Олимпиадная математика. Большой сборник задач. 5-7 классы

БОЛЬШОЙ СБОРНИК 
ЗАДАЧ

Москва
Лаборатория знаний
2024

Под редакцией 
М. В. Федотова

ОЛИМПИАДНАЯ
МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов

5–7 
классы

Электронное издание

УДК 373.167.1:51
ББК 22.1
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Олимпиадная математика. Большой сборник задач.
5–7 классы : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под ред.
М. В. Федотова. — Электрон. изд. — М. : Лаборатория
знаний, 2024. — 419 с. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл.
с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-898-2
Сборник составлен на основе олимпиадных задач по математике
преподавателями
факультета
ВМК МГУ
имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал,
подборку
задач,
а
также
указания
и
решения
к большинству задач.
Рекомендуется
школьникам
5—7
классов,
интересующимся
олимпиадными
задачами,
учителям
математики,
руководителям кружков и факультативов.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1

Деривативное издание на основе печатного аналога: Олимпиадная математика. Большой сборник задач. 5–7 классы :
учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова. — М. : Лаборатория знаний, 2024. — 416 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе). —
ISBN 978-5-93208-428-1.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-898-2
© Лаборатория знаний, 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1. Арифметические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1. Задачи на вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

2. Метрическая система мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

3. Задачи на части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

4. Задачи на работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

5. Задачи на движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

6. Задачи на проценты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

7. Обратный ход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

8. Уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

9. Задачи на составление уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

10. Манипуляции с числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

11. Ребусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

12. Разные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

Глава 2. Логические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

1. Сюжетные логические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

2. Истинные
и
ложные
высказывания.
Рыцари,
лжецы,
хитрецы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3. Переправы и задачи на переливание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4. Задачи на взвешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5. Принцип крайнего. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6. Оценка + пример. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Глава 3. Принцип Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1. Принцип Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2. Принцип Дирихле и делимость целых чисел . . . . . . . . . . . . . . 143
3. Принцип Дирихле и дополнительные соображения. . . . . . . . . 145
4. Принцип Дирихле в геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5. Принцип
Дирихле
и
окраска
плоскости
и
её
частей.
Таблицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Глава 4. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

1. Чётность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2. Остатки от деления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3. Алгебраическое выражение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4. Раскраска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5. Полуинвариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Оглавление

Глава 5. Игры и турниры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

1. Фатальные игры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2. Использование симметрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3. Делимость и разбиение на пары. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4. Выигрышные и проигрышные стратегии. Анализ с конца. . . 194
5. Турниры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Глава 6. Целые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

1. Десятичная
запись
целого
числа,
НОД,
НОК,
алгоритм
Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

2. Разложение на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
3. Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4. Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5. Сравнение по модулю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6. Признаки делимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7. Уравнения в целых числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Глава 7. Графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

1. Вводные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
2. Степень вершины, подсчёт числа рёбер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3. Связность графов. Эйлеровы графы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
4. Маршруты, цепи, циклы, двудольные графы . . . . . . . . . . . . . . 272
5. Деревья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6. Плоские графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7. Ориентированные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Глава 8. Комбинаторика и элементы теории вероятностей . . . . . . 288

1. Правило суммы и правило произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
2. Размещения, перестановки, сочетания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3. Элементы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Глава 9. Элементы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

1. Числовые неравенства. Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
2. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
3. Доказательство неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
4. Последовательности. Арифметические прогрессии . . . . . . . . . . 320
5. Геометрические прогрессии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Глава 10. Геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

1. Разрезания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
2. Треугольники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
3. Четырёхугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
4. Геометрические места точек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
5. Построения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
6. Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
7. Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
8. Экстремумы в геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Оглавление
5

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

1. Арифметические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
2. Логические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
3. Принцип Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
4. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
5. Игры и турниры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
6. Целые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
7. Графы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
8. Комбинаторика и элементы теории вероятностей. . . . . . . . . . . 402
9. Элементы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

10. Геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

ОТ РЕДАКТОРА

Уважаемый читатель, вы держите в руках одну из книг серии
«ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие
в эту серию, являются результатом более чем пятнадцатилетнего
труда
коллектива
авторов,
работающих
на
подготовительных
курсах факультета вычислительной математики и кибернетики
(ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии, информатике
и физике для старшеклассников для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и вступительным экзаменам в вузы. Недавно вышли
пособия по математике для подготовки к ГИА для девятиклассников.
Но
мы
не
хотим
останавливаться
только
на
стандартных
задачах, необходимых для сдачи ГИА, ЕГЭ и экзаменов в вузы.
Мы хотим, чтобы школьники с младших классов и до окончания школы могли решать задачи повышенной сложности —
олимпиадные задачи, на которые у учителя, как правило, не
остаётся времени на обычном уроке математики. Большинство
книг по этой тематике выходит без разбивки по классам либо
без разбивки по темам. Многие хорошие книги с олимпиадными
задачами
вышли
давно
и
с
тех
пор
не
переиздавались.
Мы
собрали большое количество задач из различных старых и не
очень старых сборников олимпиадных задач и предлагаем их
вам.
Настоящее
пособие
рассчитано
на
5–7
классы
и
является
завершающим в серии пособий по олимпиадным задачам для
5–7 классов. Параллельно мы уже ведём работу над пособиями
для 8–9 классов. Завершат серию, конечно же, пособия для
10–11 классов.
Большинство олимпиадных задач, особенно для 5–7 классов, не
намного сложнее обычных школьных задач по математике. Поэтому не бойтесь их. Они только все вместе выглядят страшными,
а каждая задача по отдельности вполне вам по силам. Берите их
и решайте. Дорогу осилит идущий.

Заместитель декана по учебной работе
факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения. Задачи в разделах в основном расположены по принципу «от простого — к сложному». Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью изложения,
поэтому сами разделы и задачи в них рекомендуется изучать
в предложенном порядке. Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров.
После номера задачи в скобках приведены классы, которым
эта задача была предложена на олимпиаде. Однако это разделение на классы довольно условно. Понятно, что если задачу
давали в 5 классе, то её можно давать и в 6–7 классах, часто
наоборот: задача, которую давали на олимпиаде для 6–7 классов, вполне по силам пятиклассникам. Поэтому, придерживаясь
рекомендаций в скобках, относитесь к ним творчески. Кстати,
распределение задач по темам тоже не всегда однозначно. Одну
и ту же задачу можно было отнести к разным темам.
В принципе, по этому пособию можно заниматься три года: в 5 классе пройти по всем разделам, выбирая задачи для
5 класса, в 6 классе — снова пройти по всем разделам, выбирая
задачи для 6 класса, и т. д. А можно пройти и за более короткий срок: за два года, если вы начали заниматься в 6 классе,
или за один год, если вы уже в 7 классе.

Рекомендуется
школьникам
5–7
классов,
интересующимся
олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям
кружков и факультативов.

Желаем удачи!

Глава 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ

Арифметические
задачи
обычно
встречаются
на
олимпиадах
первых уровней (школьной, районной). На олимпиадах более
высокого уровня их обычно не дают, но мы рекомендуем вам
тем не менее прорешать задачи этого раздела, поскольку на
них хорошо отрабатывать внимательность и умение аккуратно
выполнять непростые последовательности действий. Эти задачи
также хороши для первичного развития логического мышления.

1.
Задачи на вычисление

Теоретический материал

В
этом
разделе
собраны
задачи,
связанные
с
вычислением.
В начале раздела идут задачи, в которых надо просто уметь
раскрывать скобки, группировать слагаемые, выносить за скобки равные величины, приводить подобные, взаимно сокращать
равные величины с разными знаками, использовать формулы
сокращённого умножения:

a2 − b2 = (a − b)(a + b);
(1)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(2)

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2;
(3)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2);
(4)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2);
(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
(6)

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3,
(7)

причём все формулы нужно узнавать не только слева направо,
но и справа налево.
Применение формул сокращённого умножения является одним
из
самых
простых
способов
разложения
алгебраического выражения на множители. Все формулы справедливы при
любых
вещественных
a
и
b,
которые
сами
могут
являться
числами, функциями или другими выражениями.

Глава 1. Арифметические задачи

Помимо основных формул сокращённого умножения полезно
знать и формулы для большего числа слагаемых, например:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

В общем случае квадрат суммы нескольких чисел есть сумма
квадратов этих чисел плюс сумма всевозможных удвоенных попарных произведений с точностью до перестановки множителей.
Полезно
знать
также
две
следующие
формулы,
верные
∀n ∈ N:

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + . . . + abn−2 + bn−1);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n − a2n−1b + a2n−2b2 − . . . − ab2n−1 + b2n).

Во второй части этого раздела приведены текстовые задачи
на вычисления. Во всех этих задачах ответ получается простыми вычислениями, нигде не нужно составлять уравнения,
даже если вы умеете решать уравнения. Даже, наоборот, без
составления уравнений решение получается проще и элегантнее.
В заключительной части данного раздела приведены задачи
с дробями. Умение работать с дробями — очень важное умение.
Не бойтесь этих задач и ни в коем случае их не пропускайте. Не переходите к следующему разделу, пока не разберётесь
с дробями.

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислите

54x4 − 0,99x − 0,0199

1000x3 − 1
при а) x = −0,02, б) x = 0,1.

Р е ш е н и е.
а) Заметим,
что
если
x = −0,02,
то
5x = −0,1
и 54x4 = (5x)4 = 0,0001. Поэтому

54x4 − 0,99x − 0,0199 = 0,0001 + 0,0198 − 0,0199 = 0.

Так как знаменатель дроби 1000x3 − 1 = (10x)3 − 1 = (−0,2)3 − 1
в нуль не обращается, то дробь равна нулю.
б) Так как знаменатель дроби 1000x3 − 1 = (10x)3 − 1 = 13 − 1
обращается в нуль, то при x = 0,1 выражение теряет смысл,
поскольку деление на нуль невозможно.

О т в е т. а) 0;
б) при x = 0,1 выражение теряет смысл, так как
деление на нуль невозможно.