Математические и вычислительные задачи магнитной газодинамики

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
К. В. Брушлинский
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 
МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ
5е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 533+51
ББК 22.33в6
Б89
С е р и я
о с н о в а н а
в
2009 г.
Брушлинский К. В.
Б89
Математические и вычислительные задачи магнитной
газодинамики / К. В. Брушлинский. — 5-е изд., электрон. —
М. : Лаборатория знаний, 2024. — 203 с. — (Математическое
моделирование). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-742-8
Монография относится к актуальной области математического
моделирования в современных задачах физики плотной плазмы.
Изложены математические вопросы магнитной газодинамики, представлены численные модели соответствующих физических процессов. При исследовании двумерных МГД-течений специальное внимание уделено роли и моделированию эффекта Холла. Обсуждаются
особенности численного решения МГД-задач. Приведены примеры
расчетов магнитных ловушек для удержания плазмы и дан подробный обзор моделей ускорения плазмы магнитным полем в каналах.
Для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов, интересующихся МГД-моделированием плазмы, в том числе
начинающих работать в этой области и не имеющих узкоспециальной
подготовки.
УДК 533+51
ББК 22.33в6
Деривативное издание на основе печатного аналога: Математические и вычислительные задачи магнитной газодинамики /
К. В. Брушлинский. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. —
200 с. : ил. — (Математическое моделирование).
ISBN 978-5-94774-898-7
В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-742-8
© Лаборатория знаний, 2015

ВВЕДЕНИЕ
Физика
плазмы — многообразная и
красивая в
теории, весьма
эффективная в приложениях, сложилась в ее современном состоянии
и стала одной из интереснейших областей науки и техники во второй
половине XX столетия. Основной движущей силой ее интенсивного
развития явились заманчивые перспективы овладения в мирных
целях энергией термоядерного синтеза, которая имеет основания
казаться неограниченной по своим запасам и по этой причине дешевой. Мечты и мысли человечества увлечены этой перспективой после
успешных испытаний водородного оружия в 1953-м и последующих
за ним годах. Необходимым условием осуществления ожидаемой
термоядерной реакции должно быть достижение очень высоких
температур (десятки миллионов градусов и выше), при которых
все известные вещества могут находиться только в состоянии
плазмы — так
называемом
четвертом
после
твердого,
жидкого
и
газообразного
состоянии,
когда
часть
электронов
отделены
от атомов, а атомы с неполным набором электронов являются
положительно заряженными ионами.
В связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза (УТС),
а также и независимо от нее, предприняты крупные научнотехнические разработки, создан ряд плазменных установок, ведутся
многочисленные исследования плазменных процессов. Параллельно
с научно-техническими мотивами развитие физики плазмы стимулировано интересом к астрофизическим проблемам, которые также
имеют дело в основном с веществом в состоянии плазмы, или очень
горячей — в материи Солнца и звезд или разреженной — в межзвездном пространстве и ионосферах планет.
Значительную роль в исследованиях плазмы играют математическое моделирование физических процессов и расчеты с применением мощной современной электронно-вычислительной техники.
Они, с одной стороны, дополняют и облегчают чисто теоретические
работы, с другой — позволяют сэкономить на экспериментах, громоздких, дорогостоящих, а иногда и принципиально невозможных,
способствуют их физической интерпретации.
Плазма и ее поведение разнообразны, диапазон ее параметров,
в частности, плотности и температуры, весьма велик, разнообразны
и проблемы ее исследования. Математические модели плазмы обязаны отслеживать это разнообразие. Различают два основных типа
моделей. Один из них связан с относительно разреженной плазмой
и вынужден иметь дело, если не с динамикой отдельных частиц,

Введение
то с их статистическим распределением по пространству координат
и скоростей. Модели этого типа оперируют в основном с разными
вариантами кинетического уравнения для функции распределения
частиц каждого сорта, образующих плазму.
Модели другого типа — а именно они составляют содержание
настоящей книги — описывают процессы в относительно плотной
плазме, которую вслед за жидкостью и газом можно рассматривать
как сплошную среду. Математический аппарат моделей основан
здесь на системе уравнений магнитной газодинамики (МГД) или
ее модификациях. Магнитная газодинамика (или гидродинамика —
без четкого разделения этих терминов) как область механики сплошных сред хорошо представлена в ряде книг. Основоположником
магнитной гидродинамики и автором первой монографии на эту
тему [1] является известный шведский физик лауреат Нобелевской
премии Х. Альфвен. Из первых отечественных источников следует
назвать главы из «Электродинамики сплошных сред» Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица [2], обзорную статью С. И. Сыроватского [3], монографию А. Г. Куликовского и Г. А. Любимова [4], из более поздних —
книгу Р. В. Половина и В. П. Демуцкого [5].
Построение математических моделей плазменных процессов требует уделить внимание математической природе уравнений МГД
и задач с ними. Понимание этой природы позволяет рассмотреть ряд
качественных закономерностей и тенденций плазменных процессов
с помощью упрощающих предположений, грамотно поставить вопросы и получить содержательные ответы аналитическими или полуаналитическими методами. Примерами глубокого математического
исследования в МГД-моделях являются нетривиальные результаты
об устойчивости плазменных образований, изложенные Б. Б. Кадомцевым [6], и некоторые свойства стационарных течений плазмы
в каналах в обзоре А. И. Морозова и Л. С. Соловьева [7]. Эти и им
подобные примеры лишь помогают ориентироваться во множестве
проблем, которые плазма ставит перед наукой и техникой. А конкретные задачи математического моделирования, сопутствующие
конкретным проектам и разработкам плазменных установок, решаются приближенно численными методами. Создание и реализация
методов также требует знания математической природы задач.
Основные положения математического аппарата магнитной газодинамики — теория характеристик, разрывных решений и др. —
изложены в указанных выше руководствах. Постановка и частично решение новых математических задач теории квазилинейных
уравнений, тесно связанных с моделированием задач газодинамики
и МГД, имеется в проблемном обзоре И. М. Гельфанда [8], который
следует рекомендовать и современному читателю. Заслуживает вни

Введение
5
мания недавно вышедшая монография А. Г. Куликовского, Н. В. Погорелова и А. Ю. Семенова [9], где затронуты общие математические
вопросы и перечислены многие известные численные методы решения задач механики сплошных сред.
Отдельные вопросы, представляющие интерес в связи с математическим моделированием плотной плазмы, изложены в журнальных статьях одновременно с результатами моделирования. Без
претензий на полноту библиографии, ссылки на статьи, близкие
к обсуждаемым темам, даны в тексте книги. Более общее и цельное
изложение имеется в обзорных статьях и сборниках, среди которых
статьи с участием автора — [10–17]. Моделированию плазмы, в том
числе в терминах МГД, посвящены монография Ю. Н. Днестровского и Д. П. Костомарова [18] и недавний обзор [19]. Некоторые подходы к тем же вопросам рассмотрены с точки зрения физика в монографиях А. И. Морозова [20, 21] и в написанном им же большом
разделе «Плазмодинамика» в Энциклопедии низкотемпературной
плазмы [22].
Из зарубежных работ обратим внимание в первую очередь на два
сборника из многотомной серии «Methods in computational physics»,
переведенных на русский язык [23, 24], которые составлены из работ
известных специалистов по разным вопросам математического моделирования плазмы, в том числе представляющим интерес в связи
с тематикой данной книги.
Задачи магнитной газодинамики естественным образом структурируются в две группы. К первой группе относятся задачи плазмодинамики, моделирующие процессы в движущейся плазме, изучающие
закономерности течений. Они используют аппарат уравнений МГД
в его относительно полном объеме, а в некоторых вопросах даже
вынуждены выходить за рамки МГД, обращаясь к более сложным
ее модификациям. Эта группа представлена в книге изложением
общих вопросов аппарата МГД в компактной форме (гл. 1), модифицированных МГД-моделей с акцентом на учет эффекта Холла
(гл. 2), математической теории устойчивости (гл. 4) и иллюстрирована примерами математического моделирования в исследованиях
течений плазмы в каналах (гл. 6).
Другую группу работ составляют задачи плазмостатики, преследующие цель моделирования равновесных плазменных конфигураций в магнитном поле, которые представляют большой интерес
в разработке и исследованиях магнитных ловушек для удержания
плазмы, относящихся к программе УТС. От уравнений магнитной
газодинамики здесь остается одно уравнение равновесия. Вместе
с уравнениями Максвелла для магнитного поля и электрического
тока они образуют математический аппарат плазмостатики. В дву

Введение
мерных задачах эти уравнения сводятся к одному скалярному дифференциальному уравнению второго порядка, которое следует рассматривать как самостоятельную главу полулинейных уравнений
эллиптического типа, представляющую интерес, помимо плазмостатики, в задачах теории горения и других моделях процессов
взаимодействия реакции и диффузии. Здесь имеются нетривиальные результаты о возможных неединственности и несуществовании
решений краевых задач и связанный с этим нестандартный подход
к устойчивости решений.
Численное исследование равновесных магнитоплазменных конфигураций в терминах модели с уравнением Грэда—Шафранова
успешно ведется в течение нескольких десятков лет. Новую струю
в эту область внесла идея разработки ловушек нового типа —
«Галатей», предложенных А. И. Морозовым, в которых токонесущие
проводники, образующие магнитную конфигурацию, погружены
в плазму [25].
Математическая модель плоских фигур равновесия с плазмой
постоянного давления, окруженных магнитным полем в вакууме,
строится с применением методов теории аналитических функций
комплексного переменного.
Математическим моделям плазмостатики посвящена гл. 3.
В гл. 5 обсуждаются собственно вычислительные вопросы —
о форме записи уравнений, выборе системы единиц и системы
координат, о численных методах. Эти вопросы изложены коротко
и сопровождаются комментариями, касающимися идеологии методов. Подробный перечень численных методов содержится, как сказано выше, в монографии [9]. Из зарубежных источников можно
рекомендовать книгу Е. Оран и Д. Бориса [26]. Избранная форма изложения представляется целесообразной, так как задача превратить
книгу в учебник или справочник по численным методам не ставилась. Предполагается, что читатель, ознакомившись с приведенными
здесь соображениями, выберет подходящий для своих конкретных
целей метод и глубоко освоит его с помощью первоисточника и собственной практики.
Здесь же приведен пример типичной задачи математической
физики в конечной области, окруженной вакуумом, постановка граничного условия которой требует, строго говоря, решения внешней
задачи Дирихле с уравнением Лапласа. Для разностного аналога задачи построено эффективное нелокальное граничное условие, «перенесенное из бесконечности» методом теории разностных потенциалов
В. С. Рябенького.
Наконец, последняя глава представляет собой обзор математических моделей и результатов исследований одного и того же объекта —

Введение
7
течений плазмы в коаксиальных каналах плазменных ускорителей,
которые в течение многих лет были предметом работы автора
с коллегами и учениками. Эта глава ставит целью иллюстрировать
работу изложенных в книге моделей и связанные с ними положения
и обстоятельства.
Примеры решения задач на другие темы кратко приведены
в тексте непосредственно с обсуждением соответствующих моделей
и методов. Наиболее известные примеры относятся к исследованиям Z-пинча — сжатия плазменного цилиндра с продольным электрическим током давлением азимутального магнитного поля этого
тока. Z-пинч — одна из ранних идей магнитного удержания. Хотя
и не реализованная в полном объеме по причине обнаруженных
неустойчивостей, она и сегодня представляет интерес в качестве
объекта теории и элемента более сложных проектов и установок.
Численное решение одномерной МГД-задачи о динамике Z-пинча,
полученное С. И. Брагинским, И. М. Гельфандом и Р. П. Федоренко
в 1958 г., — одна из первых в мире работ по вычислительной магнитной газодинамике [27]. Современный взгляд на физику и математическое моделирование Z-пинча изложен в книге В. С. Имшенника
и Н. А. Бобровой [28].
Многолетний опыт работы автора в области математического моделирования плазмы и современных научно-технических разработок
позволил прийти к выводу, что процесс вовлечения в эти работы молодых специалистов — начинающих научных работников, аспирантов, студентов старших курсов, специализирующихся по прикладной
математике, отнимает на начальном этапе немало времени. Несмотря на достаточное количество печатных изданий, как упомянутых
выше, так и не упомянутых, войти в курс всех необходимых вопросов
бывает трудно. Первоисточники разбросаны по изданиям, сильно
различаются временем своего появления, а также вкусами, стилем
и языком авторов. К тому же многие из них труднодоступны, хотя
бы за давностью лет.
По этой причине предлагаемая книга ставит перед собой задачу
в одном месте и в одном стиле изложить обсуждаемые здесь вопросы
и сделать их доступными начинающему специалисту, желающему
работать в области численного моделирования плотной плазмы.
Хотелось бы, чтобы, войдя в курс дела и сориентировавшись в новой для него области знаний, читатель смог относительно быстро
углубиться в интересующие его подробности с помощью, например,
указанных в тексте литературных ссылок.
Коллективные работы, послужившие материалом для написания
книги, выполнены в Институте прикладной математики АН СССР
(ныне ИПМ им. М. В. Келдыша РАН) в тесном контакте с Ин

Введение
ститутом атомной энергии им. И. В. Курчатова (ныне РНЦ «Курчатовский институт»). Им способствовал научный и творческий
климат обоих коллективов, обязанный выдающимся руководителям
М. В. Келдышу, А. Н. Тихонову, А. П. Александрову, которые были
в курсе этих работ и поддерживали их. Расчеты в области физики
плазмы стали постоянной темой сотрудничества обоих институтов
с конца 1950-х гг. по инициативе М. А. Леонтовича и И. М. Гельфанда. Впоследствии авторы работ ощущали доброжелательное
влияние Б. Б. Кадомцева. Инициатором разработок некоторых магнитных ловушек для удержания плазмы и нескольких поколений
плазменных ускорителей является А. И. Морозов. Он — автор физической постановки многих рассмотренных ниже задач и постоянный
участник работ по моделированию и расчетам. Вычислительные
работы по МГД-устойчивости проведены в основном по инициативе
Л. С. Соловьева.
В проведении работ участвовали коллеги автора по ИПМ
Н. М. Зуева, Н. И. Герлах, В. В. Палейчик, М. С. Михайлова и его
ученики В. В. Савельев, А. М. Заборов. А. Н. Козлов, К. П. Горшенин,
Г. А. Калугин,
И. В. Белова,
Т. А. Ратникова,
Н. Б. Петровская,
Н. С. Жданова. Следует подчеркнуть роль Н. М. Зуевой, которой
выполнен большой цикл расчетов МГД-устойчивости. Ее совместные
с Л. С. Соловьевым работы в значительной мере определили план
и содержание гл. 4. Безусловно полезными оказались постоянные
обсуждения разных этапов работы с коллегами в ИПМ С. К. Годуновым, В. С. Рябеньким, О. В. Локуциевским, В. Ф. Дьяченко, Р. П. Федоренко,
Н. Н. Ченцовым,
В. С. Имшенником,
А. В. Забродиным,
К. И. Бабенко, В. В. Русановым,
М. Б. Гавриковым,
Л. Г. Страховской, А. А. Самарским, С. П. Курдюмовым, Б. Л. Рождественским,
Л. М. Дегтяревым, А. П. Фаворским, Ю. П. Поповым, В. М. Чечеткиным, Б. Н. Четверушкиным, Е. И. Левановым, Т. А. Сушкевич и за
пределами ИПМ с А. Г. Куликовским, Г. А. Любимовым, А. А. Барминым, Д. П. Костомаровым, Г. В. Долголевой, Н. А. Кудряшовым,
В. А. Курнаевым,
В. И. Терёшиным,
В. М. Асташинским.
Помощь
в наборе рукописи оказала Л. И. Михайлова.
Выражаю глубокую благодарность своим учителям, коллегам,
ученикам и друзьям, которые в той или иной степени способствовали
созданию этой книги.
Я благодарен также Российскому фонду фундаментальных исследований, поддержавшему издание книги (грант №08-01-07018)
и работы, которые определили значительную часть ее содержания
(гранты №06-01-00312 и предыдущие, начиная с 1994 г.).

Глава 1
МАГНИТОГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ ПЛАЗМЫ
1.1. ПЛАЗМА КАК ОБЪЕКТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД.
УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ
Математические модели плазмы рассматривают ее как сплошную
среду, если она достаточно плотная в смысле известного критерия —
длина свободного пробега частиц намного меньше характерного
размера исследуемого явления. В этом случае среда может быть
представлена едиными макропараметрами: скоростью, плотностью,
давлением, температурой и др. В отличие от жидкости и газа
плазма ионизована, т. е. состоит из двух компонент — электронов
и положительно заряженных ионов, локальные отличия в движении
которых делают ее электропроводной. В результате она характеризуется свойствами не только газа, но и проводника, в котором
электрический ток индуцирует магнитное поле и взаимодействует
с ним. Среда в целом предполагается электрически нейтральной
(точнее «квазинейтральной»): суммарные заряды каждой из компонент в единице объема близки друг к другу. Если ионы однозарядны,
то их концентрация близка к концентрации электронов ni ≈ne,
а в случае заряда ионов кратности Z следует писать Zni ≈ne.
Нарушение этого предположения в условиях относительно высокой
плотности среды означало бы наличие гигантских электрических
полей и, следовательно, сил взаимодействия в конечных объемах.
Уравнения динамики плотной плазмы, следуя логике механики
сплошных сред, отражают в первую очередь законы сохранения
массы, импульса и энергии в любом конечном элементе объема [4]
∂ρ
∂t + div ρ v = 0,
∂ρ v
(1.1)
∂t
+ div ˆ
Π = 0,
∂W
∂t + div Q = 0.
Здесь ρ и v — плотность и скорость среды, ˆ
Π — тензор плотности
потока импульса, W — полная энергия единицы объема, Q — плотность потока энергии. В декартовых координатах тензор ˆ
Π имеет
вид
4π
2H2δij

.
(1.2)
Πij = ρvivj + pδij −ηij −1

HiHj −1

Глава 1. Магнитогазодинамические модели плазмы
Три первых слагаемых хорошо известны из газодинамики (см.
например, [29]) и описывают перенос импульса движущейся средой,
напряжения сил давления p и вязкости ηij. В простейших предположениях тензор вязкости определяется неоднородностью скорости
в пространстве
ηij = η1
3δij div v
 ∂vi

+ η2δij div v
(1.3)
∂xj
+ ∂vj
∂xi
−2
с коэффициентами первой η1 и второй η2 вязкостей. Последнее
слагаемое в (1.2) называют максвелловским тензором напряжений,
обязанным силе Ампера (1/c) j × H , действующей на проводник
с током в магнитном поле [2]. Векторы j и H означают плотность
электрического тока и напряженность магнитного поля.
Полная энергия
W = ρε + ρv2
2 + H2
8π
(1.4)
складывается из внутренней (тепловой), кинетической и магнитной,
отнесенных каждая к единице объема. Величина ε соответствует
внутренней энергии единицы массы. Плотность потока энергии
Q =
2

ε + v2
4π E × H
(1.5)

ρ v +p v −ˆ
η v + q + c
включает в себя перенос тепловой и кинетической энергии движущейся средой, работу сил давления и вязкого трения, поток тепла,
обязанный теплопроводности
q = −κ∇T,
(1.6)
где T — температура. Последнее слагаемое в (1.5) — вектор Пойнтинга
c
4π E × H
(1.7)
описывает поток электромагнитной энергии. Напряженность электрического поля E связана с током с помощью закона Ома
j
σ = E + 1
c v × H ,
(1.8)
где σ — проводимость плазмы. Правая часть (1.8) представляет собой электрическое поле в системе координат, движущейся со средой
со скоростью v.
Уравнения (1.1) содержат по сравнению с газодинамикой две
дополнительные неизвестные векторные величины j и H и потому