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Курс
дифференциальных
уравнений
и
вариационного
исчисления
/
В. К. Романко. — 7-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2022. — 346 с. :
ил. — ISBN 978-5-93208-268-3.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-735-0
© Лаборатория знаний, 2015

Оглавление
▼
Предисловие
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
   6
Некоторые обозначения
Некоторые обозначения 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
    7
Введение
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    
   8
1   
Методы решения некоторых дифференциальных уравнений
1   
Методы решения некоторых дифференциальных уравнений   12
  12
  § 1.   
Основные понятия для дифференциальных уравнений первого 
  § 1.   
Основные понятия для дифференциальных уравнений первого 
порядка
порядка 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
  12
12
  § 2.   
Методы решения простейших дифференциальных уравнений 
  § 2.   
Методы решения простейших дифференциальных уравнений 
первого порядка
первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
  18
18
  § 3.   
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно про  § 3.   
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра и задача Коши
изводной. Метод введения параметра и задача Коши  . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . .   
  34
34
  § 4.   
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие поня  § 4.   
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие понятия и методы решения
тия и методы решения 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
  41
41
2   
Линейные дифференциальные уравнения порядка 
2   
Линейные дифференциальные уравнения порядка п с посто с постоянными коэффициентами
янными коэффициентами 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   52
  52
  § 1.   
Дифференциальные многочлены и общий метод решения линей  § 1.   
Дифференциальные многочлены и общий метод решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами
ных уравнений с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . .   
  52
52
  § 2.   
Линейные однородные уравнения порядка 
  § 2.   
Линейные однородные уравнения порядка п с постоянными ко с постоянными коэффициентами
эффициентами 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
  57
57
  § 3.   
Линейные неоднородные уравнения порядка 
  § 3.   
Линейные неоднородные уравнения порядка п с постоянными 
 с постоянными 
коэффициентами
коэффициентами 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
  65
65
3   
Методы решения систем линейных дифференциальных урав3   
Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
нений с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   73
  73
  § 1.   
Нормальные линейные системы с постоянными коэффициента  § 1.   
Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами. Общие понятия и метод исключения
ми. Общие понятия и метод исключения 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
  73
73
  § 2.   
Общее решение нормальной линейной однородной системы с по  § 2.   
Общее решение нормальной линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
стоянными коэффициентами 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
  76
76
  § 3.   
Общее решение нормальной линейной неоднородной системы 
  § 3.   
Общее решение нормальной линейной неоднородной системы 
с  постоянными коэффициентами
с  постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
  88
88
  § 4.   
Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффи  § 4.   
Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами с помощью матричной экспоненты
циентами с помощью матричной экспоненты 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . .   
  94
94
  § 5.   
Преобразование Лапласа и его применение для решения диф  § 5.   
Преобразование Лапласа и его применение для решения дифференциальных уравнений
ференциальных уравнений 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  103
103

Оглавление
Оглавление
  § 6.   
Методы решения произвольных линейных систем с постоянными 
  § 6.   
Методы решения произвольных линейных систем с постоянными 
коэффициентами
коэффициентами 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  108
108
4   
Исследование задачи Коши
4   
Исследование задачи Коши  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  113
 113
  § 1.   
Вспомогательные предложения
  § 1.   
Вспомогательные предложения 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  113
113
  § 2.   
Существование и единственность решения задачи Коши для 
  § 2.   
Существование и единственность решения задачи Коши для 
нормальной системы дифференциальных уравнений
нормальной системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . .  117
117
  § 3.   
Непродолжимое решение задачи Коши
  § 3.   
Непродолжимое решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  127
127
  § 4.   
Общее решение дифференциального уравнения
  § 4.   
Общее решение дифференциального уравнения  . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . .  132
132
  § 5.   
Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных 
  § 5.   
Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных 
данных. Корректность задачи Коши
данных. Корректность задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  135
135
  § 6.   
Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения 
  § 6.   
Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения 
первого порядка, не разрешенного относительно производной. 
первого порядка, не разрешенного относительно производной. 
Особые решения
Особые решения 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  145
145
5   
Нормальные линейные системы дифференциальных уравне5   
Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
ний с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  152
 152
  § 1.   
Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы 
  § 1.   
Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы 
уравнений с переменными коэффициентами
уравнений с переменными коэффициентами  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  152
152
  § 2.   
Линейные однородные системы
  § 2.   
Линейные однородные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  158
158
  § 3.   
Линейные неоднородные системы
  § 3.   
Линейные неоднородные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  167
167
6   
Линейные дифференциальные уравнения порядка 
6   
Линейные дифференциальные уравнения порядка п с пере с переменными коэффициентами
менными коэффициентами  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  171
 171
  § 1.   
Общие свойства
  § 1.   
Общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  171
171
  § 2.   
Линейные однородные уравнения порядка 
  § 2.   
Линейные однородные уравнения порядка п . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  174
174
  § 3.   
Линейные неоднородные уравнения порядка 
  § 3.   
Линейные неоднородные уравнения порядка п . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . .  179
179
  § 4.   
Граничные задачи
  § 4.   
Граничные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  185
185
  § 5.   
Теорема Штурма
  § 5.   
Теорема Штурма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  193
193
  § 6.   
Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью 
  § 6.   
Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью 
степенных рядов. Уравнение Бесселя
степенных рядов. Уравнение Бесселя 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  199
199
  § 7.   
Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром 
  § 7.   
Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром 
при старшей производной
при старшей производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  205
205
7   
Нормальные автономные системы дифференциальных урав7   
Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений и теория устойчивости
нений и теория устойчивости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  212
 212
  § 1.   
Общие свойства
  § 1.   
Общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  212
212
  § 2.   
Классификация положений равновесия линейной однородной 
  § 2.   
Классификация положений равновесия линейной однородной 
сис 
темы второго порядка
сис 
темы второго порядка 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  222
222
  § 3.   
Нелинейные автономные системы второго порядка
  § 3.   
Нелинейные автономные системы второго порядка . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . .  230
230
  § 4.   
Устойчивость по Ляпунову положений равновесия
  § 4.   
Устойчивость по Ляпунову положений равновесия  . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . .  241
241
  § 5.   
Первые интегралы
  § 5.   
Первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  251
251
8   
Дифференциальные уравнения в частных производных пер8   
Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
вого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  261
 261
  Введение
  Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  261
261
  § 1.   
Линейные однородные уравнения
  § 1.   
Линейные однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  263
263

Оглавление
Оглавление 
5
   § 2.   
Квазилинейные уравнения
   § 2.   
Квазилинейные уравнения 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  271
271
   § 3.   
Нелинейные уравнения
   § 3.   
Нелинейные уравнения 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  281
281
9 Основы вариационного исчисления 
9 Основы вариационного исчисления  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  289
 289
   Введение
   Введение 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  289
289
   § 1.   
Простейшая вариационная задача
   § 1.   
Простейшая вариационная задача 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  291
291
   § 2.   
Обобщения простейшей вариационной задачи на случай функ   § 2.   
Обобщения простейшей вариационной задачи на случай функционалов более общего интегрального типа
ционалов более общего интегрального типа 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  301
301
   § 3.   
Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной гра   § 3.   
Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей и задача Больца
ницей и задача Больца  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  310
310
   § 4.   
О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме 
   § 4.   
О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме 
функционалов
функционалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  318
318
   § 5.   
Изопериметрическая задача
   § 5.   
Изопериметрическая задача  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  322
322
   § 6.   
Задача Лагранжа
   § 6.   
Задача Лагранжа 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  326
326
   § 7.   
Достаточные условия слабого локального экстремума
   § 7.   
Достаточные условия слабого локального экстремума . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . .  331
331
Литература
Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  341
 341
Предметный указатель
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  343
343

Предисловие
Данная книга имеет целью, с одной стороны, дать читателю минимум 
знаний по классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и классическому вариационному исчислению, необходимых для их 
успешного применения в различных практических приложениях, а с другой стороны, подвести читателя к пониманию задач и методов их решения современной теории дифференциальных уравнений и вариационного 
исчисления.
Книга написана на основе курса лекций, который автор читал в Московском физико-техническом институте (МФТИ) на протяжении многих лет. Книга отражает не только личную точку зрения автора, но в 
определенной степени и коллективный опыт преподавания теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления на кафедре высшей 
математики МФТИ. Этот опыт основан на базе повышенных курсов математического анализа и линейной алгебры, читаемых в МФТИ.
Оглавление и введение дают первоначальное представление о принципах построения курса, об отборе материала и о содержании книги в 
целом. В первых трех главах изложены методы получения точных решений основных типов дифференциальных уравнений. В последующих главах (4-8) основной акцент сделан на качественном исследовании решений 
дифференциальных уравнений. В главе 9 изложены основы классического вариационного исчисления. Книга содержит решения многочисленных 
примеров. Упражнения к каждой главе позволяют читателям закрепить 
свои знания материала.
В списке литературы читатель найдет перечень книг, в которых затронутые в настоящей книге вопросы излагаются, может быть, по-иному 
или более полным образом. Отдавая себе отчет в том, что настоящий 
курс не свободен от недостатков, мы будем благодарны всем читателям, 
приславшим свои замечания и пожелания по его улучшению.
Автор выражает искреннюю благодарность Н. X. Агаханову, который 
внимательно прочитал рукопись и сделал ряд полезных замечаний.

Некоторые обозначения
N
— множество натуральных чисел
3, V 
— существует, для всякого
— следует, эквивалентно 
к =  1,п
— индекс к пробегает все целые 
значения между 1
 и 
п
R%
 
— евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами 
,х п
\
\
aijh hJ —
 1,п, — квадратная матрица порядка п из элементов а^
С (Х ) 
— множество 
всех непрерывных функций, заданных на
промежутке X  числовой оси R\
С(G) 
— множество 
всех 
непрерывных функций, заданных в
области G
С Щ
Ск{Х) 
— множество
всех к > 1
 раз непрерывно дифференцируемых функций на промежутке X  С R*
Ck{G)
— множество 
всех к > 1
 раз непрерывно дифференцируемых функций в области G С R™
О 
— начало доказательства утверждения
•
— конец доказательства утверждения
Д 
— начало решения примера
А 
—конец решения примера

Введение
Общепризнано, что метод построения математических моделей является 
наиболее эффективным методом изучения различных явлений природы. 
В большинстве случаев не удается установить формулу прямой зависимости между собой различных характеристик рассматриваемого физического, биологического, химического, экономического или какого-нибудь 
другого динамического процесса. Однако часто удается составить определенную функциональную зависимость между неизвестными характеристиками рассматриваемого процесса, скоростями их изменения и временем, т. е. найти уравнения, содержащие производные неизвестных характеристик процесса. В таком случае говорят, что математической моделью 
процесса является дифференциальное уравнение.
Простейший пример дифференциального уравнения дает, например, 
задача о нахождении закона движения материальной точки по заданной 
скорости ее движения. Если S(t) — неизвестный путь, пройденный точкой 
за время £, и v(t) — заданная скорость ее движения в момент времени £, 
то получаем дифференциальное уравнение
<
*
>
Как следует из курса анализа, в случае, когда, например, v (t)— заданная непрерывная функция t > 0, все решения уравнения (1) задаются 
формулой
t
S(t) =  j
 v (t ) c
It  + C, 
(2)
где С — произвольная действительная постоянная.
Исследования разрушения биологических клеток под действием ультразвука высокой интенсивности приводят к дифференциальному уравнению вида
S
-  =  - m t ) ,  
(3)
где t — время, /^(^ — концентрация живых клеток, R — постоянная, определяющая вероятность разрыва клетки в единицу времени. Нетрудно

Введение
9
проверить, что решениями уравнения (3) будут функции
N(t) =  Се~т ,
(4 )
где С —
 произвольная постоянная.
Еще один пример дифференциального уравнения можно получить, 
рассмотрев, например, задачу о колебании шарика, подвешенного на пружине и выведенного из положения равновесия. Если обозначить отклонение шарика от положения равновесия в момент времени t через x(t) и 
воспользоваться вторым законом Ньютона, то уравнение движения шарика можно записать в виде
где и > 0 —
 рюкоторое заданное число.
Дифференциальное уравнение вида (5) называется уравнением гармонических колебаний или уравнением линейного осциллятора. Как будет в 
дальнейшем установлено, все решения уравнения (5) задаются формулой
x(t) —
 Acos(ut +  <
/?),
(6)
где А и ip
 — произвольные постоянные.
Опыт показывает, что разные по содержанию задачи могут приводить 
к одршаковым дифференциальным уравнениям. Использование дифференциальных уравненрш в качестве модели некоторого процесса в природе, 
как уже видно из приведенных примеров, удобно в том смысле, что эти 
уравнения описывают эволюцию процесса во времени и характер возможных 
и зм с р ю р ш й  прогресса в зависимости от его первоначального соСТОЯРШЯ.
Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнершем. Если же неизвестная 
функция, входящая в дифферернщальрюе уравнение, является фуржцией 
двух или большего числа рюзависимых перемершых, то дифференциальное уравнение ргазывается уравргершем в частргьлх производных. Считая 
х рюзависимой перемершой и у =  у(х) —
 неизвестной фуржцией, обыкновенное дифферерщиальное уравнерше в общем случае м о ж р ю  записать в 
виде соотрюшения
F ( x ,y ,y ',y " ,... , у ^ )  =  О
,
(7 )
где F — заданная функция своих аргументов. Порядок старшей производной, входящей в уравнение (7), называется порядком обыкновенного 
дифферерщиального ураврюршя (7). Таким образом, уравнение (7) имеет порядок п, уравнения (1) и (3) имеют первый порядок, а уравнение
(5 )— это уравршние второго порядка.
Если дифференциальное уравнение (7) разрешимо, то, как видно из 
уже приведенных примеров, оно имеет, как правило, бесчислершое мно

Введение
жество решений. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее некоторый процесс во времени, нельзя еще указать однозначно 
зависимость от времени характеристики процесса, удовлетворяющей этому уравнению. Нужны дополнительные условия. На практике чаще всего в качестве дополнительных условий выступают некоторые начальные 
условия. Так, например, однозначное решение уравнения (1) можно получить, задав начальное положение точки:
5(0) =  So.
Тогда из формулы (2) находим С =  S q и , значит, формула
t
S(t) =  i  v(r)dr +  So
о
однозначно определяет закон движения точки. Задав для уравнения (3) 
начальную концентрацию клеток в момент времени to
N(t0) =  No,
из формулы (4) находим С =  Noem°. Следовательно, концентрация клеток в каждый момент t однозначно задается формулой
N(t) =  Л
Г
0вд(4о" ° .
Наконец, задав при t =  0 начальное отклонение и начальную скорость 
шарика
dx( 
0)
я(0) =  жо, 
— jj— =  vo,
из формулы (6) можно найти постоянные А, (р
 и тем самым однозначно определить заданное колебание шарика. Возможны и другие типы 
дополнительных условий, выделяющих конкретное решение дифференциального уравнения. Например, это могут быть заданные значения решения x(t) уравнения (5) при двух фиксированных моментах времени 
£i, ^2: x(ti) =  xi, x fa ) =  Х2 , или условие периодичности для решения 
уравнения (3)
N (0) =  N(T), 
Т > 0.
Это примеры так называемых граничных условий для уравнений (5) и 
(3). Но для них не всегда можно гарантировать единственность решения.
Для практических приложений дифференциальных уравнений очень 
важен вопрос о характере зависимости 
решения дифференциального 
уравнения (7) от функции F  и от дополнительных условий (начальных 
или граничных) при их малом изменении. Ведь в прикладных задачах и 
само дифференциальное уравнение и дополнительные условия неизбежно определяются с некоторой погрешностью, так как при их составлении 
всегда приходится пренебрегать несущественными для рассматриваемого