Исследование основных характеристик аппаратных цифровых рекурсивных фильтров для биомедицинских систем

Московский государственный технический университет  

имени Н. Э. Баумана 

 
 

 
 

В. А. Карпухин, А. Е. Косоруков  

 
 
 

Исследование основных характеристик  

аппаратных цифровых рекурсивных фильтров  

для биомедицинских систем 

 
 

Методические указания к выполнению лабораторной работы  

по дисциплине «Медицинские приборы, аппараты,  

системы и комплексы»  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

УДК 621.376 
ББК 32.84 
 К26 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/63/book1342.html 
 
Факультет «Биомедицинская техника» 
Кафедра «Биомедицинские технические системы» 
 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
 
 
Карпухин, В. А. 
Исследование основных характеристик аппаратных цифровых 
рекурсивных фильтров для биомедицинских систем : методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине 
«Медицинские приборы, аппараты, системы и комплексы» / 
В. А. Карпухин, А. Е. Косоруков. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2015. — 17, [3] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4296-6 

В издании представлены краткие теоретические сведения о расчете 
аппаратных цифровых рекурсивных фильтров для биомедицинских систем, а также порядок проведения исследований основных характеристик 
подобных фильтров, реализуемых в микропроцессорных системах. 
Для студентов 4-го курса МГТУ им. Н. Э. Баумана, изучающих дисциплину «Медицинские приборы, аппараты, системы и комплексы». 
 
УДК 621.376 
ББК 32.84 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4296-6  
 
   МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 

 
 

К26 

Предисловие 

Для получения новой диагностической информации в совре
менных медицинских системах требуется обрабатывать все 
бóльшие объемы информации, а это приводит к усложнению 
алгоритмов обработки. Резко возрастают требования к повышению эффективности обработки биомедицинских сигналов, обусловленной производительностью аппаратных средств и организацией вычислительной среды. Одним из путей повышения 
эффективности цифровой обработки сигналов (ЦОС) является 
создание 
специализированных 
мультипроцессорных 
систем, 

осуществляющих параллельную обработку биомедицинских сигналов и разгружающих центральный процессор от рутинных вычислений. Основным видом обработки биомедицинских сигналов, требующих серьезных аппаратных затрат, является цифровая 
фильтрация, которая в современных медицинских системах реализуется в цифровых сигнальных процессорах (ЦСП).  

При создании аппаратных цифровых фильтров, как правило, 

используют рекурсивные структуры (фильтры с бесконечной импульсной характеристикой, или БИХ-фильтры), поскольку они обладают значительно меньшими требованиями к аппаратным затратам по сравнению с нерекурсивными структурами (фильтры с 
конечной импульсной характеристикой, или КИХ-фильтры). Однако рекурсивные структуры весьма критичны к конечной разрядности входных данных (8−24 разряда) и коэффициентов (8−32 разряда) [1–3]. Конечная разрядность ЦСП может приводить к 
существенному искажению частотных характеристик цифровых 
фильтров и, как следствие, снижению достоверности получаемой 
диагностической информации. 

Цель работы — исследование влияния разрядности задания 

коэффициентов передаточных функций аппаратных цифровых 
БИХ-фильтров, синтезированных методом билинейного z-преоб- 
разования, на искажения амплитудно-частотных характеристик 
(АЧХ) фильтров и сигналов, прошедших через них. 

В работе представлены краткие теоретические сведения о филь
трах современных типов, методике каскадного проектирования 
цифровых рекурсивных фильтров, основанной на билинейном  
z-преобразовании, а также описана структурная схема вычислительного эксперимента. 

После изучения материала, приведенного в данном пособии, 

студенты должны: 

– знать основные типы фильтров и аппроксимирующие функции 

их амплитудно-частотных характеристик; 

– уметь рассчитывать порядок фильтра и коэффициенты переда
точных функций отдельных звеньев цифровых рекурсивных фильтров; 

– владеть навыками нормирования и масштабирования отдель
ных звеньев цифровых рекурсивных фильтров. 

 
 
 

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

Электрический фильтр представляет собой частотно-избира- 

тельное устройство, т. е. пропускает сигналы определенных частот 
и задерживает или ослабляет сигналы других частот. Основными 
типами фильтров являются фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосно-пропускающие (ППФ) и полосно-заграждающие фильтры (ПЗФ). 

Фильтры являются линейными 

системами и в общем случае могут 
быть представлены в виде четырехполюсника, изображенного на 
рис. 1.1. Характеристику частотноизбирательного фильтра описывает его передаточная функция 

 
2

1

( )
( )
,
( )
U
s
H s
U s
=
  

где U1 и U2 — соответственно входное и выходное напряжение 
(см. рис. 1.1). 

Для установившейся частоты s = jω передаточную функцию 

можно записать в виде 

 
( )
(
)
(
) e
,
j
H j
H j
ϕ ω
ω =
ω
  

где 
(
)
H jω  — модуль передаточной функции, или амплитудно
частотная характеристика (АЧХ); φ(ω) — фазочастотная характеристика (ФЧХ). 

В качестве примера на рис. 1.2 штриховой линией показана 

идеальная АЧХ ФНЧ, которая за частотой среза ωс равна нулю и 
постоянна в полосе пропускания. На практике ее получить невозможно, так как для этого следует обеспечить очень узкую 
переходную область, поэтому реальная АЧХ выглядит пример
 

 
Рис. 1.1. Изображение электрического фильтра 

но так, как показано на рис. 1.2 сплошной линией. Всю частотную область под графиком функции на рис. 1.2 условно можно 
разделить на три части: полосу пропускания (0 < ω < ωc), полосу 
задержания (ω > ω1) и переходную область (ωc < ω < ω). Следовательно, основная задача при конструировании фильтра заключается в приближении реальной АЧХ к идеальной с заданной степенью точности. 

Затухание 
АЧХ 
также 

можно выразить в децибелах 
(дБ) следующим образом: 

10
20log
(
) .
H j
α = −
ω
 

Обычно в полосе пропускания 
затухание никогда не превышает 3 дБ. 

Передаточная 
функция 

реализуемого фильтра представляет 
собой 
отношение 

полиномов, которое можно 
записать в виде 

 

1
1
1
0
2
1
1
1
1
0

...
( )
( )
.
( )
...

m
m
m
m
n
n
n
n

a s
a
s
a s
a
U
s
H s
U
s
b s
b
s
b s
b

−
−
−
−

+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
  

Здесь коэффициенты а и b — вещественные постоянные величины; m, n = 1, 2, … (m ≤ n).  

Степень полинома знаменателя n определяет порядок фильтра. 

Как было отмечено ранее, невозможно достичь идеальной частотной характеристики, но с увеличением n добиваются максимального 
приближения АЧХ конструируемого фильтра к идеальной.  

На практике при синтезе рекурсивных фильтров наиболее ча
сто применяют аппроксимирующие функции АЧХ пяти видов. 
АЧХ фильтров Баттерворта, Чебышева (1-го рода), инверсные Чебышева (2-го рода), эллиптические (Золотарева — Кауэра), Бесселя представлены соответственно на рис. 1.3−1.7 (здесь 
(
)
H jω
— 

масштабированная АЧХ; ω— нормированная на ωс частота, ω =
c
/
).
= ω ω
 

 

 
Рис. 1.2. Идеальная и реальная 
АЧХ ФНЧ 

Рис. 1.3. АЧХ фильтра Баттерворта нижних частот 

 
 

 

Рис. 1.4. АЧХ фильтров Чебышева нижних частот 

 

Рис. 1.5. АЧХ инверсных фильтров Чебышева нижних частот 

Рис. 1.6. АЧХ эллиптических 
фильтров нижних частот 5-го порядка 

0
1,0

~
~

~

~
~

~

~
~

/
0
1,0
~
/
1,0
~

~
~

Отметим, что встречаются и 

другие виды аппроксимирующих 
АЧХ функций, применение которых может привести к снижению 
аппаратных затрат на реализацию 
фильтров. Однако вопросы расчета 
коэффициентов этих функций и 
анализ их устойчивости составляют предмет специальных исследований, что может приводить к неоправданным временным затратам 
на проектирование фильтров. 

1.1. Определение порядка аналогового фильтра-прототипа 

Для определения порядка n аналогового фильтра-прототипа 

необходимо задать минимальные технические требования к АЧХ 
фильтра: 

• максимально допустимое затухание в полосе пропускания α1, дБ;  
• минимально допустимое затухание в полосе задержания α2, дБ;  
• частоту среза ωс, рад/с; 
• максимально допустимую ширину переходной области TW, 

которая определяется как 

 
1
c.
TW = ω − ω  

Порядок фильтра Баттерворта можно найти из уравнения АЧХ: 

 

2
(
)
1
n
A
H jω =
+ ω (n = 1, 2, 3, …). 

Решив это уравнение относительно n, получим интересующее 

нас выражение для определения порядка: 

 

2/10

1
c

log(10
1) ,
2log(
/
)
n

α
−
=
ω
ω
  

где 
1
c
c
/
/
1
TW
ω ω =
ω +  — нормированная частота полосы заграж
дения; логарифмы могут быть как натуральными, так и десятичными. 

 

 
Рис. 1.7. АЧХ фильтров нижних 
частот Бесселя 

~

~
~

Подобным образом можно определить порядок фильтра Че
бышева для коэффициента передачи K = 1. Модуль передаточной 
функции  

 

2
2
(
)
1
n

K
H j
C
ω =
+ ε
ω  (n= 1, 2, 3, …), 
(1.1) 

где 
( )
cos( arccos )
n
C
x
n
x
=
 является полиномом Чебышева степени n. 

Решение уравнения (1.1) относительно n дает 

 

2
1
/10
/10

1
c

arch
(10
1) / (10
1) .
arch(
/
)
n

α
α
−
−
=
ω
ω
 

При получении нецелого значения n в качестве порядка стоит 
взять ближайшее к n большее целое значение. 

Также отметим, что при одних и тех же условиях минималь
ный порядок фильтров Чебышева будет примерно в 2 раза меньше 
порядка аналогичного фильтра Баттерворта, что является его 
несомненным преимуществом, особенно в тех случаях, когда вид 
ФЧХ не особо важен. Порядок нормированных (ωс = 1) инверсных 
фильтров Чебышева, Бесселя и эллиптических фильтров можно 
найти по таблицам, приведенным в справочнике [3]. 

1.2. Определение коэффициентов  
передаточной функции фильтра 

Если порядок фильтра n > 2, то имеет смысл представить его 

схемную реализацию в виде l каскадно-соединенных звеньев 
(рис. 1.8). 

 

 

Рис. 1.8. Каскадное соединение звеньев  

(N1, N2, …, Nl — номер звена) 

 
Если эти звенья не влияют друг на друга и не изменяют соб
ственные передаточные функции, то общая схема обладает требу
l

емой передаточной функцией n-го порядка. Ее можно представить 
в виде произведения функций звеньев второго порядка, если  
n четно, или же использовать в качестве сомножителя одну функцию первого порядка, если n нечетно. Для фильтров Баттерворта, 
Чебышева и Бесселя функция звена второго порядка определяется 
следующим образом: 

 

2
c
2
2
2
1
c
c
.
KC
U
U
s
B
s
C

ω
=
+
ω
+
ω
 
(1.2) 

Для инверсных фильтров Чебышева и эллиптических фильтров 

функция звена этого порядка имеет вид 

 

2
2
c
2
2
2
1
c
c

(
/ )(
).
KC A s
A
U
U
s
B
s
C

+
ω
=
+
ω
+
ω
 
(1.3) 

Функция звена первого порядка инверсного фильтра Чебыше
ва, фильтров Чебышева, Баттерворта, Бесселя и эллиптических 
фильтров задается в виде 

 
c
2

1
c
.
KC
U
U
s
C
ω
=
+
ω
 
(1.4) 

В каждом случае коэффициент K представляет собой усиление 

звена, а ωс — частоту среза, за исключением фильтра Бесселя, где 
на частоте ωс время замедления составляет 1/ωс. 

Для нормированных фильтров (ωс = 1) коэффициенты A, B и С 

приведены в справочнике [3].  

1.3. Реализация билинейного преобразования 

Билинейное преобразование — конформное отображение, ис
пользуемое для преобразования передаточной функции 
a ( )
H
s  ли
нейной стационарной системы (корректирующие звенья систем 
управления, электронные фильтры и т. п.) из непрерывной формы 
в передаточную функцию 
д ( )
H
z  линейной системы в дискретной 

форме. Оно отображает точки jω-оси, Re[ ]
0,
s =
 на s-плоскости в 

окружность единичного радиуса 
1
z =  на z-плоскости.