Основы применения вейвлет-преобразования для фильтрации и сжатия биомедицинских данных

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

С.П. Скворцов

ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ
ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ ФИЛЬТРАЦИИ И СЖАТИЯ
БИОМЕДИЦИНСКИХ ДАННЫХ

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия по курсам
«Компьютерные технологии обработки и анализа
медико-биологической информации», «Методы обработки
медицинской информации»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 615.47
ББК 32.811
Ск42

Ск42

Рецензенты: М.К. Чобану, В.В. Котин

Скворцов С.П.
Основы применения вейвлет-преобразования для фильтрации и сжатия биомедицинских данных : учеб. пособие. – М. :
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 67, [1] с. : ил.

Приведены теоретические предпосылки и исходные положения
аппарата вейвлет-преобразования, признаки вейвлет-функций, свойства вейвлет-преобразования, методы вычисления и области применения вейвлет-преобразований с примерами их практической реализации.
Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов факультета «Биомедицинская техника», обучающихся по направлению
подготовки специалистов «Биомедицинская техника» и по направлению подготовки бакалавров и магистров «Биотехнические системы и
технологии».
Предлагаемое пособие может быть использовано при изучении
дисциплин «Компьютерные технологии обработки и анализа медикобиологической информации», «Методы обработки медицинской информации» и «Электроника и микропроцессорная техника», в курсовом и дипломном проектировании.

УДК 615.47
ББК 32.811

Учебное издание
Скворцов Сергей Павлович

ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ ФИЛЬТРАЦИИ И СЖАТИЯ БИОМЕДИЦИНСКИХ ДАННЫХ

Редактор Э.Я. Ахадова
Корректор
М.А. Василевская
Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 25.01.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 3,95. Тираж 150 экз. Изд. № 168.
Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Вейвлет-преобразование (ВП) является новым и активно развивающимся направлением в обработке данных. Оно применяется во
многих областях, в том числе при анализе, распознавании, фильтрации и сжатии биомедицинских сигналов и изображений.
В настоящее время различным аспектам ВП посвящены мно-
гие публикации и ресурсы сети Интернет. Ссылки на некоторые
из этих ресурсов можно найти в работе [1]. Процедуры ВП присутствуют в популярных программных продуктах для обработки
сигналов, в частности, в MATLAB, MathCAD, Mathematica, они
входят в стандарт сжатия JPEG2000. Все большее распространение получают недорогие микропроцессоры, использующие ВП для
сжатия и восстановления видеоинформации в реальном масштабе
времени, например модели ADV202 и ADV212, серия ADV6xx
компании Analog Devices [2, 3].
Данное учебное пособие не ставит целью изложить полную
теорию ВП, в нем рассмотрены лишь ключевые вопросы, необходимые для понимания, грамотного использования и программирования ВП в собственных приложениях.
В первой главе пособия рассмотрено разложение функций в
ряды по различным базисам. Показано, что в ряде случаев необходимо использовать базисные функции, одновременно локализованные как во временной, так и в частотной области. Вторая глава
посвящена вейвлет-функциям и вейвлет-преобразованию, указаны отличия вейвлет-преобразования от оконного преобразования
Фурье. В третьей главе описаны виды вейвлет-преобразования и
практические алгоритмы вычислений, в частности, имеющего наибольшее практическое значение быстрого вейвлет-преобразования.

3

В четвертой главе перечислены и проиллюстрированы основные
области применения вейвлет-преобразования.
Автор выражает глубокую признательность д.т.н, проф. кафедры Электрофизики МЭИ (ТУ) М.К. Чобану за ценные и существенные замечания при работе над пособием.

1. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В РЯДЫ

1.1. Основные соотношения

Сигнал U(t) на временном интервале t1 ⩽ t ⩽ t2 может быть
представлен в виде суммы проекций на ортогональные базисные
функции ϕn(t):

U(t) = C0ϕ0(t) + . . . + Cnϕn(t) + . . . =

∞
n=0
Cnϕn(t),
(1)

при этом коэффициенты ряда, или значения проекций, Сn определяются из соотношений

Cn =
1
∥ϕn∥2

t2
t1

U(t)ϕn(t)dt,
(2)

где ∥ϕn∥2 =
t2t1
ϕ2
n(t)dt — квадрат нормы (энергия функции ϕn(t));

сигнал U(t) должен быть квадратично интегрируемым на рассматриваемом временном интервале:

t2
t1

|U(t)|2 dt < ∞.
(3)

Ортогональность функций ϕn(t) означает, что

t2
t1

ϕk(t)ϕn(t)dt =
∥ϕn∥2 ,
k = n;
0,
k ̸= n.
(4)

Если ∥ϕn∥2 = 1, базис {ϕn(t)}называется ортонормированным.

5

Получаемый набор коэффициентов С0, C1, . . . , Cn, . . . называется спектром, а слагаемые вида Cnϕn(t) — спектральными компонентами сигнала U(t).
На основе бесконечного ряда (1) возможно представление, или
аппроксимация, сигнала при ограниченном числе членов ряда N:

˜U(t) =

N−1
n=0
Cnϕn(t).
(5a)

Ошибка аппроксимации

ε =

t2
t1

U(t) − ˜U(t)
dt
(5б)

в случае ряда, сходящегося в среднеквадратическом, уменьшается
с увеличением N.
В качестве примера можно привести гармонический ряд Фурье, в котором базисными функциями являются колебания, или
гармоники:
ϕn(t) = exp(inωt),
где n = 0, 1, 2 . . .; ω — круговая частота.
В ряде случаев представление на основе гармонического ряда
является наглядным и естественным, поскольку реальные сигналы
часто обусловлены совместным действием нескольких периодических процессов. Так, в сигнале электрокардиограммы содержатся
дыхательные волны и колебания с частотой сердечных сокращений, а в сигнале электроэнцефалограммы — ритмы с различными
частотами. В этих случаях гармонический анализ вполне соответствует природе исследуемых процессов.
Кроме того, гармоническое представление сигналов удобно при
анализе линейных систем, в частности, при прохождении сигналов через линейные цепи или для изучения реакции линейной системы на произвольное воздействие. В общем случае не только
электрические цепи, но и нелинейные биологические системы при
определенных допущениях могут быть линеаризованы и рассматриваться как линейные. Выходной сигнал Uвых, или отклик, такой
системы можно разложить по гармоническим функциям с теми же
частотами, что и во входном сигнале. Гармоники входного сигнала

6

Uвх(t) =
n
un exp(inωt + ϕn) после прохождения через линей
ную систему в общем случае будут иметь другие амплитуды ˜un
и фазы ˜ϕn: ˜Uвых(t) =
n
˜un exp(inωt + ˜ϕn). Это означает, что

оператор линейной системы можно представить в виде матрицы с
постоянными комплексными коэффициентами tn,m = exp(inωtm),
где n, m = 1, 2, . . . , N. Тогда
⎛

⎜
⎜
⎝

˜U1
˜U2
. . .
˜UN

⎞

⎟
⎟
⎠ =

⎛

⎜
⎜
⎝

t1,1
t1,2
. . .
t1,N
t2,1
. . .
. . .
tN,1
tN,N

⎞

⎟
⎟
⎠

⎛

⎜
⎜
⎝

U1
U2
. . .
UN

⎞

⎟
⎟
⎠ ,
(6)

где Un = un exp(iϕn), ˜Un = ˜un exp(i˜ϕn) — комплексные амплитуды спектральных компонент входного и выходного сигналов.
Представление сигналов в базисе гармонических функций позволяет применять операторный метод и метод медленно меняющихся амплитуд, также удобные для анализа цепей [4]. В качестве базисных можно использовать и другие функции, в частности
функции Уолша, Хаара, Радемахера, полиномы Лагерра, Лежандра, Чебышева и т. д. Выбор базиса определяется особенностями
сигнала и задачей, для которой проводится разложение в ряд. Рассмотрим некоторые случаи.

1.2. Сжатие сигналов

В общем случае процесс сжатия данных можно представить в
виде трех этапов:
• cегментирование данных;
• декорреляция данных;
• кодирование данных в энтропийном кодере.
Сегментирование данных позволяет выделить разнородные
фрагменты данных, которые затем подвергаются раздельной обработке. На этапе декорреляции применяют различные методы
уменьшения энтропии. Чем меньше энтропия на выходе декоррелятора, тем меньшей в соответствии с теоремой Шеннона о
кодировании для источника будет средняя длина кодового слова на выходе энтропийного кодера и, следовательно, тем больше
коэффициент сжатия сообщения.

7