Исследование распределения токов в конечности человека при биоадекватных воздействиях

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
имени Н.Э. БАУМАНА 

П.В. Лужнов, С.И. Щукин 

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКОВ 
В КОНЕЧНОСТИ ЧЕЛОВЕКА 
ПРИ БИОАДЕКВАТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ 
 

Методические указания к выполнению лабораторной работы  
по курсу «Основы взаимодействия физических полей  
с биообъектами» 

М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 6 

УДК 681.3.02 
ББК 53.4 
 Л82 

Рецензент А.В. Самородов 

Лужнов П.В., Щукин С.И. 
Л82 
 
Исследование распределения токов в конечности человека 
при биоадекватных воздействиях: Методические указания к 
выполнению лабораторной работы по курсу «Основы 
взаимодействия физических полей с биообъектами» – М.: 
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 19 с.: ил.  

ISBN 5-7038-2836-8 

Даны практические рекомендации по изучению распределения 
низкочастотных электрических токов в конечности человека с 
учетом геометрических и биофизических характеристик биологических 
тканей. 
Подробно 
рассмотрены 
вопросы 
расчета 
контактных и бесконтактных систем для создания биоадекватных 
воздействий. Приведены оценки погрешностей различных моделей 
для расчета распределений токов в неоднородных биосредах. 
Для студентов 4-го курса факультета «Биомедицинская техника». 
Ил. 4. Библиогр. 6 назв. 

                           УДК 681.3.02 
                           ББК 53.4 
 

ISBN 5-7038-2836-8 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Аппараты и системы электрофизического воздействия на биоткани используют ответные реакции систем организма для задач 
терапии и диагностики. Количественно и качественно оценить такие 
реакции невозможно без адекватного метрологического обеспечения самого воздействия, т. е. без определения плотности токов, потоков мощности электрического поля в том или ином органе или 
ткани организма. Сложность физически корректного их описания 
обусловлена, во-первых, существенным различием удельных электрических сопротивлений биотканей и, во-вторых, неправильностью геометрической формы границ органов и тканей. 

Эти проблемы затрудняют использование аналитических методов расчета токов в неоднородных биотканях, поэтому при расчете, 
как правило, приходится применять весьма трудоемкие и громоздкие численные методы. Однако независимо от выбранного в конечном итоге метода на начальном этапе решения реальных задач  
необходимо проводить их качественный анализ, который обычно 
основан на использовании известных аналитических решений  
подобных задач, а также на оценке их точности. Эту точность сопоставляют с точностью используемых методов измерения медикобиологических параметров ответных реакций живых систем на воздействие. Анализ погрешности большинства традиционных методов 
измерения параметров сердечно-сосудистой, дыхательной, костномышечной и других систем организма показывает, что она, как правило, не превышает 15…25 %. Повышение точности измерений  
затруднительно, так как интерпретация данных в параметрах состояния живых систем часто не позволяет осуществлять дифференцированную диагностику патологических процессов. 

В данной работе рассмотрены задачи нахождения распределения токов в конечности человека при электростимуляции и при 
бесконтактном электромагнитном воздействии. 

Цели работы – изучение методов формирования базовых моделей 
для расчета токов в неоднородных средах и исследование распределения локальных токов в конечности при биоадекватных воздействиях. 

 
3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 

Электростимуляция 

Для расчета параметров электростимуляции рассматриваем 
конечность (рис. 1), на поверхности которой установлены два 
длинных прямоугольных проводящих электрода, через которые 
протекает суммарный ток I. Хороший электрический контакт электродов с поверхностью кожи достигается при использовании, например, токопроводящих паст.  

Рис. 1. Геометрические и биофизические параметры модели расчета 

плотностей токов при электростимуляции: 

1
1
1/
γ =
ρ – удельная проводимость костного мозга; 
2
2
1/
γ =
ρ  – костной ткани; 

3
1/
γ =
ρ3 – мягких тканей; 
4
4
1/
γ =
ρ – кровеносных сосу
5
5
1/
дов; γ =
ρ  – крови; 

iρ  – удель
трическое сопротивление

 расположение кости в геометрическом

ное элек
 

Допускаем, что
 центре 
кон

но разбить на 
сле
еделения токов в однородно проводящем 
цилиндре с радиусом R без неоднородных включений, состоящем 
только из мягких тканей; 

ечности не является принципиальным. Обоснованность этого 
допущения в дальнейшем будет проанализирована.  
Задачу распределения токов в такой системе мож
дующие этапы [1]:  
– нахождение распр

 
4

– учет влияния кости; 
– учет влияния сосудов. 
Выражение для комплексной плотности тока в однородно провод
системе имеет вид (рис. 2) [2] 
ящей цилиндрической 

1
1
2
2
2
2
2
2
1
( )
,
i
i
z
z
j z
C
e
e

−
−

− α
α
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
 
R
R
⎝
⎠
⎝
⎠
(1) 

де 

 

( )
( , )
( , );
x
y
j z
j
x y
ij
x y
=
−
 
;
z
x
iy
=
+
 
г
C1 – действи

станта.  

тельная кон
Рис
 п
 цилиндрической системы  

Прои

. 2. Модель однородно роводящей

нтегрировав плотность тока в средней плоскости конечности, получим для оценки величины C1 общий ток 

 
2
( )
.

R
I
L
j x dx
=
∫
 

0

(2) 

Из выражений (1) и (2) найдем следующие соотношения: 

 

1
1

2
2
2
2
2
2
,

R
i
i
I
x
x
C
e
e
dx
− α
α
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
+
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∫
 
1
0
2L
R
R
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
(3) 

 
5

,
2
I
C
LC
=
 

где 

 

(
)

2
2
0
2
2

4
2
0
2
2
.

1

R

i
i

R

i
i

dx
C
x
x
e
e
R
R

dx

x
x
e
e
R
R

− α
α

α
− α

=
=
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
⎜
⎜
⎟ ⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝

=
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

∫

∫

⎞

⎠
 
(4) 

Заменяя переменную t на 

2
x
R  

неполного

в (4) и преобразуя интеграл в стан
дартную форму записи 
 эллиптического интеграла 1-го 
рода 
(
)
,
,
F
k
ϕ
 получаем 

 

(
)

1

2
0
,
2
2 cos2
1
C
t
t
t
=
+
α +
∫
  
(5) 
R
dt

 
(
)

(
)

2
tg
2

2
2
2
0
,
,
2
1

dt
F
k
t
t
m
k
t

ϕ
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠

ϕ
=

+
−
+
∫
 
(6) 

де
г
 
2
1
.
m
k
=
−
 

Имеем очевидные соотношения 

2
tg
1,
2
ϕ
⎛
⎞ =
⎜
⎟
⎝
⎠
 

 
2
1
2
cos2 ,
k
−
=
α  
(7) 

 
6

откуда 
sin ,
k =
α  
.
2
π
ϕ =
 

В данном случае неполный эллиптический интеграл можно 
выразить через полный эллиптический интеграл K [2, 3]: 

(
)
2
0

2
,
,
1
sin

d
F
k
K
k

ϕ
ϕ
ϕ
=
π
−
ϕ
∫

ϕ
=
 
(8) 
 

2
2
2
4
1
3
1
... ,
d
k
K
k

π

⎛
⎞
ϕ
π
=
=
+
+
⋅
⋅
+
⎜
⎟
∫
 
(9) 
 
2
2
2
0
2
4
2
4
1
sin
k
⎝
⎠
−
ϕ

где 
sin
1.
k =
α <
 Следовательно, в разложении (9) допустимо ограничиваться конечным числом членов. 
Окончательное выражение для константы С1 принимает вид 

 

2
2
4
1
2
2
2
1
1
3
(1
sin
sin
),
2
2
4
C
RL
= π
+
α +
⋅
α  
(10) 

рис. 1); L – их длина. 
где 2α  – угол развертки электродов (см. 

Используя полярные координаты (
)
,
ϕ ρ  и решение (1), получим 

( )
( )
( )
1
4
2
2
 
,
j

y
x
x
y
j
j
C
j z
j
z
ij
z
i
j
A
B

⎛
⎞
=
−
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
+
⎝
⎠

 
(11) 

где  

cos
sin ,
z
i
= ρ
ϕ + ρ
ϕ  

 

2
2

2
2
,
2

xj
A
B
A
j
A
B

+
+
=
+
 

2
2

2
2
,
2

yj
A
B
A
j
A
B

+
−
=
+
 

4
2
cos4
2
cos2
cos2
1,
A
R
R
ρ
ρ
⎛
⎞
⎛
⎞
=
ϕ +
ϕ
α
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
 
+

 
7

2
sin 4
2
sin 2
cos2 .
B
R
R
ρ
ρ
⎛
⎞
⎛
⎞
=
ϕ +
ϕ
α
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
 

Найденные соотношения позволяют определить значения 
плотности тока в любой точке цилиндра (см. рис. 2) и, следовательно, являются решением первого этапа задачи. 
Вычислительный эксперимент, проведенный c использованием 
(11), показывает, что при учете реальных размеров конечности и 
кости плотность тока в пределах области расположения кости 
можно (с точностью до 10…15 %) считать постоянной по величине и направлению. Таким образом, в качестве модели для второго 
эта

е с проводимо
па решения задачи возможно рассматривать достаточно протяженную однородную среду проводимости 
3
γ  с плотностью тока 

3,
j
 в которую внесено цилиндрическое включени

стями 
2,
γ
 
1γ  (рис. 3). 

Рис. 3. Модель для расчета распределения плотности тока 

 в цилиндрическом включении 

Расчеты надо проводить в центральной плоскости с тем, чтобы 
не учитывать эффектов конечной длины включения. В этом случае 
задача нахождения распределения электрического потенциала является плоской, а ее решение – решением уравнения Лапласа для 
распределения электрического потенциала, которое в полярных 
координатах имеет вид 

 
8

2
2
1
1
0.
r
∂
∂ϕ
∂ ϕ
⎛
⎞

r r
r
r

+
=
⎜
⎟
 
∂
∂
∂θ
⎝
⎠

Общее решение уравнения Лапласа в полярных координатах 
имеет вид 

 
( )
(
)(
)
A r
B r
n
n
−∞
+
θ +
θ
∑
 
(12) 

где константы определяются из граничных словий и особенностей рассматриваемой задачи. Для симметричной задачи в нашем 
слу

1
2
с
с
n r
+∞
−
ϕ =
+
+
cos
sin
,
n
n
n
n

у

чае 
(
)
( )
ϕ −θ = ϕ θ  и, следовательно, в выражении (12) члены с 

(
)
sin nθ  отсутствуют. 

Плотности токов в биосредах определяются как 
1
1
1
1

E
j
E1
=
= γ
=
ρ
 

1
1
grad(
)
= −γ
ϕ
[1, 4], а вследствие конечности потенциала при r = 0 
из выражения (12) имеем 

1
1
1
cos
.
n
n
n
с
A r
n
∞

=

ϕ =
+
θ
∑
 

Учитывая, что решение должно иметь период 2π  и принимая 
для внутренней области потенциал в центре равным нулю, получаем выражение для потенциала 

 
1
1 cos .
A r
ϕ =
θ  
(13) 

Рассуждая аналогично, получаем следующие выражения для 
двух других областей решения: 

2
2
2
2
2
2
grad(
),
E
j
E
2
=
= γ
= −γ
ϕ
ρ
 

4
2
3
cos ,
A
A r
⎛
⎞

r
ϕ =
+
θ
⎜
⎟
 
(14) 

⎝
⎠

 

 
9

3
3
grad(
),
E
E3
3
3
3
j =
= γ
= −γ
ϕ
 
ρ

 
6
3
5
cos .
A
r
⎛
⎞
A r
ϕ =
+
θ
⎜
⎟
 
(15) 

ии от цилиндрического включения поле 
практически однородно, следовательно, должно выполняться ус
ловие

⎝
⎠

При большом удален

 
3
3
3
3

cos
cos
,
r
E r
j
∞

θ
ϕ
=
θ =
γ
 откуда находим 

 
5
3
3
/
.
A
j
=
γ
 
(16) 

На границах разделов r = a и r = b
рерывности потенциала и нормальны
тока. Нормальные компоненты плотности тока, как известно, опред

 выполняются условия неп
х составляющих плотности 

еляются выражением 

.
i
ni
i
j
r

∂ϕ
= −γ ∂
 

Следовательно, имеем уравнения для нахождения оставшихся 
коэффициентов: 

6
4
3
2
3
3
,
r b
r b
A
A
A b
E b
b
b
=
=
ϕ
= ϕ
⇒
+
=
+
 

4
2
1
1
3
,
r a
r a
A
A a
A a
a
=
=
ϕ
= ϕ
⇒
=
+
 

3
6
2
4
3
2
3
3
2
3
2
2
,
r b
r b
A
A
E
A
r
r
b
b
=
=
∂ϕ
∂ϕ
⎛
⎞
⎛
⎞
γ
= γ
⇒ γ
−
= γ
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∂
∂
 

2
1
4
2
1
2
3
2
.
r a
r a
A
A
A
r
r
a
=
=
∂ϕ
∂ϕ
⎛
⎞
γ
= γ
⇒ γ
−
= γ
⎜
⎟
⎝
⎠
∂
∂
 
1 1

 
10