Олимпиадная математика. Логические задачи с решениями и указаниями. 8-9 классы

ЛОГИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
с решениями и указаниями 

Москва
Лаборатория знаний
2024

Под редакцией 
М. В. Федотова

ОЛИМПИАДНАЯ
МАТЕМАТИКА

М. В. Федотов

8–9 
классы

Электронное издание

УДК 373.167.1:511
ББК 22.130я721.6
Ф34

Федотов М. В.
Ф34
Олимпиадная математика. Логические задачи с решениями
и
указаниями.
8–9
классы
:
учебнометодическое
пособие
/
М. В. Федотов
;
под
ред.
М. В. Федотова. — Электрон. изд. — М. : Лаборатория
знаний, 2024. — 227 с. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл.
с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-896-8
Настоящее пособие составлено на основе олимпиадных
задач по математике преподавателями факультета ВМК МГУ
имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический
материал,
подборку
задач,
а
также
указания
и
решения
к большинству задач.
Рекомендуется школьникам 8–9 классов, интересующимся олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.
УДК 373.167.1:511
ББК 22.130я721.6

Деривативное издание на основе печатного аналога: Олимпиадная математика. Логические задачи с решениями и указаниями. 8–9 классы : учебно-методическое пособие / М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова. — М. : Лаборатория знаний,
2024. — 224 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе).
ISBN 978-5-93208-416-8

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-896-8
© Лаборатория знаний, 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Используемые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Часть I. Теория и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1. Сюжетные логические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

2. Истинные
и
ложные
высказывания.
Рыцари,
лжецы, хитрецы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

3. Задачи на переливание и переправы . . . . . . . . . . . . . . . .
22

4. Задачи на взвешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

5. Принцип крайнего . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

6. Оценка + пример. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

7. Задачи Всероссийских, Московских и Санкт-Петербургских олимпиад. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

Часть II. Указания и решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

1. Сюжетные логические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

2. Истинные
и
ложные
высказывания.
Рыцари,
лжецы, хитрецы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

3. Задачи на переливание и переправы . . . . . . . . . . . . . . . .
110

4. Задачи на взвешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124

5. Принцип крайнего . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144

6. Оценка + пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160

7. Задачи Всероссийских, Московских и Санкт-Петербургских олимпиад. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222

ОТ РЕДАКТОРА

Уважаемый читатель, Вы держите в руках одну из книг серии
«ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие
в эту серию, являются результатом более чем пятнадцатилетнего
труда
коллектива
авторов,
работающих
на
подготовительных
курсах факультета вычислительной математики и кибернетики
(ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии, информатике
и физике для старшеклассников для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и вступительным экзаменам в вузы. Также изданы пособия по математике для подготовки к ОГЭ для девятиклассников.
Но
мы
не
хотим
останавливаться
только
на
стандартных
задачах, необходимых для сдачи ОГЭ и ЕГЭ. Мы хотим, чтобы
школьники с младших классов и до окончания школы могли
решать
задачи
повышенной
трудности — олимпиадные
задачи,
на которые у учителя, как правило, не остается времени на
обычном уроке математики. Большинство книг по этой тематике
выходят без разбивки по классам либо без разбивки по темам.
Многие хорошие книги с олимпиадными задачами вышли давно
и с тех пор не переиздавались. Мы собрали много задач из
различных старых и не очень старых сборников олимпиадных
задач и предлагаем их вам.
Недавно вышла серия пособий по олимпиадной математике
для 5–7 классов.
Настоящее пособие рассчитано на 8–9 классы и продолжает
недавно
начатую
серию
книг
по
подготовке
к
классическим
олимпиадам.
Завершат серию, конечно же, пособия для 10–11 классов.
Большинство
олимпиадных
задач,
особенно
для
младших
и средних школьников, не намного сложнее обычных школьных
задач по математике. Поэтому не бойтесь их. Они только все
вместе выглядят страшными, а каждая задача по отдельности
вполне вам по силам. Берите их и решайте. Дорогу осилит
идущий.

Заместитель декана по учебной работе
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание
методов
решения
задач,
примеры
применения
методов
и набор заданий для решения. Задачи в разделах в основном
расположены по принципу «от простого — к сложному». Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется
изучать в предложенном порядке. Приступать к решению задач
надо после изучения соответствующего теоретического материала
и разбора примеров.
После
номера
задачи
в
скобках
приведены
классы,
для
которых
эта
задача
была
предложена
на
олимпиаде.
Однако
это разделение на классы довольно условно. Понятно, что если
задачу давали в 8 классе, то ее можно давать и в 9 классе.
Часто бывает наоборот: задача, которую давали на олимпиаде
для
9
класса,
вполне
по
силам
восьмиклассникам.
Поэтому,
придерживаясь
рекомендаций
в
скобках,
относитесь
к
этим
рекомендациям творчески. Кстати, распределение задач по параграфам тоже не всегда однозначно. Одну и ту же задачу можно
было отнести к разным параграфам.
В принципе, по этому пособию можно заниматься два года:
в
8
классе
пройти
по
всем
разделам,
выбирая
задачи
для
8 класса, а в 9 классе снова пройти по всем разделам, выбирая
задачи для 9 класса. А можно пройти и за год, если вы уже
в 9 классе.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

{a}
— множество, состоящее из одного элемента a;
∪
— объединение;
∩
— пересечение множеств;
∅
— пустое множество;
∈
— знак принадлежности элемента множеству;
⊂
— знак включения одного множества в другое;
∀
— для любого;
A∖B — разность множеств A и B;
=⇒ — следовательно;
⇐⇒ — тогда и только тогда;
N
— множество всех натуральных чисел; N0 = N ∪ {0};
Z
— множество всех целых чисел;
Q
— множество всех рациональных чисел;
R
— множество всех действительных чисел;
ОДЗ — область допустимых значений;
{︂· · ·
· · ·

— знак
системы,
означающий,
что
должны
выполняться
все условия, объединенные этим знаком;
[︂· · ·
· · ·

— знак совокупности, означающий, что должно выполняться хотя бы одно из условий, объединенных этим знаком.

Необходимо отметить, что в формулировках задач параллельно
с математически более корректной терминологией типа «длина
отрезка
AB
равна
5»
и
записью
«|AB| = 5»
используется
школьная терминология типа «отрезок AB равен 5» и запись
«AB = 5».

Рекомендуется
школьникам
8–9
классов,
интересующимся
олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям
кружков и факультативов.
Желаем удачи!

Часть I. ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ

Логические задачи встречаются на олимпиадах всех уровней.
Они требуют умения логически мыслить, перебирать все возможные варианты и быть очень внимательным.

1.
Сюжетные логические задачи

Теоретический материал

В этом разделе собраны сюжетные логические задачи. Чтобы
решать такие задачи, необходимо уметь рассуждать, уметь из
текста
выделять
причину
и
следствие.
Многие
задачи
этого
раздела могут быть решены перебором вариантов. Использование
рисунков и таблиц часто значительно упрощает решение.

Примеры решения задач

Пример 1. В доме живут A, его жена B и трое их детей C, D, E,
при этом справедливы следующие утверждения.

1. Если A смотрит телевизор, то и B смотрит телевизор.
2. Хотя бы один из D и E смотрит телевизор.
3. Ровно один из B и C смотрит телевизор.
4. C и D либо оба смотрят, либо оба не смотрят телевизор.
5. Если
E
смотрит
телевизор,
то
A
и
D
тоже
смотрят
телевизор.
Кто смотрит и кто не смотрит телевизор?

Р е ш е н и е. ПЕРВЫЙ СПОСОБ.
Предположим, что E смотрит телевизор, тогда из утверждения (5) вытекает, что A и D тоже
смотрят телевизор. Тогда из утверждения (1) следует, что и B
смотрит
телевизор,
а
из
утверждения
(4)
вытекает,
что
C
тоже смотрит телевизор, но это противоречит утверждению (3).
Значит E не смотрит телевизор.
Если E не смотрит телевизор, то из утверждения (2) следует, что D смотрит телевизор, а из утверждения (4) — что C тоже
смотрит телевизор. Поэтому из утверждения (3) следует, что B не

Часть I. Теория и задачи

смотрит телевизор. Если предположить, что A смотрит телевизор,
то по утверждению (1) B тоже должен смотреть телевизор, а это
не так. Следовательно, A не смотрит телевизор. Таким образом,
C и D смотрят телевизор, а остальные не смотрят.
ВТОРОЙ СПОСОБ.
Обозначим буквой A утверждение «A смотрит
телевизор», а A — утверждение «A не смотрит телевизор». Аналогично для B, C, D и E.
Тогда условие (1) отбрасывает сочетание AB, условие (2) —

D E, (3) — BC и B C, (4) — CD и CD, (5) — AE и DE.
Так как сочетания D E и DE невозможны, то D смотрит телевизор.
Предположим, что A смотрит телевизор, тогда, с учетом запрещенных сочетаний, получаем ABC D, что противоречит тому,
что D смотрит телевизор. Значит, A не смотрит телевизор.
Предположим, что B смотрит телевизор. Тогда, с учетом запрещенных сочетаний, получаем ABC D, что противоречит тому,
что D смотрит телевизор. Поэтому B не смотрит телевизор. Значит, с учетом запрещенных сочетаний, получаем A BCDE.

О т в е т. Телевизор смотрят C и D.

Пример 2. Четыре мальчика сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил
ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал,
карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый купил
пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый мальчик?

Р е ш е н и е. Для наглядности занесем все покупки мальчиков
в таблицу.

Пенал
Ластик
Карандаш
Тетрадь
Сумма

1
1
1
40

2
1
1
12

3
1
1
2
50

4
1
1
?

Из таблицы легко видеть, что если сложить покупки первых
двух мальчиков, то получится, что 1 пенал, 2 ластика и 1 карандаш
стоят
52
рубля.
Сравнивая
это
с
покупкой
третьего
мальчика,
получаем,
что
2
ластика
дороже
2-х
тетрадей
на
2 рубля. Значит, 1 ластик дороже 1-й тетради на 1 рубль. Так
как четвертый мальчик, в отличие от первого мальчика, купил
тетрадь вместо ластика, то он заплатил на 1 рубль меньше, чем
первый мальчик. Следовательно, четвертый мальчик заплатил
39 рублей.

О т в е т. 39 рублей.

1. Сюжетные логические задачи
9

Пример 3. Антон, Борис и Владимир занимаются различными
видами спорта: футболом, плаванием и теннисом. Кто из них
каким
видом
спорта
занимается,
если
известно,
что
Борис
и Владимир не пловцы, а Борис не теннисист?

Р е ш е н и е. Решаем задачу с помощью таблицы. По вертикали
записываем имена, а по горизонтали — виды спорта. Будем ставить минусы в те клетки таблицы, которые точно не подходят,
т. е. будем отбрасывать заведомо неподходящие варианты. Из
условия следует, что Борис и Владимир не пловцы. Поэтому
в таблице напротив их имен ставим минусы во второй колонке.
Так как Борис не теннисист, то напротив его имени ставим
минус в третью колонку.

Футбол
Плавание
Теннис

Антон
Борис
−
−

Владимир
−

Получается, что Борис может заниматься только футболом,
а плаванием может заниматься только Антон:

Футбол
Плавание
Теннис

Антон
+

Борис
+
−
−

Владимир
−

Тогда Владимиру остается только теннис.

О т в е т. Антон — пловец, Борис — футболист, Владимир — теннисист.

Задачи

1.

8
На даче поселились пятеро мальчиков: Андрей, Боря,
Володя, Гена и Дима. Все были разного возраста: одному
был 1 год, другому — 2 года, остальным — 3, 4 и 5 лет.
Володя
был
самым
маленьким,
Диме
было
столько
лет,
сколько Андрею и Гене вместе. Сколько лет Боре? Возраст
кого еще из мальчиков можно определить?

2.

8-9 На занятии математического кружка 10 школьников получили 42 жетона за правильное решение задач. Доказать,
что по крайней мере 2 ученика получили жетонов поровну
(возможно, и по нулю).

Часть I. Теория и задачи

3.

8
Три
подруги-ученицы:
отличница
Белова,
хорошистка
Чернова
и
троечница
Рыжова
собирались
на
дискотеку.
Вдруг черноволосая заметила: «Как интересно, у одной из
нас белые волосы, другая — черноволосая, а третья — рыжая.
Но ни у кого из нас цвет волос не совпадает с фамилией».
«Да,
ты
права», — поддержала
отличница.
Какого
цвета
волосы были у хорошистки?

4.

8
В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря,
Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы;
Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни
с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят
ребята?

5.

8-9 Можно ли выложить в цепь, следуя правилам игры, все
28 костей домино так, чтобы:
а) на
одном
конце
оказалась
шестерка,
а
на
другом —
пятерка;
б) на обоих концах была шестерка?

6.

8-9 Можно
ли
расставить
по
окружности
20
красных
и несколько синих фишек так, чтобы в каждой точке, диаметрально противоположной красной фишке, стояла синяя
и никакие две синие фишки не стояли рядом?

7.

8-9 В
трамвае
ехало
60
человек,
среди
которых
были
контролеры,
кондукторы,
граждане,
выдававшие
себя
за
контролеров, граждане, выдававшие себя за кондукторов, и,
возможно, обычные пассажиры. Общее количество лжеконтролеров и лжекондукторов в 4 раза меньше числа настоящих контролеров и кондукторов. Общее число контролеров
(вместе с лжеконтролерами) в 7 раз больше числа кондукторов
(в
том
числе
лжекондукторов).
Сколько
в
трамвае
простых пассажиров?

8.

8-9 Сколькими способами монету в 20 копеек можно разменять монетами достоинством в 10, 5, 3 и 2 копейки?

9.

8-9 На занятии кружка 10 школьников решали 10 задач.
Все школьники решили разное количество задач; каждую
задачу решило одинаковое количество школьников. Один из
этих десяти школьников, Боря, решил задачи с первой по
пятую и не решил задачи с шестой по девятую. Решил ли
он десятую задачу?

10.

8-9 Четыре брата — Алеша, Ваня, Саша и Дима — родились
в один день одного месяца, но в разные годы. Однажды на
своем дне рождения они делили квадратный торт, разрезанный на равные квадратики. Старший брат, Алеша, сказал: