Квантовая механика
Покупка
Новинка
Тематика:
Квантовая механика
Издательство:
Лаборатория знаний
Год издания: 2024
Кол-во страниц: 294
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-93208-719-0
Артикул: 630028.03.99
Учебное пособие предназначено для подготовки специалистов в области наукоемких технологий, связанных с квантовой физикой микромира, в частности для подготовки студентов по направлению «Наноматериалы и нанотехнологии». В книге подробно изложены основные виды формализма квантовой механики, включая операторную алгебру, матричную механику и скобочный аппарат Дирака. Значительное внимание уделено приближенным квантово-механическим методам, широко применяемым в квантовой химии. В соответствии с требованиями новых образовательных стандартов в книгу включены элементы развивающегося направления квантовой механики, а именно квантовой теории кубитов, которое связано с проектированиеми созданием в будущем квантовых компьютеров. Достаточное место отведено технике конкретных квантово-механических вычислений.
Для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений, а также преподавателей физики и других естественнонаучных дисциплин в технических вузах.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- ВО - Специалитет
- 03.05.02: Фундаментальная и прикладная физика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов Квантовая механика Учебное пособие 4е издание, электронное Допущено Научнометодическим советом по физике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям Москва 2024 Лаборатория знаний
УДК 530.1 ББК 22.31 Б18 Байков Ю. А. Б18 Квантовая механика : учебное пособие / Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2024. — 294 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный. ISBN 978-5-93208-719-0 Учебное пособие предназначено для подготовки специалистов в области наукоемких технологий, связанных с квантовой физикой микромира, в частности для подготовки студентов по направлению «Наноматериалы и нанотехнологии». В книге подробно изложены основные виды формализма квантовой механики, включая операторную алгебру, матричную механику и скобочный аппарат Дирака. Значительное внимание уделено приближенным квантово-механическим методам, широко применяемым в квантовой химии. В соответствии с требованиями новых образовательных стандартов в книгу включены элементы развивающегося направления квантовой механики, а именно квантовой теории кубитов, которое связано с проектированием и созданием в будущем квантовых компьютеров. Достаточное место отведено технике конкретных квантово-механических вычислений. Для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений, а также преподавателей физики и других естественнонаучных дисциплин в технических вузах. УДК 530.1 ББК 22.31 Деривативное издание на основе печатного аналога: Квантовая механика : учебное пособие / Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. — 291 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-1159-0. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-93208-719-0 © Лаборатория знаний, 2015
Оглавление
Предисловие 6
введение 7
глава 1. Операторное представление квантовой механики 9
1 1
Квантово-механическиепостулаты Собственныефункции
исобственныезначенияквантово-механическихоператоров
УравненияЛагранжаиГ
амильтона 9
1 2
Волноваяфункцияиееинтерпретациявсвязисизмерениями 16
1 3
Классификацияоператоровквантовоймеханики 23
1 4
Основноеуравнениеквантовоймеханики Г
амильтонианиоператор
импульса 28
1 5
УравнениеШредингера Собственныефункцииисобственные
значенияоператораэнергиииихсвойства 35
1 6
Стационарныесостояния ОбщеерешениеуравненияШредингера
впроизвольныймоментвремени ТеоремаЭренфеста 39
1 7
Задачадвухтелвсистемецентрамасс 46
1 8
Атомныеструктурывсистемецентрамасс 48
1 9
ПриближениеБорна—Оппенгеймера 54
1 10
МолекулярныеструктурывприближенииБорна—Оппенгеймера 57
1 11
Собственныефункцииисобственныезначенияоператораимпульса
Условиянормировкивслучаяхограниченногоинеограниченного
пространства Дельта-функцияДиракаиеесвойства 59
1 12
Разложениеволновойфункциипособственнымфункциям
оператораимпульсасистемы,обладающимсвойствомполноты 64
1 13
Собственныефункцииисобственныезначенияоператоракоординаты 67
1 14
Коммутаторыиантикоммутаторыквантовоймеханики Движение
заряженнойнерелятивистскойчастицывпроизвольном
электромагнитномполе ОператорсилыЛоренцавквантовоймеханике
70
1 15
Соотношениянеопределенностейдляканоническисопряженных
величин 77
глава 2. Матричное представление квантовой механики 84
2 1
Матрицыиихсвойства Нулевая,единичнаяипостояннаяматрицы 84
2 2
Преобразованиематрициихдиагонализация 87
2 3
Свойстваэрмитовыхиунитарныхматриц Матрицаунитарного
преобразования 89
2 4
Матрицаэнергиииеекоординатноепредставление Представление
волновойфункцииввидеунитарнойматрицы
97
2 5
Уравнениядвижениявоператорнойиматричнойформах
Интегралыдвижения Операторчетностикакинтегралдвижения 101
4
Оглавление
2 6
Системасобственныхфункцийоператораэнергиикакунитарная
матрица 104
глава 3. «Бра-кет» формализм Дирака
107
3 1
«Бра-»и«кет-векторы»Диракаиихсвойства 107
3 2
Аналогия«бра-кет»формализмасматричнымпредставлением
квантовоймеханики Г
ипервириальнаятеорема
108
3 3
Проекционныеоператоры Следпроекционногооператора 112
3 4
Разложениеединицычерезпроекционныеоператоры 115
3 5
Спектральноеразложениеэрмитовыхинеэрмитовыхоператоров
поихсобственнымвекторамв«бра-кет»формализме 116
3 6
ОднородныефункцииитеоремаЭйлерадляоднородныхфункций 118
3 7
Теоремавириалавклассическоймеханике 119
глава 4. вариационный принцип в квантовой механике
121
4 1
Среднеезначениеэнергииосновногосостоянияквантовойсистемы 121
4 2
СвязьвариационногопринципасуравнениемШредингера 123
4 3
Вариационныйпринципдлявозбужденныхсостояний 125
4 4
ДифференциальнаятеоремаГ
ельмана-Фейнмана 127
4 5
ИнтегральнаятеоремаГ
ельмана-Фейнмана 128
4 6
Теоремавириалавквантовыхсистемахсоднороднойпотенциальной
энергией 130
4 7
Связьвариационногопринципасизменениеммасштаба
пространственныхкоординат 133
4 8
ТеоремавириалавприближенииБорна—Оппенгеймера 135
глава 5. Теория возмущений 139
5 1
Невырожденнаятеориявозмущений 139
5 2
Резольвентаиееприменениевтеориивозмущений 142
5 3
ТеоремаВигнера Вычислениеточныхпоправоккэнергии 146
5 4
Вариационныйметодвтеориивозмущений 151
5 5
Вырожденнаятеориявозмущений 155
5 6
ТеориявозмущенийБриллюэна—Вигнера 158
5 7
Сравнениеразличныхметодовтеориивозмущений
161
глава 6.
Момент импульса и его представление в квантовой
механике 168
6 1
Операторыкомпонентмоментаимпульсаиихкоммутаторы 168
6 2
Собственныефункцииоператорамоментаимпульса 172
6 3
Собственныезначенияоператорамоментаимпульсаиегокомпонент 175
6 4
Матричноепредставлениемоментаимпульсаиегопроекций
178
6 5
Выражениядляматричныхэлементовоператоровкомпонент
моментаимпульса 181
6 6
Сложениеоператоровмоментаимпульсаиегокомпонент 184
глава 7.
Тождественные частицы и спин. Квантовомеханические спиноры
188
7 1
Симметричныеиантисимметричныеволновыефункцииквантовых
систем 188
7 2
Линейныекомбинациинесимметризованныхволновыхфункций
Различимостьтождественныхчастиц 189
Оглавление
5
7 3
ДетерминантСлэтераипринципПаулидлятождественныхчастиц 191
7 4
Спин-орбитали 194
7 5
Спиновыесостояниямногоэлектронныхсистем 196
7 6
Операторыперестановокиантисимметризации 201
7 7
Понятиепроекционногооператора 203
7 8
Операторантисимметризациииегокоммутационныесвойства 206
7 9
Спиновыефункцииэлектронаиихпредставлениевматричнойформе 208
7 10
Двух-итрехэлектронныеспиновыефункции 210
7 11
Симметричныеиантисимметричныеспинорыдвух-
итрехэлектронныхсистем 212
глава 8.
Квантово-механическое описание состояний атомов
легких и тяжелых химических элементов 215
8 1
Атомводорода Собственныефункции(водородныеорбитали)
исобственныезначенияоператораГ
амильтонадляатомаводорода
иводородоподобныхатомов
215
8 2
Самосогласованноеполе Обменноевзаимодействиеэлектронов
ватомегелияимолекулеводорода 224
8 3
Вариационныйметодвмоделидвухэлектроннойсистемы
ПриближениеХартри
231
8 4
УравнениеТомаса—Фермидлямногоэлектронныхатомов 237
глава 9.
взаимосвязь «бра-кет» формализма Дирака
с операторным и матричным представлениями
квантовой механики
244
9 1
Зависимостьамплитудвероятностиоткоординаты Волновая
функциякакамплитудавероятности 244
9 2
СвязьуравненийГ
амильтонаиШредингера 249
9 3
Симметрияизаконысохранения
250
9 4
Средниеэнергиив«бра-кет»представлении
256
глава 10. Квантовая механика кубитов 262
10 1
Матрицаплотностиквантовыхсистемиеесвойства 262
10 2
Одно-идвухкубитовыеквантовыесистемы Чистыеисмешанные
состоянияоднокубитовыхсистем 265
10 3
Основныевидыоднокубитовыхквантовыхопераций 267
10 4
Квантовыесостояниядвухкубитовыхсистем
Квантоваякогерентностьвекторовсостоянийкубитов 269
10 5
ИнтерферометрМаха-Цендераиегоописаниеоднокубитовыми
операциями 270
10 6
Двухкубитовыеквантовыеоперации 272
10 7
Запутанныесостояниякубитовиихописаниематрицейплотности
двухкубитовыхсистем
274
10 8
Векторсостояниядвухкубитовыхсистемиегоразложение
побазиснымфункциямкубитов(разложениеШмидта)
278
10 9
ЭнтропияфонНойманаиеесвязьсматрицейплотности
двухкубитовыхсистем
279
10 10
Классификациякубитовыхсостоянийдлябозоновифермионов 280
Заключение 287
литература 288
Предисловие Предлагаемая читателям книга «Квантовая механика», наряду с вышедшим в 2011 г. учебным пособием тех же авторов «Физика конденсированного состояния», написана по материалам лекций, читаемых в РХТУ им. Д. И. Менделеева в расширенном курсе физики для подготовки специалистов по направлению «Наноматериалы и нанотехнологии». Выбор тематики для предлагаемого варианта квантовой механики определялся требованиями новых образовательных стандартов для высших технических учебных заведений. В книге подробно изложены основные виды формализма квантовой механики, включая операторную алгебру, матричную механику Г айзенберга и «скобочный» аппарат Дирака. Последний существен в связи с тем, что в образовательные стандарты включены элементы нового развивающегося направления квантовой механики, а именно теории кубитовых систем, которое связано с проектированием и созданием в будущем квантовых компьютеров. Этой теме в книге посвящена отдельная глава. Значительное внимание авторы уделили рассмотрению методов решения уравнения Шредингера в различных приближениях, в частности, методам теории возмущений, приближению Борна–Оппенгеймера, а также методам Хартри–Фока, широко применяемым в квантовой химии. Достаточное внимание уделено технике конкретных квантово-механических вычислений, например, более подробному, чем в других изданиях, вычислению коммутаторов при определении силы Лоренца, вычислению энтропии фон Ноймана кубитовых систем и решению ряда других задач. В целом учебное пособие сочетает строгое изложение фундаментальных основ теории с рассмотрением новых современных задач, требующих квантовомеханического описания. Академик П. Д. Саркисов
Введение Современное состояние науки о материалах требует глубоких и прочных знаний в области фундаментальных достижений физики и химии микромира. Поскольку объем поступающей научной информации из года в год растет, возникает проблема систематизации и упорядочения известных ранее научных данных с вновь приобретаемыми. В последнее время большую значимость приобрели вопросы, связанные с нанотехнологиями и получением на их основе различных наноматериалов. Для решения многих практических задач в этой области требуются специалисты с достаточно широким кругозором в областях физики и химии микромира. В силу того, что физические и химические процессы, происходящие в микромире, основаны на формализме квантовой механики, возникает проблема изложения этой дисциплины с учетом современных достижений в ее развитии. Предлагаемая книга основана на курсе лекций, читаемых студентам РХТУ им. Д. И. Менделеева по направлениям подготовки, требующим прохождения углубленного курса физики, частью которого является квантовая механика. Одна из важнейших целей, стоящих перед авторами, состояла в том, чтобы дать читателю ясное понимание формализма квантовой механики, в частности, операторной алгебры и матричной механики, для решения прикладных вычислительных задач, неизбежно возникающих при исследовании процессов молекулярно-атомных взаимодействий в веществе, которые составляют основу физики и химии микромира. Особое внимание было уделено описанию различных приближенных подходов квантово-механического формализма, играющих значительную роль при проведении конкретных квантово-механических вычислений и оценок физических параметров в атомных и молекулярных системах. Это относится прежде всего к анализу молекулярных гамильтонианов в приближении Борна–Оппенгеймера, методу теории возмущений Рэлея– Шредингера и Бриллюэна–Вигнера и особенно к методам Хартри–Фока, столь часто используемым в квантовой химии. Большое внимание авторы уделили изложению вариационного принципа в квантовой трактовке формальных методов, которые применяются в операторной алгебре и матричной механике Г айзенберга. В частности, это относится к получению уравнения Шредингера, а также к доказательствам теорем Г ельмана–Фейнмана и теоремы вириала для квантовых систем с однородной потенциальной энергией в приближении Борна–Оппенгеймера. Особое место в книге отведено «бра-кет» формализму Дирака и его связи с операторной алгеброй, что очень важно для изложения новейших иссле
8 Введение дований в области квантовой механики кубитов. В частности, это относится к описанию одно- и двухкубитовых систем и соответствующих квантовых операций. Это направление в квантовой механике интенсивно развивается во всем мире и имеет большие перспективы, связанные с созданием квантовых компьютеров. Одной из задач авторов являлось ознакомить читателей с техникой конкретных квантово-механических вычислений с использованием известных теорем и канонов операторной алгебры, матричной механики, операций с кубитовыми системами. Наглядно это лучше всего проявляется при использовании формализма матричной алгебры спиноров одно-, двух- и трехэлектронных систем, с помощью которого можно получить много информации, связанной с изучением квантовых состояний легких химических элементов периодической системы Менделеева. В предлагаемом варианте курса «Квантовая механика» авторы отошли от традиционной трактовки соотношения неопределенностей, поскольку точные квантово-механические расчеты указывают на несколько иной числовой коэффициент связи этого соотношения с постоянной Планка. Более подробно, чем ранее, изложена процедура вычисления коммутаторов при определении оператора силы Лоренца и в некоторых других задачах. Вместе с тем, учитывая учебную направленность издания, при изложении традиционных разделов квантовой механики авторы опирались на методику изложения таких известных учебников и монографий, как «Механика» и «Квантовая механика» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица; «Квантовая механика» Л. Шиффа; «Квантовая механика» Э. Ферми; «Фейнмановские лекции по физике» Р . Фейнмана, Р . Лейтона и М. Сэндса, а также на недавно вышедшую книгу И. Майера «Избранные главы квантовой химии». Прочтение предлагаемого варианта «Квантовой механики», по мнению авторов, продолжит знакомство читателя с основами математического анализа, матричной и линейной алгебры, а также с квантовыми представлениями о микромире в рамках углубленного курса физики РХТУ им. Д. И. Менделеева. Книга рассчитана на студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников, занимающихся изучением физики и химии микромира, а также проблемами, стоящими перед современным материаловедением, в частности, в таких областях, как наноматериалы и технологии их получения. Авторы признательны профессору НИУ МФТИ Ю. В. Петрову за просмотр рукописи и ряд замечаний.
Глава 1 Операторное представление квантовой механики 1.1. Квантово-механические постулаты. Собственные функции и собственные значения квантово-механических операторов. Уравнения Лагранжа и Гамильтона Известно, что в классической механике движение механической системы определяется принципом наименьшего действия, или принципом Г амильтона. Согласно этому принципу каждая механическая система состоящая из «s» частиц (элементов) характеризуется определенной функцией L q q qs ( , ,... , 1 2 q q q t s 1 2 , ,... , ) или кратко L q q t i i ( , , ), где qi(t) (i = 1, …, s) — обобщенные координаты частиц, q t i( ) их производные по времени (обобщенные скорости); t — время. Пусть в моменты времени t1 и t2 система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами координат q(1), q(2), тогда в интервале 2 назыt = ∫( , , ) , [t1, t2] система движется таким образом, что интеграл S L q q t dt i i t 1 ваемый действием, имеет наименьшее возможное значение. Функция L q q t i i ( , , ) называется функцией Лагранжа. Зависимость функции Лагранжа от переменных qi и qi является выражением того факта, что механическое состояние системы полностью определяется заданием в любой момент времени координат и скоростей всех частиц. Для упрощения последующих рассуждений предположим, что рассматриваемая система обладает одной степенью свободы, т. е. характеризуется одной функцией q(t) и ее производной q t ( ) Пусть q(t) — то значение функции, называемой динамической переменной, при которой действие S имеет наименьшее значение. Это означает, что интеграл S возрастает при замене q(t) на любую другую функцию q(t) + δq(t), где δq(t) — малая вариация функции q(t) во всем временном интервале [t1, t2]. Из требований q(t1) = q(t1) + δq(t1), q(t2) = q(t2) + δq2 (t2), вытекает, что δq(t1) = δq(t2) = 0. Изменение действия S при замене q(t) на q(t) + δq(t) дается разностью t 2 δS L q q q q t dt L q q t dt 2 ( , , ) ( , , ) . δ δ t = + + − ∫ ∫ t t 1 1 Разложение по степеням δq и δ q этой разности (в подынтегральном выражении) начинается с членов первого порядка. Необходимым условием мини
10 Глава 1. Операторное представление квантовой механики мальности S является обращение в нуль совокупности этих членов разложения. Иначе говоря, первая вариация действия S должна быть равна нулю, т.е. принцип наименьшего действия означает равенство δ δ S L q q t dt 2 0 ( , , ) , (1.1.1) t = = ∫ t 1 или 2 0. t δ δ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫ L q q L q q dt t 1 Замечая, что δ δ q d dt q = и интегрируя второй член в (1.1.1) по частям, получим: t 2 2 0. (1.1.2) δ δ δ S L q q L q t L q qdt t = ∂ ∂ + ∂ ∂ −∂ ∂ ∂ ∂ t t = ∫ 1 1 Поскольку δq(t1) = δq(t2) = 0, первый член в (1.1.2) исчезает, а условие равенства нулю первой вариации действия при произвольном δq(t) означает справедливость следующего уравнения −∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = L q t L q 0. При наличии s степеней свободы необходимо варьировать «s» различных функций qi(t), (i = 1, …, s). Очевидно в результате мы получим систему s дифференциальных уравнений вида ∂ ∂ ∂ ∂ i i 0 1 2 ( , ,... ), (1.1.3) −∂ ∂ = = t L q L q i s называемых уравнениями Лагранжа. С математической точки зрения это система s дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно s неизвестных функций qi(t). Общее решение такой системы содержит 2s произвольных постоянных, для определения которых необходимо знать начальные условия в момент времени t = 0, например, значения всех начальных координат и скоростей элементов этой механической системы [1]. Рассмотрим действие S как величину, характеризующую движение механической системы по истинным траекториям, для которых справедлив вариационный принцип наименьшего действия, и сравним значения для траекторий, имеющих общее начало q(t1) = q(1), но различные положения в момент времени t2. Другими словами, будем рассматривать интеграл действия для истинных траекторий как функцию координат, зависящую от верхнего предела интегрировании. Изменение действия при переходе от одной траектории к другой (в случае одной степени свободы) дается выражением (1.1.2). Поскольку все истинные траектории действительного движения удовлетворяют уравнениям Лагранжа, интеграл в (1.1.2) равен нулю. В первом члене выражения (1.1.2), в силу того, что все траектории начинаются в одной точке, можно положить δq(t1) = 0, а вариацию δq(t2) обозначить как δq. Определив частную производ