Математика. Готовимся к ЕГЭ. Профильный уровень. Сборник задач с примерами решений типовых заданий
Покупка
Новинка
Тематика:
Математика. Высшая математика
Издательство:
Лаборатория знаний
Год издания: 2024
Кол-во страниц: 290
Дополнительно
Вид издания:
Учебно-методическая литература
Уровень образования:
Среднее общее образование
ISBN: 978-5-93208-894-4
Артикул: 840804.01.99
Настоящее пособие составлено на основе задач открытого банка заданий ЕГЭ. Пособие содержит краткое описание каждой из девятнадцати задач ЕГЭ по математике профильного уровня, теоретический материал, примеры решений задач и 10 тренировочных вариантов.
Рекомендуется абитуриентам, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Москва Лаборатория знаний 2024 Электронное издание ГОТОВИМСЯ к ЕГЭ Профильный уровень Сборник задач с примерами решений типовых заданий Учебно-методическое пособие Под редакцией М. В. Федотова МАТЕМАТИКА Н. Д. Золотарёва, А. Б. Золотарёв
УДК 512 ББК 22.1я729+22.1я721.6 З-80 Золотарева Н. Д. З-80 Математика. Готовимся к ЕГЭ. Профильный уровень. Сборник задач с примерами решений типовых заданий : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарева, А. Б. Золотарев. — Электрон. изд. — М. : Лаборатория знаний, 2024. — 290 с. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный. ISBN 978-5-93208-894-4 Настоящее пособие составлено на основе задач открытого банка заданий ЕГЭ. Пособие содержит краткое описание каждой из девятнадцати задач ЕГЭ по математике профильного уровня, теоретический материал, примеры решений задач и 10 тренировочных вариантов. Рекомендуется абитуриентам, учителям математики, руководителям кружков и факультативов. УДК 512 ББК 22.1я729+22.1я721.6 Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика. Готовимся к ЕГЭ. Профильный уровень. Сборник задач с примерами решений типовых заданий : учебнометодическое пособие / Н. Д. Золотарева, А. Б. Золотарев. — М. : Лаборатория знаний, 2024. — 287 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-93208-394-9. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-93208-894-4 © Н. Д. Золотарева, А. Б. Золотарев, 2024 © Лаборатория знаний, 2024
СОДЕРЖАНИЕ От редактора .................................................... 6 Предисловие ..................................................... 7 Используемые обозначения..................................... 8 Об экзамене ..................................................... 9 Задания с кратким ответом .................................... 11 Задание № 1 ............................................... 11 Задание № 2 ............................................... 25 Задание № 3 ............................................... 32 Задание № 4 ............................................... 49 Задание № 5 ............................................... 55 Задание № 6 ............................................... 60 Задание № 7 ............................................... 63 Задание № 8 ............................................... 68 Задание № 9 ............................................... 80 Задание № 10.............................................. 90 Задание № 11.............................................. 98 Задание № 12.............................................. 115 Задания с развернутым ответом ............................... 121 Задание № 13.............................................. 121 Задание № 14.............................................. 134 Задание № 15.............................................. 147 Задание № 16.............................................. 154 Задание № 17.............................................. 171 Задание № 18.............................................. 186 Задание № 19.............................................. 196
Содержание Тренировочные варианты ЕГЭ ................................. 219 Вариант 1 ................................................. 219 Вариант 2 ................................................. 224 Вариант 3 ................................................. 229 Вариант 4 ................................................. 234 Вариант 5 ................................................. 239 Вариант 6 ................................................. 244 Вариант 7 ................................................. 248 Вариант 8 ................................................. 253 Вариант 9 ................................................. 258 Вариант 10 ................................................ 263 Ответы ........................................................... 268 Задание № 1 ............................................... 268 Задание № 2 ............................................... 269 Задание № 3 ............................................... 269 Задание № 4 ............................................... 270 Задание № 5 ............................................... 271 Задание № 6 ............................................... 271 Задание № 7 ............................................... 272 Задание № 8 ............................................... 272 Задание № 9 ............................................... 273 Задание № 10.............................................. 273 Задание № 11.............................................. 274 Задание № 12.............................................. 274 Задание № 13.............................................. 275 Задание № 14.............................................. 277 Задание № 15.............................................. 278 Задание № 16.............................................. 279 Задание № 17.............................................. 279 Задание № 18.............................................. 280 Задание № 19.............................................. 281 Вариант 1 ................................................. 282 Вариант 2 ................................................. 283 Вариант 3 ................................................. 283 Вариант 4 ................................................. 284 Вариант 5 ................................................. 284
Содержание 5 Вариант 6 ................................................. 285 Вариант 7 ................................................. 285 Вариант 8 ................................................. 286 Вариант 9 ................................................. 286 Вариант 10 ................................................ 286
ОТ РЕДАКТОРА Уважаемые читатели, вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом многолетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова. Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии, информатике и физике для старшеклассников для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и вступительным экзаменам в вузы. Недавно вышли пособия по математике для подготовки к ГИА для девятиклассников. Настоящее пособие составлено на основе задач открытого банка заданий ЕГЭ и будет полезно старшеклассникам при подготовке к сдаче ЕГЭ, поскольку охватывает все типы задач, входящих в экзамен профильного уровня по математике. Для подготовки к дополнительному вступительному экзамену по математике, который проводят МГУ имени М. В. Ломоносова и некоторые другие вузы, мы рекомендуем написанные нами ранее пособия по основному и углубленному курсу по алгебре и геометрии. Заместитель декана по учебной работе факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова, доцент кафедры математической физики М. В. Федотов
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее учебное пособие предназначено для подготовки к сдаче ЕГЭ по математике профильного уровня. Этот экзамен необходимо сдавать тем, кто собирается поступать в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения. Задачи в разделах в основном расположены по принципу «от простого — к сложному». Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке. Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров. Рекомендуется абитуриентам, учителям математики, руководителям кружков и факультативов. Желаем удачи!
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ {a} — множество, состоящее из одного элемента a; ∪ — объединение; ∩ — пересечение; ∅ — пустое множество; ∈ — знак принадлежности; ⊂ — знак включения подмножества; ∀ — для любого; A∖B — разность множеств A и B; =⇒ — следовательно; ⇐⇒ — тогда и только тогда; N — множество всех натуральных чисел; N0 = N ∪ {0} — множество всех целых неотрицательных чисел; Z — множество всех целых чисел; Q — множество всех рациональных чисел; R — множество всех действительных чисел; ОДЗ — область допустимых значений; {︁. . . . . . — знак системы, означающий, что должны выполняться все условия, объединенные этим знаком; [︁. . . . . . — знак совокупности, означающий, что должно выполняться хотя бы одно из условий, объединенных этим знаком. Необходимо отметить, что в формулировках задач параллельно с математически более корректной терминологией типа «длина отрезка AB равна 5» и записью «|AB| = 5» используется школьная терминология типа «отрезок AB равен 5» и запись «AB = 5».
ОБ ЭКЗАМЕНЕ Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий: — часть 1 содержит 12 заданий (задания 1–12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби; — часть 2 содержит 7 заданий (задания 13–13) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий). Задания части 1 экзаменационной работы (задания 1–12) проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение анализировать информацию, представленную на графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях. В часть 1 работы включены задания по всем основным разделам курса математики: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика. Задание с кратким ответом (1–12) считается выполненным, если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Задания части 2 работы проверяют знания на том уровне требований, который традиционно предъявляется вузами с профильным экзаменом по математике. Последние два задания части 2 предназначены для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Возможны различные способы записи развернутого решения. Главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора работы. В остальном (метод, форма записи) решение может быть произвольным. Полнота и обоснованность рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, рекомендуемых к использованию при
Об экзамене реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования. Задания 13–19 с развернутым ответом предназначены для более точной дифференциации абитуриентов вузов. При выполнении заданий с развернутым ответом части 2 экзаменационной работы в бланке ответов № 2 должны быть записаны полное обоснованное решение и ответ для каждой задачи. Правильное решение каждого из заданий 1–12 оценивается одним первичным баллом; каждого из заданий 13, 15 и 16 — двумя первичными баллами; заданий 14 и 17 — тремя первичными баллами; 18 и 19 — четырьмя первичными баллами. Максимальное количество первичных баллов — 32. Окончательная оценка выставляется по стобалльной системе оценивания. Заметим, что для получения максимальной оценки (100 баллов) не требуется правильного решения абсолютно всех задач. Продолжительность экзамена 3 часа 55 минут.
ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ Напомним, что ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Проверка ответов осуществляется компьютером, и ответ, записанный в другой форме, будет оценен как неправильный. Поэтому, получив в результате решения, например, 1 4 , в бланк ответов надо записать 0,25. Единицы измерения в бланк ответов записывать не нужно, только целое число или конечную десятичную дробь. Задание № 1 ✓ ✓ ✓ ✓ Несложная планиметрическая задача на нахождение геометрических величин: углов, длин, площадей. Теоретический материал При решении этих задач необходимо знать и уметь применять следующие формулы и теоремы. Теорема Пифагора: a2 + b2 = c2, где a, b — катеты прямоугольного треугольника, c — гипотенуза. c a b A B C α Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника: sin α = a c , cos α = b c , tg α = a b , ctg α = b a ; где α — угол, противолежащий катету a.
Задания с кратким ответом Значения тригонометрических функций основных углов: sin π 4 = cos π 4 = √ 2 2 , tg π 4 = ctg π 4 = 1, sin π 6 = cos π 3 = 1 2, sin π 3 = cos π 6 = √ 3 2 , tg π 6 = ctg π 3 = √ 3 3 , tg π 3 = ctg π 6 = √ 3. sin(180∘ − α) = sin α, cos(180∘ − α) = − cos α, tg(180∘ − α) = − tg α, ctg(180∘ − α) = − ctg α. Напомним основные факты, связанные с треугольниками. • Сумма углов треугольника равна 180∘. • Углы при основании равнобедренного треугольника равны. • Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. • Формулы площади треугольника: S = 1 2aha, S = 1 2ab sin γ, S = pr, S = abc 4R , где a, b, c — стороны треугольника, ha — высота, проведенная к стороне a, γ — угол напротив стороны c, p — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности. • Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате. • Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины. • Высоты треугольника пересекаются в одной точке. • Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка есть центр вписанной окружности. • Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка есть центр описанной окружности. Замечание. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный, и вне треугольника, если он тупоугольный. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. В этом случае радиус описанной окружности
Задание № 1 13 равен медиане, проведенной к гипотенузе, а также половине гипотенузы. O A B C Теорема о касательных. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к одной окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. d c b a Следствие. В любом описанном около окружности четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны: a + c = b + d. Теорема о вписанном угле. Вписанный угол измеряется половиной дуги окружности, на которую он опирается. α 2α α β γ δ