Краткий курс аналитической динамики

Г. Н. Яковенко 
Краткий курс
аналитической
д и н а м и к и
Рекомендовано 
высших учебных заведений 
Учебнометодическим объединением
Российской Федерации  по образованию 
в области прикладных математики и физики 
в качестве учебного пособия 
по теоретической физике 
(теоретической механике)
для студентов высших учебных заведений 
по направлению 
«Прикладные математика и физика»
5е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 531(075.8)
ББК 22.21
Я47
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проекту 02-01-00697 и
Совета Программ поддержки ведущих научных школ по
гранту НШ-2094.2003.1
Рецензенты:
кафедра теоретической физики
Московского инженерно-физического института
(государственного университета),
д. ф.-м. н. М. Ю. Овчинников
Яковенко Г. Н.
Я47
Краткий курс аналитической динамики / Г. Н. Яковенко. — 5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2024. —
240 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". —
Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-732-9
Курс посвящен изучению динамики конечномерных голономных
механических систем с идеальными связями. Динамика обсуждается с привлечением уравнений Лагранжа, Гамильтона, уравнения
Гамильтона—Якоби. Методы аналитической динамики используются для изучения вопросов устойчивости положения равновесия, поведения электромеханических систем.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и преподавателей университетов, физико-технических и инженерно-физических
вузов. Она будет полезна студентам технических вузов при изучении
теоретической механики, а также специалистам, желающим углубить и расширить свои знания в области механики.
УДК 531(075.8)
ББК 22.21
Деривативное издание на основе печатного аналога: Краткий
курс аналитической динамики / Г. Н. Яковенко. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 237 с. : ил. — ISBN 5-94774-124-5.
В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-732-9
© Лаборатория знаний, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ
Только человек, до конца воспитавший у
себя чувство нормы, поймет всю прелесть
отклонения от нее.
акад. Лев Вл. Щерба (1880—1944)
Предлагаемый курс назван кратким потому, что ограничивается
обсуждением таких объектов, которые воспитывают «чувство нормы»: изучаются конечномерные голономные механические системы
с идеальными связями. Содержание курса отражено в оглавлении.
Отметим некоторые особенности курса по сравнению с другими
учебниками (в списке литературы приведены источники, ощутимо
повлиявшие на формирование «чувства нормы» у автора).
Вывод уравнений Лагранжа (только второго рода) проведен
для систем, состоящих из материальных точек и твердых тел.
Причем, вывод сделан формально — при произвольных переменных,
определяющих состояние системы, — затем показывается, что при
корректно введенных обобщенных координатах q1, ..., qn уравнения
«добропорядочны» с точки зрения теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения Лагранжа использованы, в частности, для составления уравнений состояния электрических и электромеханических систем. Обсуждена обратная задача вариационного
исчисления: задача эквивалентного погружения системы уравнений
второго порядка в систему уравнений Лагранжа.
При формулировке условий равновесия и устойчивости по Ляпунову особое внимание уделено стационарно заданным системам,
положение которых определено набором обобщенных координат (без
участия времени).
В основу рассмотрения асимптотической устойчивости положена
теорема Барбашина—Красовского.
При обсуждении первых интегралов уравнений Гамильтона особое внимание уделено «бесплатным» способам их нахождения: циклические и отделимые координаты, обобщенно консервативные системы, теорема Якоби—Пуассона. Изучена возможность понижения
порядка при помощи первого интеграла на две единицы.
На основе принципа Гамильтона решен вопрос замены переменных в уравнениях Лагранжа.
На примерах линейных и нелинейных систем обсужден вопрос о
характере экстремума действия по Гамильтону.
В духе «краткости курса» рассмотрена взаимосвязь симметрий
уравнений Лагранжа и законов сохранения. На основе теоремы Эмми Нётер, как следствие однородности и изотропности пространства

Предисловие
и времени, для изолированной консервативной системы вычислены
законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.
Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре—Картана использованы для замены переменных {время—состояние} и только
{состояние} в уравнениях Гамильтона. Как следствие замены переменных приведены уравнения Уиттекера, уравнения Якоби, принцип
Мопертюи—Лагранжа.
Основываясь на интегральных инвариантах и на теореме Ли Хуачжуна, доказаны критерии каноничности преобразований уравнений Гамильтона при различных выборах независимых переменных.
Изучен фазовый поток уравнений Гамильтона как каноническое
преобразование.
Рассмотрено уравнение Гамильтона—Якоби как средство нахождения движений механической системы. Изучен случай, когда для
системы известна часть первых интегралов в инволюции. В этом
случае доказана теорема Лиувилля — альтернативное уравнению Гамильтона—Якоби средство решения уравнений Гамильтона.
Нестандартные обозначения объяснены в тексте.
Используются следующие названия для пространств:
– координатное (конфигурационное) — n-мерное пространство с координатами q1, ..., qn;
– расширенное координатное — с координатами t, q1, ..., qn — добавлено время t;
– фазовое (пространство состояний) — 2n-мерное с координатами
q1, ..., qn, ˙
q1, ..., ˙
qn (или с координатами q1, ..., qn, p1, ..., pn,
pk
—
обобщенные импульсы);
– расширенное фазовое — с координатами t, q1, ..., qn, ˙
q1, ..., ˙
qn
(или t, q1, ..., qn, p1, ..., pn).
Следуя цели воспитания «чувства нормы», предполагаем, что
– функции, участвующие в построениях, — достаточно гладкие;
– рассуждения, определения, утверждения — локальны: справедливы в некоторой области одного из указанных выше пространств.
Курс написан на основе лекций, которые автор читал студентам
МФТИ на протяжении многих лет, и отражает, в частности, точку
зрения кафедры теоретической механики МФТИ на то, чему и как
можно и нужно научить студентов за ограниченное время.
Содержание курса согласовано с составленным авторским коллективом кафедры задачником: Пятницкий Е. С., Трухан Н. М.,
Ханукаев Ю. И., Яковенко Г. Н. Сборник задач по аналитической
механике: Учеб. пособ.: Для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. — М.:
Физматлит, 2002.

ГЛАВА 1
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Механическая система совершает движение в трехмерном евклидовом пространстве — системе отсчета. Предполагается, что есть
возможность различать и именовать точки пространства. Одна из
реализаций возможности — введение правого ортонормированного
базиса: в пространстве фиксируются такие четыре точки: O, A1, A2,
A3, что для базисных векторов ik = OAk справедливо равенство
(ik, il) = δkl =
1,
k = l,
0, k ̸= l
(1.1)
(здесь и далее используются обозначения: ( , ) — скалярное произведение векторов, [ , ] — векторное). Произвольная точка B именуется
коэффициентами xk = (r, ik) разложения радиус-вектора r = OB
k=1
xkik. Далее числа x1, x2, x3 для краткости
по базису ik : r =
3

называются декартовыми координатами (вместо «прямоугольные
декартовы»).
Определение 1.1. Материальная точка — геометрическая точка, которой поставлено в соответствие положительное число m —
масса. Твердое тело — такая совокупность материальных точек,
что расстояние между любыми двумя неизменно. Конечномерная
механическая система — совокупность конечного числа материальных точек и конечного числа твердых тел. Состояние материальной точки — ее положение и скорость относительно системы
отсчета.
A3
B
i3
A2
i2
r
i1
O
A1
Рис. 1.1

Глава 1. Уравнения Лагранжа
Изложение в §§ 1—5 ориентировано на фактическое присутствие
в механической системе твердых тел. Читатели, которых удовлетворяет достаточно традиционное предположение о том, что система
содержит лишь конечное число материальных точек, могут на этом
месте приостановить чтение и продолжить его с § 6.
Предполагается также, что рассматриваемые твердые тела —
«полноценны», т. е. соответствующие телам выпуклые оболочки, как
минимум, двумерны. Особенности, присущие одномерным телам,
обсуждаются в замечаниях 1.1, 1.2, 1.3, 3.1, 4.1, 4.2.
Приведем с обоснованием кинематические формулы, которые
потребуются при выводе уравнений Лагранжа.
Пусть положение произвольного вектора a(t, q) в системе отсчета определяется явной зависимостью от времени t и значениями в данный момент времени конечного количества параметров
q = (q1, ..., qm). Считая, что q(t) — известные функции t, вычислим
полную производную от a по t:
∂a
da
dt = ˙
a(t,q) = ∂a
∂t +
∂qk
˙
qk.
(1.2)
k=1
m

Из этого выражения следует
∂˙
a
∂˙
qk
= ∂a
∂qk
.
(1.3)
При вычислении производных по q, ˙
q формально предполагаем
независимость переменных t, q, ˙
q.
Выражение (1.2) влечет также формулу
d
dt
∂a
∂qk
= ∂˙
a
∂qk
,
(1.4)
для вывода которой сравнивается результат вычисления производной по t в левой части формулы (1.4) с результатом дифференцирования по qk выражения (1.2).
Положение материальной точки. B в системе отсчета задается радиус-вектором r(t, q), который проводится из неизменной точки
O пространства (см. рис. 1.1) и является функцией времени t и
параметров q = (q1, ..., qm). Замена в формулах (1.2) — (1.4) a на
r или на скорость V = ˙
r приводит к выражениям
∂r
V(t, q, ˙
q) = ˙
r(t,q) = ∂r
∂t +
∂qk
˙
qk,
(1.5)
k=1
m


§ 1. Основные определения
7
∂V
∂˙
qk
= ∂˙
r
∂˙
qk
= ∂r
∂qk
,
(1.6)
d
dt
∂r
dt
∂V
∂˙
qk
= d
∂qk
= ∂˙
r
∂qk
= ∂V
∂qk
.
(1.7)
В случае твердого тела свяжем с выпуклой оболочкой тела
правый ортонормированный базис e1, e2, e3
(ek, el) = δkl
(1.8)
с началом в произвольной точке C тела такой, что точки тела
занимают относительно него неизменное положение. В следующих
разделах, как правило, C — центр масс тела.
Замечание 1.1. В случае одномерного тела один орт e1 = e связан
с линией, соответствующей телу, два других e2, e3 выбираются
определенно, но неоднозначно.
Точка B тела будет именоваться коэффициентами yi разложения
вектора ρ
ρ
ρ
ρ = CB по базису ei:
ρ
ρ
ρ
ρ =
i=1
yiei,
yi = const.
(1.9)
3

Положение точки B в системе отсчета дается равенством (рис. 1.2)
r = rC + ρ
ρ
ρ
ρ = rC +
i=1
yiei,
(1.10)
3

где rC = OC.
Произвольное положение тела определяется зависимостью векторов
rC(t, q),
ei(t, q)
B
e3
ρ
ρ
ρ
ρ
r
e2
C
e1
O
rc
Рис. 1.2

Глава 1. Уравнения Лагранжа
от времени t и параметров q = (q1, ..., qm). Для векторов rC, VC
справедливы соотношения (1.5)–(1.7), для векторов ei из (1.2)–(1.4)
получим
∂˙
ei
∂˙
qk
= ∂ei
∂qk
,
(1.11)
d
dt
∂ei
∂qk
= ∂˙
ei
∂qk
.
(1.12)
Дифференцирование (1.8) по t и ql приводит к формулам
∂ql
, ek
∂ql

= −

ei, ∂ek

.
(1.13)
(˙
ei, ek) = −(ei, ˙
ek),
∂ei
Распределение скоростей в твердом теле задает следующая
Лемма 1.1. В любой момент времени существует такой единственный вектор ω (угловая скорость), что для каждого базисного
вектора ek выполняется соотношение
˙
ek = [ω, ek].
(1.14)
В качестве ω можно взять
ω = 1
2
i=1
[ei, ˙
ei].
(1.15)
3

□Для обоснования существования нужно подставить (1.15) в (1.14),
раскрыть двойное векторное произведение и использовать (1.13),
(1.8). Для доказательства единственности предполагаем, что существуют два вектора ω1, ω2, удовлетворяющие условию (1.14) леммы,
вычитаем выражения (1.14), в которые подставлены ω1 и ω2, и
получаем уравнение
[ω1 −ω2, ek] = 0,
k = 1, 2, 3,
справедливое только при ω1 = ω2.
■
Следствие 1. Для любого вектора ρ, связанного с телом, справедливо
˙
ρ = [ω, ρ].
(1.16)
□Следствие 1 доказывается дифференцированием с учетом (1.14)
формулы (1.9).
■

§ 1. Основные определения
9
Следствие 2 (теорема об угловой скорости). Скорости любых
двух точек C и B твердого тела связаны соотношением
VB = VC + [ω, ρ],
(1.17)
где ρ = CB.
□Следствие 2 доказывается дифференцированием с учетом (1.16)
выражения (1.10).
■
Формула (1.17) показывает, что для определения скорости произвольной точки B тела — распределения скоростей в теле — требуется
знать скорость VC некоторой фиксированной точки C тела и его
угловую скорость ω.
Следствие 3. Угловая
скорость ω
раскладывается по
базису
e1, e2, e3, связанному с телом, следующим образом:
ω =
(1.18)
i=1
ωiei,
3

ω1 = (˙
e2, e3),
ω2 = (˙
e3, e1),
ω3 = (˙
e1, e2).
□Проведем доказательство для ω1:
ω1 = (e1, ω) = ([e2, e3], ω) = ([ω, e2], e3) = ( ˙
e2, e3).
При доказательстве использованы возможность в смешанном произведении циклически перемещать сомножители и формулы: (1.14),
e1 = [e2, e3].
■
Замечание 1.2. Для одномерного тела также существует такой
вектор ω (угловая скорость), что справедливы соотношения
˙
e = [ω, e],
(1.14′)
(1.16) и (1.17), но вектор ω определяется неоднозначно, а именно
формулой
ω = [e, ˙
e] + λe,
(1.15′)
где e — орт, связанный с прямой, на которой расположены точки одномерного тела, λ — произвольный скаляр. Для обоснования (1.15′)
вектор
ω = [e, ˙
e] + Ω
подставляется в (1.14′), что приводит к уравнению для Ω: [Ω, e] = 0,
его решению Ω = λe и к формуле (1.15′).

Глава 1. Уравнения Лагранжа
Выведем несколько формул, в которых участвуют векторы
ek(t,q),
ω(t, q, ˙
q),
ρ(t,q,y).
Непосредственно из (1.15) с учетом (1.11) следует соотношение
∂ω
2
∂˙
qk
= 1
∂qk
i=1

ei, ∂ei

.
(1.19)
3

Из (1.19) с использованием (1.12) и (1.14) получаем
d
dt
∂ω
2
2
∂˙
qk
= 1
∂qk
∂qk
i=1
i=1

˙
ei, ∂ei

+ 1

ei, ∂˙
ei

=
3

3

=
2
2
∂qk
∂qk
∂qk
i=1
i=1
i=1

˙
ei, ∂ei

−1

˙
ei, ∂ei

+ 1

ei, ∂˙
ei

=
3

3

3

=
1
2
∂qk
∂qk
i=1
i=1
[ei, ˙
ei] =

[ω, ei], ∂ei

+ ∂
3

3

=
∂qk
∂qk
∂qk
.
i=1
ei

ω, ∂ei

−

+ ∂ω
i=1
ω

ei, ∂ei
3

3

Вследствие (1.13) приходим к нужной формуле
d
dt
∂ω
∂˙
qk
= ∂ω
∂qk
+
∂qk
i=1

ω, ∂ei

ei.
(1.20)
3

В последующих формулах участвует h — расстояние от точки B
до оси, проходящей через точку C
параллельно ω
(рис. 1.3).
Справедливо равенство
ω2h2 = |[ω, ρ]|2 = ω2ρ2 −(ω, ρ)2.
(1.21)
Оно очевидно после деления его на ω2.
ρ
ρ
ρ
ρ
B
h
ω
ω
ω
ω
ω
C
Рис. 1.3