Основы применения вейвлет-преобразования для фильтрации и сжатия биомедицинских данных

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

С.П. Скворцов

ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ
ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ ФИЛЬТРАЦИИ И СЖАТИЯ
БИОМЕДИЦИНСКИХ ДАННЫХ

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия по курсам
«Компьютерные технологии обработки и анализа
медико-биологической информации», «Методы обработки
медицинской информации»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 615.47
ББК 32.811
Ск42

Ск42

Рецензенты: М.К. Чобану, В.В. Котин

Скворцов С.П.
Основы применения вейвлет-преобразования для фильтрации и сжатия биомедицинских данных : учеб. пособие. – М. :
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 67, [1] с. : ил.

Приведены теоретические предпосылки и исходные положения
аппарата вейвлет-преобразования, признаки вейвлет-функций, свойства вейвлет-преобразования, методы вычисления и области применения вейвлет-преобразований с примерами их практической реализации.
Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов факультета «Биомедицинская техника», обучающихся по направлению
подготовки специалистов «Биомедицинская техника» и по направлению подготовки бакалавров и магистров «Биотехнические системы и
технологии».
Предлагаемое пособие может быть использовано при изучении
дисциплин «Компьютерные технологии обработки и анализа медикобиологической информации», «Методы обработки медицинской информации» и «Электроника и микропроцессорная техника», в курсовом и дипломном проектировании.

УДК 615.47
ББК 32.811

Учебное издание
Скворцов Сергей Павлович

ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ ФИЛЬТРАЦИИ И СЖАТИЯ БИОМЕДИЦИНСКИХ ДАННЫХ

Редактор Э.Я. Ахадова
Корректор
М.А. Василевская
Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 25.01.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 3,95. Тираж 150 экз. Изд. № 168.
Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Вейвлет-преобразование (ВП) является новым и активно развивающимся направлением в обработке данных. Оно применяется во
многих областях, в том числе при анализе, распознавании, фильтрации и сжатии биомедицинских сигналов и изображений.
В настоящее время различным аспектам ВП посвящены мно-
гие публикации и ресурсы сети Интернет. Ссылки на некоторые
из этих ресурсов можно найти в работе [1]. Процедуры ВП присутствуют в популярных программных продуктах для обработки
сигналов, в частности, в MATLAB, MathCAD, Mathematica, они
входят в стандарт сжатия JPEG2000. Все большее распространение получают недорогие микропроцессоры, использующие ВП для
сжатия и восстановления видеоинформации в реальном масштабе
времени, например модели ADV202 и ADV212, серия ADV6xx
компании Analog Devices [2, 3].
Данное учебное пособие не ставит целью изложить полную
теорию ВП, в нем рассмотрены лишь ключевые вопросы, необходимые для понимания, грамотного использования и программирования ВП в собственных приложениях.
В первой главе пособия рассмотрено разложение функций в
ряды по различным базисам. Показано, что в ряде случаев необходимо использовать базисные функции, одновременно локализованные как во временной, так и в частотной области. Вторая глава
посвящена вейвлет-функциям и вейвлет-преобразованию, указаны отличия вейвлет-преобразования от оконного преобразования
Фурье. В третьей главе описаны виды вейвлет-преобразования и
практические алгоритмы вычислений, в частности, имеющего наибольшее практическое значение быстрого вейвлет-преобразования.

3

В четвертой главе перечислены и проиллюстрированы основные
области применения вейвлет-преобразования.
Автор выражает глубокую признательность д.т.н, проф. кафедры Электрофизики МЭИ (ТУ) М.К. Чобану за ценные и существенные замечания при работе над пособием.

1. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В РЯДЫ

1.1. Основные соотношения

Сигнал U(t) на временном интервале t1 ⩽ t ⩽ t2 может быть
представлен в виде суммы проекций на ортогональные базисные
функции ϕn(t):

U(t) = C0ϕ0(t) + . . . + Cnϕn(t) + . . . =

∞
n=0
Cnϕn(t),
(1)

при этом коэффициенты ряда, или значения проекций, Сn определяются из соотношений

Cn =
1
∥ϕn∥2

t2
t1

U(t)ϕn(t)dt,
(2)

где ∥ϕn∥2 =
t2t1
ϕ2
n(t)dt — квадрат нормы (энергия функции ϕn(t));

сигнал U(t) должен быть квадратично интегрируемым на рассматриваемом временном интервале:

t2
t1

|U(t)|2 dt < ∞.
(3)

Ортогональность функций ϕn(t) означает, что

t2
t1

ϕk(t)ϕn(t)dt =
∥ϕn∥2 ,
k = n;
0,
k ̸= n.
(4)

Если ∥ϕn∥2 = 1, базис {ϕn(t)}называется ортонормированным.

5

Получаемый набор коэффициентов С0, C1, . . . , Cn, . . . называется спектром, а слагаемые вида Cnϕn(t) — спектральными компонентами сигнала U(t).
На основе бесконечного ряда (1) возможно представление, или
аппроксимация, сигнала при ограниченном числе членов ряда N:

˜U(t) =

N−1
n=0
Cnϕn(t).
(5a)

Ошибка аппроксимации

ε =

t2
t1

U(t) − ˜U(t)
dt
(5б)

в случае ряда, сходящегося в среднеквадратическом, уменьшается
с увеличением N.
В качестве примера можно привести гармонический ряд Фурье, в котором базисными функциями являются колебания, или
гармоники:
ϕn(t) = exp(inωt),
где n = 0, 1, 2 . . .; ω — круговая частота.
В ряде случаев представление на основе гармонического ряда
является наглядным и естественным, поскольку реальные сигналы
часто обусловлены совместным действием нескольких периодических процессов. Так, в сигнале электрокардиограммы содержатся
дыхательные волны и колебания с частотой сердечных сокращений, а в сигнале электроэнцефалограммы — ритмы с различными
частотами. В этих случаях гармонический анализ вполне соответствует природе исследуемых процессов.
Кроме того, гармоническое представление сигналов удобно при
анализе линейных систем, в частности, при прохождении сигналов через линейные цепи или для изучения реакции линейной системы на произвольное воздействие. В общем случае не только
электрические цепи, но и нелинейные биологические системы при
определенных допущениях могут быть линеаризованы и рассматриваться как линейные. Выходной сигнал Uвых, или отклик, такой
системы можно разложить по гармоническим функциям с теми же
частотами, что и во входном сигнале. Гармоники входного сигнала

6

Uвх(t) =
n
un exp(inωt + ϕn) после прохождения через линей
ную систему в общем случае будут иметь другие амплитуды ˜un
и фазы ˜ϕn: ˜Uвых(t) =
n
˜un exp(inωt + ˜ϕn). Это означает, что

оператор линейной системы можно представить в виде матрицы с
постоянными комплексными коэффициентами tn,m = exp(inωtm),
где n, m = 1, 2, . . . , N. Тогда
⎛

⎜
⎜
⎝

˜U1
˜U2
. . .
˜UN

⎞

⎟
⎟
⎠ =

⎛

⎜
⎜
⎝

t1,1
t1,2
. . .
t1,N
t2,1
. . .
. . .
tN,1
tN,N

⎞

⎟
⎟
⎠

⎛

⎜
⎜
⎝

U1
U2
. . .
UN

⎞

⎟
⎟
⎠ ,
(6)

где Un = un exp(iϕn), ˜Un = ˜un exp(i˜ϕn) — комплексные амплитуды спектральных компонент входного и выходного сигналов.
Представление сигналов в базисе гармонических функций позволяет применять операторный метод и метод медленно меняющихся амплитуд, также удобные для анализа цепей [4]. В качестве базисных можно использовать и другие функции, в частности
функции Уолша, Хаара, Радемахера, полиномы Лагерра, Лежандра, Чебышева и т. д. Выбор базиса определяется особенностями
сигнала и задачей, для которой проводится разложение в ряд. Рассмотрим некоторые случаи.

1.2. Сжатие сигналов

В общем случае процесс сжатия данных можно представить в
виде трех этапов:
• cегментирование данных;
• декорреляция данных;
• кодирование данных в энтропийном кодере.
Сегментирование данных позволяет выделить разнородные
фрагменты данных, которые затем подвергаются раздельной обработке. На этапе декорреляции применяют различные методы
уменьшения энтропии. Чем меньше энтропия на выходе декоррелятора, тем меньшей в соответствии с теоремой Шеннона о
кодировании для источника будет средняя длина кодового слова на выходе энтропийного кодера и, следовательно, тем больше
коэффициент сжатия сообщения.

7

Рассмотрим работу декоррелятора. В нем могут применяться
разностное кодирование, кодирование с предсказанием или кодирование с преобразованием, выполняемое по формуле (2). На выходе
декоррелятора в этом случае N значений сигнала будут преобразованы в N значений коэффициентов спектра.
Если сигнал квантован по M отсчетам, энтропия на входе декоррелятора

Hвх =

M−1
j=0
pj log2

1
pj
,
(7a)

где pj — вероятность j-го отсчета сигнала.
Аналогичным образом можно рассчитать энтропию на выходе
декоррелятора:

Hвых =

M−1
j=0
pвых j log2

1
pвых j
,
(7б)

где pвых j — вероятность j-го отсчета спектра, если спектр квантован также по M отсчетам. Для лучшего сжатия также применяют
другие виды квантования — с большим или с переменным шагом.
Максимальная энтропия достигается при равенстве всех вероятностей pj (pj ̸= 0). Чем больше вероятности pj отличаются друг
от друга, тем меньше энтропия и, следовательно, лучше результат
последующего сжатия в энтропийном кодере.
В качестве примера на рис. 1 показан порядок расчета энтропии
синусоидального сигнала и его спектра Уолша в среде MathCAD
[5]. Вид функций Уолша и матрица Уолша 8-го порядка приведены в Приложении 1. Энтропия исходного сигнала Hвх = 4,9 бит,
а энтропия спектра Уолша Hвых = 1,2 бит. Следовательно, коэффициент сжатия спектра в энтропийном кодере в данном случае
может быть примерно в 4 раза больше, чем при сжатии исходного
недекоррелированного сигнала.
Можно ли с помощью преобразования (2) достичь еще меньшего значения энтропии? Можно, если уменьшить количество
ненулевых компонент в спектре. Для синусоидального сигнала
наименьшее значение энтропии коэффициентов преобразования
получится при использовании гармонического базиса: в этом случае в спектре будет единственная компонента. Таким образом, чем

8

Рис. 1. Порядок расчета энтропии синусоидального сигнала и его спектра Уолша в среде МathCAD

ближе базисная функция по форме к сигналу, тем меньше компонент в спектре и тем ниже энтропия на выходе такого декоррелятора. Если же сигнал содержит непериодические импульсы или
всплески, для декорреляции лучше применять базисные функции,
похожие на эти импульсы и локализованные во времени. Именно
такими свойствами и обладают вейвлеты.

1.3. Фильтрация сигналов

Одной из задач фильтрации является удаление из спектра сигнала компонент, относящихся к другим сигналам или помехам.
Очевидно, что наилучшего результата можно достичь в случае,
если компоненты полезного сигнала и фильтруемые компоненты
в спектре максимально разнесены. Например, если необходимо
отфильтровать узкополосную помеху, разложение сигнала в гармонический спектр Фурье очень удобно, поскольку помеха будет
занимать узкую часть спектра и может быть легко отделена от
сигнала. В случае импульсных непериодических помех (рис. 2, а)
гармонический спектр Фурье будет недостаточно эффективен, так
как спектр импульсной помехи равномерно распределен в широкой
полосе частот и суммируется со спектральными компонентами сигнала (рис. 2, б). Использование локализованных во времени базисных функций позволяет лучше отделить спектральные компоненты
помехи и, таким образом, эффективнее провести фильтрацию.

1.4. Анализ сигналов

При обработке медико-биологических данных широко используют методы анализа. Анализ в отличие от синтеза состоит в представлении исследуемого процесса в виде суммы некоторых специальных функций. При анализе сигналов часто требуется определить момент наступления того или иного события, например,
появления «спайков» — коротких импульсов в сигнале электроэнцефалограммы. Анализ с использованием гармонического ряда
Фурье обычно не позволяет даже обнаружить наличие спайков,
поскольку их энергия намного меньше энергии сигнала, а соответствующие спектральные компоненты распределены по всему
спектру, аналогично показанным на рис. 2, в. Тем более таким путем невозможно обнаружить момент их появления, находящийся

10