Олимпиадная математика. Геометрические задачи с решениями и указаниями. 5-7 классы

Под редакцией 
М. В. Федотова

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
с решениями и указаниями 

Москва
Лаборатория знаний
2024

ОЛИМПИАДНАЯ
МАТЕМАТИКА

А. Б. Золотарёв, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов

5–7 
классы

Электронное издание

УДК 373.167.1:514
ББК 22.151
З-80

Золотарёв А. Б.
З-80
Олимпиадная математика. Геометрические задачи
с решениями и указаниями. 5–7 классы : учебнометодическое
пособие
/
А. Б. Золотарёв,
Н. Д. Золотарёва,
М. В. Федотов
;
под
ред.
М. В. Федотова. —
Электрон. изд. — М. : Лаборатория знаний, 2024. —
179 с. — (ВМК
МГУ — школе). — Систем.
требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-897-5
Настоящее пособие составлено на основе олимпиадных
задач по математике преподавателями факультета ВМК МГУ
имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический
материал и подборку задач с решениями и указаниями.
Рекомендуется школьникам 5–7 классов, интересующимся олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151

Деривативное издание на основе печатного аналога: Олимпиадная математика. Геометрические задачи с решениями
и указаниями. 5–7 классы : учебно-методическое пособие /
А. Б. Золотарёв, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ; под ред.
М. В. Федотова. — М. : Лаборатория знаний, 2024. — 176 с. :
ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-93208-415-1.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-897-5
© Лаборатория знаний, 2024

СОДЕРЖАНИЕ

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Часть I. Теория и задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1. Разрезания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

2. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

3. Четырёхугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

4. Геометрические места точек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

5. Построения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

6. Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

7. Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

8. Экстремумы в геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

Часть II. Указания и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

1. Разрезания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

2. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

3. Четырёхугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

4. Геометрические места точек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5. Построения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6. Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7. Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8. Экстремумы в геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

ОТ РЕДАКТОРА

Уважаемый читатель, вы держите в руках одну из книг серии
«ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие
в эту серию, являются результатом более чем пятнадцатилетнего
труда
коллектива
авторов,
работающих
на
подготовительных
курсах факультета вычислительной математики и кибернетики
(ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии, информатике
и физике для старшеклассников для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и вступительным экзаменам в вузы. Недавно вышли
пособия по математике для подготовки к ОГЭ для девятиклассников.
Но
мы
не
хотим
останавливаться
только
на
стандартных
задачах, необходимых для сдачи ОГЭ, ЕГЭ и экзаменов в вузы.
Мы хотим, чтобы школьники с младших классов и до окончания школы могли решать задачи повышенной сложности —
олимпиадные задачи, на которые у учителя обычно не остаётся
времени на обычном уроке математики. Большинство книг по
этой
тематике
выходят
без
разбивки
по
классам
либо
без
разбивки по темам. Многие хорошие книги с олимпиадными
задачами
вышли
давно
и
с
тех
пор
не
переиздавались.
Мы
собрали много задач из различных старых и не очень старых
сборников олимпиадных задач и предлагаем их вам.
Настоящее
пособие
рассчитано
на
5–7
классы
и
является
седьмым в серии пособий по олимпиадным задачам. Заключительная книга объединит все семь пособий, но без решений и
указаний. Параллельно мы уже ведём работу над сборником
задач для 8–9 классов. Завершат серию, конечно же, пособия
для 10–11 классов.
Большинство олимпиадных задач, особенно для 5–7 классов, не
намного сложнее обычных школьных задач по математике. Поэтому не бойтесь их. Они только все вместе выглядят страшными,
а каждая задача по отдельности вполне вам по силам. Берите их
и решайте. Дорогу осилит идущий.

Заместитель декана по учебной работе
факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание
методов
решения
задач,
примеры
применения
методов
и набор заданий для решения. Задачи в разделах в основном
расположены по принципу «от простого — к сложному». Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется
изучать в предложенном порядке. Приступать к решению задач
надо после изучения соответствующего теоретического материала
и разбора примеров.
После номера задачи в скобках приведены классы, для которых эта задача была предложена на олимпиаде. Однако это разделение на классы довольно условно. Понятно, что если задачу
давали в 5 классе, то её можно давать и в 6–7 классах, и часто,
наоборот, задача, которую давали на олимпиаде для 6–7 классов, вполне по силам пятиклассникам. Поэтому, придерживаясь
рекомендаций в скобках, относитесь к ним творчески. Кстати,
распределение задач по темам тоже не всегда однозначно. Одну
и ту же задачу можно было отнести к разным темам.
В принципе, по этому пособию можно заниматься три года: в 5 классе пройти по всем разделам, выбирая задачи для
5 класса, в 6 классе снова пройти по всем разделам, выбирая
задачи для 6 класса, и т. д. А можно пройти и за более короткий срок: за два года, если вы начали заниматься в 6 классе,
или за один год, если вы уже в 7 классе.

Рекомендуется
школьникам
5–7
классов,
интересующимся
олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям
кружков и факультативов.

Желаем удачи!

Часть I. ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ

1.
Разрезания

В этом разделе приведены задачи на разрезания. При решении
таких задач очень важно логическое мышление. Поэтому эти
задачи часто встречаются на олимпиадах.

Теоретический материал

В
задачах
на
разрезания
надо
привести
пример
требуемого
разрезания. Если требуется найти все возможные способы разрезания или проведения прямых и т. п., то необходимо не только
найти эти способы, но и обосновать, что других нет.

Примеры решения задач

Пример 1.
Разделите
изображённую
ниже
фигуру
на
четыре
равные части, состоящие из целых квадратиков.

Р е ш е н и е. Поскольку
фигура
содержит
12
квадратиков,
то
искомые четыре равные части будут содержать по 3 квадратика.
Различных фигур из трёх квадратиков только две (с точностью

до поворота) — полоска и уголок:
и

Очевидно, что разрезать исходную фигуру на четыре полоски
никак
не
удастся,
так
как,
во-первых,
узкие
части
имеют
ширину в 2 клетки, а во-вторых, правый верхний угол фигуры

Часть I. Теория и задачи

состоит всего из 5 клеток. Как разрезать исходную фигуру на
уголки, показано на рисунке:

Пример 2. Можно ли прямоугольник размером 55×39 разрезать
на прямоугольники размером 5 × 11?

Р е ш е н и е. Если бы это было возможно, то сторона исходного
прямоугольника, длина которой равна 39, разделилась бы на
отрезки, длины которых равны 5 и 11. Однако число 39 нельзя
представить
в
виде
суммы
нескольких
слагаемых,
равных
5
и/или 11. Это легко доказать, рассмотрев три случая вхождения
в сумму числа 11: один раз, два раза и три раза. Во всех трёх
случаях остаток (28, 17 и 6) не делится на 5.

О т в е т. Нельзя.

Задачи

1.

5-6 Учительница
дала
Вовочке
лист
бумаги,
на
котором
были нарисованы квадрат и треугольник. Вовочка поставил
внутри квадрата 3 точки, а внутри треугольника — 2. Всего
получилось 4 точки, причём ни одна из них не располагалась на сторонах квадрата или треугольника. Покажите,
как были нарисованы квадрат и треугольник и как Вовочка
поставил точки.

2.

5-6 Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось
три четырёхугольника?

3.

5-6 а) Квадрат разрезали по ломаной линии, состоящей из
трёх равных отрезков. Начало разреза в точке A (см. рисунок). Получили две равные фигуры. Как это сделали?

A

б) Разрежьте квадрат на два равных шестиугольника.

1. Разрезания
9

4.

5-6 Разделите изображённую на рисунке фигуру на четыре
равные части.

5.

5-6 Как
разрезать
прямоугольник,
длина
которого
16 см,
а ширина 9 см, на две равные части, из которых можно
составить квадрат?

6.

5-6 Разрежьте треугольник на два треугольника, четырёхугольник и пятиугольник, проведя две прямые линии.

7.

5-6 Какой фигурой может быть пересечение треугольника
и выпуклого четырёхугольника? Покажите на рисунках все
возможные случаи.

8.

5-6 Разрежьте прямоугольник 3 × 4 на 2 равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно лишь по
стороне квадрата 1 × 1. Способы считаются разными, если
полученные фигуры не будут равными при каждом способе.

9.

5-6 Как
разрезать
квадрат
5 × 5
прямыми
линиями
так,
чтобы из полученных частей можно было составить 50 равных квадратов? Не разрешается оставлять неиспользованные
части, а также накладывать их друг на друга.

10.

6-7 Составьте из прямоугольников 1×1, 1×2, 1×3, . . . , 1×13
прямоугольник, каждая сторона которого больше 1.

11.

6-7 На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 13 × 7.
Вырежите из него 15 прямоугольников размером 2 × 3.

12.

6-7 На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 2 × 3.
Отметьте вершины квадрата, стороны которого равны диагонали этого прямоугольника (не используя чертёжных инструментов).

13.

6-7 Разрежьте квадрат на 3 части, из которых можно сложить треугольник с 3 острыми углами и тремя различными
сторонами.

14.

7
Толик Торопыжкин думает, что только равносторонний
треугольник можно разрезать на три равных треугольника.
Прав ли он?

15.

7
Есть
три
треугольника:
остроугольный,
прямоугольный
и тупоугольный. Саша взял себе один треугольник, а Боря —

Часть I. Теория и задачи

два оставшихся. Оказалось, что Боря может приложить (без
наложения) один из своих треугольников к другому и получить треугольник, равный Сашиному. Какой из этих треугольников взял Саша?

16.

7
а) Как разрезать квадрат со стороной 4 см на прямоугольники, сумма периметров которых равна 25 см?
б) Как разрезать квадрат со стороной 3 см на прямоугольники, сумма периметров которых равна 19 см?

17.

7
Можно ли разбить квадрат на 1977 треугольников так,
чтобы на сторонах квадрата лежало поровну вершин этих
треугольников и чтобы никакая вершина одного треугольника не оказалась внутри стороны другого?

18.

7
Дан равнобедренный треугольник, один из углов которого равен 108∘. Можно ли его разрезать на остроугольные
треугольники.

19.

7
Прямоугольник 19 × 65 см разбит прямыми, параллельными его сторонам, на квадратики со стороной 1 см. На
сколько частей разобьётся этот прямоугольник, если в нём
провести ещё и диагональ?

20.

7
Докажите, что квадрат можно разрезать на 1973 квадрата.

21.

7
Сложите из фигур, изображённых на рисунке
:

а) квадрат размером 9 × 9 с вырезанным в его центре квадратом 3 × 3;
б) прямоугольник размером 9 × 12.
(Фигуры можно не только поворачивать, но и переворачивать.)

22.

7
Можно
ли
провести
в
выпуклом
шестиугольнике
несколько диагоналей так, чтобы каждая из них пересекала
во внутренних точках ровно три других?

2.
Треугольники

В
этом
разделе
приведены
задачи,
в
которых
главную
роль
играют различные треугольники.

Теоретический материал

Треугольник
неисчерпаем.
Уже
составлены
тысячи
задач
на
треугольник и можно ещё придумать много задач. Здесь мы