Математика. Готовимся к ЕГЭ. Профильный уровень. Сборник задач с примерами решений типовых заданий

Москва
Лаборатория знаний
2024

Электронное издание

ГОТОВИМСЯ к ЕГЭ 
Профильный уровень

Сборник задач

с примерами решений 
типовых заданий

Учебно-методическое пособие

Под редакцией 
М. В. Федотова

МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва,  А. Б. Золотарёв

УДК 512
ББК 22.1я729+22.1я721.6
З-80

Золотарева Н. Д.
З-80
Математика. Готовимся к ЕГЭ. Профильный уровень. Сборник задач с примерами решений типовых
заданий : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарева, А. Б. Золотарев. — Электрон. изд. — М. : Лаборатория знаний, 2024. — 290 с. — (ВМК МГУ — школе). —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". —
Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-894-4
Настоящее пособие составлено на основе задач открытого
банка заданий ЕГЭ. Пособие содержит краткое описание каждой из девятнадцати задач ЕГЭ по математике профильного
уровня, теоретический материал, примеры решений задач
и 10 тренировочных вариантов.
Рекомендуется абитуриентам, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.
УДК 512
ББК 22.1я729+22.1я721.6

Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика. Готовимся к ЕГЭ. Профильный уровень. Сборник
задач
с
примерами
решений
типовых
заданий
:
учебнометодическое пособие / Н. Д. Золотарева, А. Б. Золотарев. —
М. : Лаборатория знаний, 2024. — 287 с. : ил. — (ВМК МГУ —
школе). — ISBN 978-5-93208-394-9.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или
выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-894-4

© Н. Д. Золотарева, А. Б. Золотарев, 2024
© Лаборатория знаний, 2024

СОДЕРЖАНИЕ

От редактора ....................................................
6

Предисловие .....................................................
7

Используемые обозначения.....................................
8

Об экзамене .....................................................
9

Задания с кратким ответом ....................................
11

Задание № 1 ...............................................
11

Задание № 2 ...............................................
25

Задание № 3 ...............................................
32

Задание № 4 ...............................................
49

Задание № 5 ...............................................
55

Задание № 6 ...............................................
60

Задание № 7 ...............................................
63

Задание № 8 ...............................................
68

Задание № 9 ...............................................
80

Задание № 10..............................................
90

Задание № 11..............................................
98

Задание № 12.............................................. 115

Задания с развернутым ответом ............................... 121

Задание № 13.............................................. 121

Задание № 14.............................................. 134

Задание № 15.............................................. 147

Задание № 16.............................................. 154

Задание № 17.............................................. 171

Задание № 18.............................................. 186

Задание № 19.............................................. 196

Содержание

Тренировочные варианты ЕГЭ ................................. 219

Вариант 1 ................................................. 219

Вариант 2 ................................................. 224

Вариант 3 ................................................. 229

Вариант 4 ................................................. 234

Вариант 5 ................................................. 239

Вариант 6 ................................................. 244

Вариант 7 ................................................. 248

Вариант 8 ................................................. 253

Вариант 9 ................................................. 258

Вариант 10 ................................................ 263

Ответы ........................................................... 268

Задание № 1 ............................................... 268

Задание № 2 ............................................... 269

Задание № 3 ............................................... 269

Задание № 4 ............................................... 270

Задание № 5 ............................................... 271

Задание № 6 ............................................... 271

Задание № 7 ............................................... 272

Задание № 8 ............................................... 272

Задание № 9 ............................................... 273

Задание № 10.............................................. 273

Задание № 11.............................................. 274

Задание № 12.............................................. 274

Задание № 13.............................................. 275

Задание № 14.............................................. 277

Задание № 15.............................................. 278

Задание № 16.............................................. 279

Задание № 17.............................................. 279

Задание № 18.............................................. 280

Задание № 19.............................................. 281

Вариант 1 ................................................. 282

Вариант 2 ................................................. 283

Вариант 3 ................................................. 283

Вариант 4 ................................................. 284

Вариант 5 ................................................. 284

Содержание
5

Вариант 6 ................................................. 285
Вариант 7 ................................................. 285
Вариант 8 ................................................. 286
Вариант 9 ................................................. 286
Вариант 10 ................................................ 286

ОТ РЕДАКТОРА

Уважаемые
читатели,
вы
держите
в
руках
одну
из
книг
серии «ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом многолетнего труда
коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах
факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии, информатике
и физике для старшеклассников для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и вступительным экзаменам в вузы. Недавно вышли
пособия по математике для подготовки к ГИА для девятиклассников.
Настоящее
пособие
составлено
на
основе
задач
открытого
банка
заданий
ЕГЭ
и
будет
полезно
старшеклассникам
при
подготовке к сдаче ЕГЭ, поскольку охватывает все типы задач,
входящих в экзамен профильного уровня по математике. Для
подготовки
к
дополнительному
вступительному
экзамену
по
математике,
который
проводят
МГУ
имени
М. В. Ломоносова
и некоторые другие вузы, мы рекомендуем написанные нами
ранее пособия по основному и углубленному курсу по алгебре
и геометрии.

Заместитель декана по учебной работе
факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее
учебное
пособие
предназначено
для
подготовки
к сдаче ЕГЭ по математике профильного уровня. Этот экзамен
необходимо
сдавать
тем,
кто
собирается
поступать
в
вузы
с
повышенными
требованиями
к
математической
подготовке
абитуриентов.
Каждый
раздел
пособия
содержит
теоретические
основы,
описание методов решения задач, примеры применения методов
и
набор
заданий
для
решения.
Задачи
в
разделах
в
основном расположены по принципу «от простого — к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью
разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке. Приступать к решению
задач
надо
после
изучения
соответствующего
теоретического
материала и разбора примеров.

Рекомендуется абитуриентам, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.

Желаем удачи!

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

{a}
— множество, состоящее из одного элемента a;
∪
— объединение;
∩
— пересечение;
∅
— пустое множество;
∈
— знак принадлежности;
⊂
— знак включения подмножества;
∀
— для любого;
A∖B
— разность множеств A и B;
=⇒
— следовательно;
⇐⇒
— тогда и только тогда;
N
— множество всех натуральных чисел;
N0 = N ∪ {0} — множество всех целых неотрицательных чисел;
Z
— множество всех целых чисел;
Q
— множество всех рациональных чисел;
R
— множество всех действительных чисел;
ОДЗ
— область допустимых значений;
{︁. . .
. . .
— знак системы, означающий, что должны выполняться все условия, объединенные этим знаком;
[︁. . .
. . .
— знак совокупности, означающий, что должно выполняться хотя бы одно из условий, объединенных этим знаком.

Необходимо
отметить,
что
в
формулировках
задач
параллельно с математически более корректной терминологией типа
«длина
отрезка
AB равна
5» и записью «|AB| = 5»
используется
школьная
терминология
типа
«отрезок
AB
равен
5»
и запись «AB = 5».

ОБ ЭКЗАМЕНЕ

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:
— часть 1 содержит 12 заданий (задания 1–12) с кратким
ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
— часть 2 содержит 7 заданий (задания 13–13) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Задания
части
1
экзаменационной
работы
(задания
1–12)
проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение анализировать информацию, представленную на
графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших
геометрических конструкциях. В часть 1 работы включены задания по всем основным разделам курса математики: геометрия
(планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического
анализа, теория вероятностей и статистика.
Задание с кратким ответом (1–12) считается выполненным,
если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ в виде
целого числа или конечной десятичной дроби.
Задания части 2 работы проверяют знания на том уровне
требований, который традиционно предъявляется вузами с профильным
экзаменом
по
математике.
Последние
два
задания
части 2 предназначены для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов.
Возможны
различные
способы
записи
развернутого
решения. Главное требование — решение должно быть математически
грамотным,
из
него
должен
быть
понятен
ход
рассуждений
автора
работы.
В
остальном
(метод,
форма
записи)
решение
может быть произвольным. Полнота и обоснованность рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения.
При
решении
задачи
можно
использовать
без
доказательств
и ссылок математические факты, содержащиеся в учебниках
и
учебных
пособиях,
рекомендуемых
к
использованию
при

Об экзамене

реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.
Задания 13–19 с развернутым ответом предназначены для более точной дифференциации абитуриентов вузов. При выполнении
заданий с развернутым ответом части 2 экзаменационной работы
в бланке ответов № 2 должны быть записаны полное обоснованное
решение и ответ для каждой задачи.
Правильное решение каждого из заданий 1–12 оценивается
одним первичным баллом; каждого из заданий 13, 15 и 16 —
двумя первичными баллами; заданий 14 и 17 — тремя первичными баллами; 18 и 19 — четырьмя первичными баллами. Максимальное количество первичных баллов — 32. Окончательная
оценка выставляется по стобалльной системе оценивания.
Заметим, что для получения максимальной оценки (100 баллов) не требуется правильного решения абсолютно всех задач.
Продолжительность экзамена 3 часа 55 минут.

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ

Напомним, что ответом к заданиям 1–12 является целое число
или конечная десятичная дробь. Проверка ответов осуществляется
компьютером,
и
ответ,
записанный
в
другой
форме,
будет оценен как неправильный. Поэтому, получив в результате
решения, например,
1
4 , в бланк ответов надо записать 0,25.

Единицы
измерения
в
бланк
ответов
записывать
не
нужно,
только целое число или конечную десятичную дробь.

Задание № 1

✓
✓
✓
✓ Несложная планиметрическая задача на нахождение геометрических величин: углов, длин, площадей.

Теоретический материал

При решении этих задач необходимо знать и уметь применять
следующие формулы и теоремы.

Теорема Пифагора:
a2 + b2 = c2, где a, b — катеты прямоугольного треугольника, c — гипотенуза.

c

a

b
A

B

C

α

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

sin α = a

c ,
cos α = b

c ,
tg α = a

b ,
ctg α = b

a ;

где α — угол, противолежащий катету a.

Задания с кратким ответом

Значения тригонометрических функций основных углов:

sin π

4 = cos π

4 =
√

2
2 ,
tg π

4 = ctg π

4 = 1,

sin π

6 = cos π

3 = 1

2,
sin π

3 = cos π

6 =
√

3
2 ,

tg π

6 = ctg π

3 =
√

3
3 ,
tg π

3 = ctg π

6 =
√

3.

sin(180∘ − α) = sin α,
cos(180∘ − α) = − cos α,

tg(180∘ − α) = − tg α,
ctg(180∘ − α) = − ctg α.

Напомним основные факты, связанные с треугольниками.
• Сумма углов треугольника равна 180∘.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна
его половине.

• Формулы площади треугольника:

S = 1

2aha,
S = 1

2ab sin γ,
S = pr,
S = abc

4R ,

где a, b, c — стороны треугольника, ha — высота, проведенная
к стороне a, γ — угол напротив стороны c, p — полупериметр
треугольника, r — радиус вписанной окружности, R — радиус
описанной окружности.

• Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате.

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся
ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

• Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
• Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта
точка есть центр вписанной окружности.

• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка есть центр описанной
окружности.

Замечание. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный, и вне треугольника,
если
он
тупоугольный.
Центр
окружности,
описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине
гипотенузы.
В
этом
случае
радиус
описанной
окружности

Задание № 1
13

равен медиане, проведенной к гипотенузе, а также половине
гипотенузы.

O

A
B

C

Теорема
о
касательных.
Касательная
к
окружности
перпендикулярна
радиусу,
проведенному
в
точку
касания.
Отрезки
касательных, проведенных из одной точки к одной окружности,
равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности.

d

c

b

a

Следствие.
В
любом
описанном
около
окружности
четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны:

a + c = b + d.

Теорема о вписанном угле. Вписанный угол измеряется половиной дуги окружности, на которую он опирается.

α

2α

α

β
γ

δ