Геометрия и графика, 2024, № 1

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА — 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Травкина А.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 222 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2024

Подписано в печать 25.03.2024  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Сальков Н.А.  
Расширение вариантов формирования линейчатых 
поверхностей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Соколова Л.С.
Теорема К. Польке в модельном пространстве 
компьютера при 2D-моделировании . . . . . . . . . . . . . . . . .12

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Сальков Н.А.
Изучение геометрии как важнейший способ 
развития эвристического мышления . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Тихонов-Бугров Д.Е., Абросимов С.Н., 
Солодухин Е.А.
Качество графической подготовки в вузе: 
желаемое, действительное, действие . . . . . . . . . . . . . . . . .32
Назарова Ж.А.
Геометро-графическая подготовка студентов 
технических специальностей в современных 
условиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

2024. Том 12. Вып. 1
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
МИРЭА — Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2024. Vol. 12. Issue 1
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).
Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).
Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор,  
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).
Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 
Санкт-Петербург (Россия).
 
St. Petersburg State University of Telecommunications named 
after Professor M.A. Bonch-Bruevich (Russia).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия).
 
Russian Technological University (Russia).
Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).
Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).
Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
МИРЭА — Российский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).
Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
МИРЭА — Российский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).
Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).
Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).
Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named 
after A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow 
(Russia).
Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel). Ariel University, Science Park, 
Ariel (Israel).
Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).
Плоский Виталий Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, 
президент Украинской ассоциации по прикладной геометрии, 
проректор по научной работе. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев (Украина). 
 
Kiev National University of Construction and Architecture, Kiev 
(Ukraine).
Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.
Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.
Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.
Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.
При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.
Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).
Согомонян Коля Амазаспович, д-р техн. наук, профессор. Армянский 
национальный политеxнический университет. Ереван (Армения).
 
Armenian National Polytechnic University, Yerevan (Armenia).
Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).
Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, Vienna 
(Austria).
Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).
Толок Алексей Вячеславович, д-р техн. наук, профессор. Московский  
государственный технический университет «СТАНКИН» (Россия). 
STANKIN Moscow State Technical University, Moscow (Russia)
Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор. Московский государственный университет имени  
М.В. Ломоносова, Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).
Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Weiss Günter, Professor, Vienna University of Tehnology, Vienna (Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА — Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).
Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА — Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).
Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
МИРЭА — Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия). 

Ефремов Алексей Вячеславович, старший преподаватель  
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия).

Егиазарян Карен Тигранович, канд. хим. наук, МИРЭА — Российский 
технологический университет (Россия).

2

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2024

УДК 514 
DOI: 10.12737/2308-4898-2024-12-1-3-11

Н.А. Сальков
Канд. техн. наук, профессор, 
Московский государственный академический 
художественный институт имени В.И. Сурикова,
Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30
e-mail: nikolaysalkov@mail.ru

Расширение вариантов 
формирования линейчатых 
поверхностей 

Аннотация. При решении крупных геометрических проблем 
в некоторых случаях имеет место необходимость решать более 
мелкие вспомогательные задачи. Так и при расширении вариантов формирования линейчатых поверхностей возникло 
решение построения плоскости или прямой под определенными углами наклона к плоскостям проекций или к некоторой заданной плоскости общего положения. В статье приводится эта сопутствующая задача на построение плоскости, а 
также построение прямой с использованием сферы. В основе 
построения плоскости и прямой под определенными углами 
к плоскостям проекций находится применение соприкасающегося конуса вращения к произвольно заданной сфере. Этот 
же способ применяется уже для построения прямой и плоскости к данной плоскости общего положения с учетом того, 
что данная плоскость является касательной к некоторой данной поверхности. Все построения линейчатых поверхностей 
основываются на принципе задания трех направляющих и 
трех условий, ограничивающих каждую из образующих по 
отношению к заданным направляющим. Условие прохождения 
направляющей под определенными углами к поверхностям 
расширяют возможности конструирования линейчатых поверхностей почти до бесконечности. 
Ключевые слова: геометрия, инженерная геометрия, начертательная геометрия, метрические задачи.

N.A. Salkov
Ph.D. in Engineering, Professor,
Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov,
30, Tovarishcheskiy per., Moscow, 109004, Russia,
e-mail: nikolaysalkov@mail.ru

Expansion of Formation Options Linear 
Surfaces 

Abstract. When solving large geometric problems, in some 
cases there is a need to solve smaller auxiliary problems. So, when 
expanding the options for forming ruled surfaces, a solution arose 
for constructing a plane or a straight line at certain angles of inclination to the planes of projections or to some given plane of general position. The article presents this related task of constructing 
a plane, as well as building a straight line using a sphere. The basis 
for constructing a plane and a straight line at certain angles to the 
projection planes is the application of a contiguous cone of rotation 
to an arbitrarily specified sphere. The same method is already used 

to construct a straight line and a plane to a given plane of general 
position, taking into account that this plane is tangent to some 
given surface. All constructions of linear surfaces are based on the 
principle of specifying three guides and three conditions limiting 
each of the generators in relation to the specified guides. The 
condition of passing the guide at certain angles to the surfaces 
expands the possibilities of designing ruled surfaces almost indefinitely. 
Keywords: geometry, engineering geometry, kinetic geometry, 
descriptive geometry, metric tasks. 

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 1. 3–11

При решении вопроса расширения способов конструирования линейчатых поверхностей сопровождающими могут быть различного рода задачи, решать 
которые приходится, что называется, по пути, их 
можно назвать задачи-попутчики, из которых иногда 
могут быть выявлены интересные продолжения, 
вырастающие иногда в собственные направления 
[1–9; 12–21; 23; 27; 28; 32; 34–40], в изобретения [10; 
11; 32; 33] или в оформленные и зарегистрированные 
программы для компьютеров [29–31].
Так и в этом случае. 
Предварительно, перед обращением к собственно 
обозначенной теме, рассмотрим задачи построения 
плоскости и прямой, не присутствующие в традиционном курсе начертательной геометрии. Эта задача 
возникла как сопутствующая.
В некоторых случаях при решении геометрических 
задач возникает необходимость построить плоскость 
или прямую под определенными углами к плоскостям 
проекций. Задача относится к метрическим задачам. 
Перед ее решением рассмотрим некоторые аспекты 
взаимодействия прямой с плоскостью, являющиеся 
взаимно перпендикулярными.
В статье предлагается способ, расширяющий возможности формирования новых линейчатых поверхностей, рассмотренных в работах [25; 26].
Дело в том, что в упомянутых работах линейчатые поверхности формировались из закона задания 
трех направляющих и трех условий, характеризующих положение прямолинейной образующей 
относительно этих направляющих. Было рассмотрено исключительно касательное положение прямолинейной образующей ко всем данным направляющим поверхностям, то есть расположенные под 
углом 0° к поверхностям. Теперь рассматривается 
вариант, когда направляющая должна быть наклонена под некоторым острым углом γ к данной поверхности.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2024

Для плоскости проекций П2 сумма углов наклона 
α′ + β′ плоскости Σ и прямой l по аналогии также 
будет равна 90° (90° + 0° = 90°).

 
α′ + β′ = 90°. 
(2)

Таким образом, сумма углов наклона плоскости 
Σ и прямой l к обеим плоскостям проекций П1 и П2 
будет равна 2d: 

 
α + β + α' + β' = 180°. 
(3)

Кроме того, если взять только плоскость, то сумма углов наклона ее к плоскостям проекций П1 и П2 
варьируется от 90° до 180°. При этом 90° имеет место 
только при положении, когда данная плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций.  
А 180° — когда она ей параллельна. Во всех случаях 
для плоскости имеет место неравенство:

 
90° ≤ α + α′ ≤ 180°. 
(4)

Для прямой линии имеем следующее неравенство:

 
0° ≤ β + β′ ≤ 90°. 
(5)

Учитывая это, и будем решать поставленную задачу.
Пусть надо построить плоскость, расположенную 
под углом α = 45° к П1 и углом β = 60° к П2. Будем 
использовать свойства сферы.
На рис. 2 и 3 показаны сферы с соприкасающимися с ними конусами.
На рис. 2 у конуса с вершиной S образующие 
имеют с плоскостью П1 угол наклона α. Любая плоскость, касающаяся конуса по его образующей, будет 

При решении данной задачи были рассмотрены 
также сопутствующие задачи: построение плоскости, 
расположенной под заданными углами α и β к плоскостям проекций, а также прямой, расположенной 
под заданными острыми углами к плоскостям проекций.
Периодически и в журналах рассматриваются 
такие «мелкие» задачи, связанные с какими-то геометрическими нюансами или построением тех или 
иных геометрических фигур [1; 2; 6; 13; 22].
Некоторые решенные задачи приводят даже к 
изобретениям, требующим выдачи патента, поэтому нельзя пренебрегать никакими, даже маленькими, геометрическими задачками, пусть они кажутся поначалу мизерными и не стоящими внимания.
Поэтому перед исследованием задачи, которая 
поможет расширить варианты формирования 
линейчатых поверхностей, рассмотренных в работах [25; 26], решим задачу на построение плоскости. 
Рассмотренная ниже задача была, как уже было 
сказано, сопутствующей в решении основного вопроса о расширении вариантов формирования линейчатых поверхностей, так что пренебречь ею нам 
показалось неразумным решением. Тем более что 
эта задача отсутствует в известных учебниках, хотя 
она и не очень сложная и может пригодиться в различных геометрических задачах, имеющих отношение как к механическим, так и к строительным 
специальностям.
Возьмем взаимно перпендикулярные прямую l и 
плоскость Σ, заданную следами. Поставим плоскость 
Σ в положение фронтально проецирующей плоскости 
(рис. 1). 
Очевидно, что если плоскость Σ с плоскостью 
проекций будет составлять 90°, то прямая, ей перпендикулярная, будет находиться под углом 0°. 
Из рис. 1 следует, что сумма углов наклона плоскости и прямой к плоскости проекций П1 будет 
равна d (90°). То есть 

 
α + β = 90°.  
(1)

Также очевидно, что когда мы будем вращать 
систему из плоскости Σ и перпендикулярной ей 
прямой l вокруг некоторой вертикальной (горизонтально проецирующей) оси, то углы наклона 
этих геометрических фигур с плоскостью проекций 
П1 не изменятся. А вот с плоскостью П2 углы, 
наоборот, будут меняться: у плоскости Σ угол будет уменьшаться, у прямой l — увеличиваться. Но 
в сумме эти углы, тем не менее, останутся равны 
90°.

Рис. 1

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 1. 3–11

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2024

иметь с плоскостью П1 угол наклона (ската) α. На 
рис. 3 имеем конус с вершиной в точке Т, соприкасающийся с данной сферой, и образующие которого имеют с плоскостью проекций П2 угол наклона β. 
Здесь также любая плоскость, касающаяся конуса, 
будет иметь с плоскостью П2 угол наклона β. 
Совместим эти два рисунка (см. рис. 4). Пусть конус 
с вершиной в точке S будет иметь наклон образующих 
к П1 под углом α = 45°, а конус с вершиной в точке  
Т — образующие с углом наклона β = 60° к П2. При 
этом для упрощения построений зададим сферу с центром О на оси х. Две окружности соприкосновения m 
и n, находящиеся на одной сфере, пересекаются в двух 
точках. Возьмем одну из них — точку А. 
Три точка А, Т и S будут задавать плоскость, наклоненную к П1 под заданным углом α, а к плоскости П2 — под углом β. На рис. 4 эта плоскость задана двумя пересекающимися образующими конусов 
SA и TA.
Очевидно, что таких плоскостей будет четыре: две 
из них, которые являются касательными к данной 
сфере и проходящих через две построенные точки. 
А еще две при нахождении подобных точек с конусами, вершины которых расположены на тех же осях, 
но с противоположных сторон сферы.
Для тех, кто привык плоскость задавать следами, 
такой вариант показан на рис. 5. Для этого была 
взята одна из образующих — ТА, найден ее фронтальный след F и, поскольку точки А и S находятся 
на плоскостях проекций, SF представляет собой 
фронтальный след искомой плоскости f Σ, который 
дает точку схода Σо. Горизонтальный след hΣ провести 
не составляет труда: ΣоТ1.
Касательная плоскость к сфере, в найденной ранее точке А, может быть задана горизонталью и фронталью, как показано на рис. 6.
На рис. 7 показана прямая ОА, расположенная 
перпендикулярно построенной плоскости Σ (она на 
чертеже не показана) и имеющая с плоскостями 
проекций П1 и П2 углы:

 
α′ = 90° – 45° = 45°; 
(6)

 
β′ = 90° – 60° = 30°,  
(7)

что следует из уравнений (1) и (2).
Перейдем к другой задаче. Пусть надо построить 
некоторую плоскость, расположенную под углом 45° 
к данной плоскости общего положения Σ (см. рис. 8).

                                Рис. 2 
                                           Рис. 3

Рис. 5

Рис. 4

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 1. 3–11

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2024

Для решения применим способ введения новой 
плоскости проекций. Поскольку мы вводили ранее 
конусы, вращения, оси которых перпендикулярны 
плоскостям проекций, а мы снова будем применять 
конусы вращения, то пусть эта плоскость П4 будет 
перпендикулярна и П1, и плоскости Σ. Для этого 
новую ось х1≡4 проводим перпендикулярно горизонтальному следу h1
Σ.

Строим сферу с центром в точке О (О4), и к ней 
пристраиваем соприкасающийся со сферой по окружности n конус вращения с вершиной S и с осью, 
перпендикулярной плоскости Σ: SO
f
⊥
4
Σ.

Любая касательная к конусу плоскость будет искомой.
Берем на окружности некоторую (любую на окружности касания n) точку А, проводим образующую SA 
и параллель m (окружность, плоскость которой, параллельна П1), к которой проводим касательную t. 
Эта касательная t и образующая SA задают одну из 
множества касательных к сфере искомых плоскостей, 
проходящих под углом 45° к плоскости Σ.
Построить фронтальную проекцию прямых t и SA 
не является задачей данной статьи — это уже работа 
для студентов.

 
Рис. 8. Плоскость, проведенная под углом 45° к плоскости 
общего положения

Следующая задача. Путь нам надо провести прямую линию под углом 45° к плоскости общего положения. На основе предыдущего рисунка (рис. 8), 
учитывая выражение (6), достаточно соединить центр 
сферы с любой точкой окружности касания n, чтобы 
получить искомый результат (см. рис. 9).
На рис. 9 искомая прямая линия задана отрезком 
ОА. Результат сопоставим с рис. 7.

Рис. 6

Рис. 7

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 1. 3–11

x1≡2

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2024

А теперь решим задачу формирования линейчатой 
поверхности, у которой образующая находится под 
углом γ к заданной поверхности Λ, пересекающей 
линию k, расположенную на Λ и линию b, находящуюся в пространстве.
Здесь

 
γ = 90° – β, 
(8)

где β — угол наклона образующих построенного 
конуса вращения к плоскости Σ.
Решение показано на рис. 10, но без построения 
сферы с центром О на оси n.

 

Рис. 9. Прямая под заданным углом к плоскости общего положения

 

Рис. 10. Образующая, проходящая под заданным углом 
к поверхности Ω и пересекающая две кривые линии k и b

Дано: три геометрические фигуры: поверхность 
Λ, линия b ⊂ Λ, кривая k; а также три условия: 
l
k l
b
l
i
i
i
∩
∩
∧
=
;
;
.
Λ
γ

Алгоритм решения.
1. В каждой точке Si линии b строим плоскость Σ, 
касательную к поверхности Λ.
2. Строим нормаль n к поверхности Λ и конус вращения с вершиной в точке S и с углом наклона γ 
к плоскости Σ. 
3. Находим точки пересечения 1 и 2 построенного 
конуса вращения с кривой k. Эти точки вместе с 
вершиной S дают в данном случае прямые S1 и S2, 
которые являются одними из образующих l и l′.
4. Два множества построенных образующих l и l′ 
дадут две полы искомых линейчатых поверхностей.
Другое задание линейчатых поверхностей представляет собой огибающую множества конусов вращения.
Дано: поверхность Λ, линия b ⊂ Λ; а также условия: l
b
l
i
i
∩
∧
=
;
.
Λ
γ

Алгоритм решения.
1. В каждой точке Si линии b строим плоскость Σ, 
касательную к поверхности Λ.
2. Строим нормаль n к поверхности Λ и конус вращения с вершиной в точке Si и с углом наклона γ 
образующих к плоскости Σ. 
3. В результате получаем однопараметрическое множество (∞1) конусов вращения, огибающая которых 
будет искомой поверхностью (двумя поверхностями) одинакового ската к данной поверхности Λ.
Математически огибающая поверхность находится как множество линий пересечения конусов вращения, вершины которых расположены на столь 
небольшом расстоянии (стремящемся к нулю), что 
эти конусы практически пересекаются по образующим. Этот момент является третьим заданием геометрической фигуры, а также третьим геометрическим 
условием в создании поверхности [25].
Следующее построение, показанное на рис. 11, 
заключается в том, что требуется построить линейчатую поверхность, каждая образующая которой 
находится под углами γ к двум заданным поверхностям Λ и Δ.
Дано: три геометрические фигуры — поверхности 
Λ и Δ, линия b ⊂ Λ, а также три условия: 
l
b
l
l
i
i
i
∩
∧
=
∧
=
;
;
.
Λ
∆
γ
γ

Требуется построить линейчатую поверхность с 
соблюдением этих условий.
Алгоритм решения следующий (см. рис. 11).
1. В каждой точке Si линии b строим плоскость Σ, 
касательную к поверхности Λ.
2. Строим нормаль n к поверхности Λ и конус вращения Ω с вершиной в точке S и с углом наклона 
γ к плоскости Σ. 

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 1. 3–11

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2024

Нормали n' и n параллельны, если образующие li 
должны быть расположены под одним углом γ к 
обеим заданным поверхностям Λ и Δ (рис. 11 и 12, а). 
Если образующие должны быть под разными углами 
к заданным поверхностям: γ и γ′, то, n ∩ n′, таким 
образом, как и при параллельных осях, n′ и n составляют плоскость (рис. 12, б).

                 а)  
                      б)

Рис. 12

Построенные конусы являются соприкасающимися по общей образующей.
Ранее в работе [25; 26] рассматривался случай, 
когда образующая должна быть касательной к любой 
данной поверхности. Здесь мы рассмотрели случаи 
прохождения образующей под определенным острым 
углом к данным поверхностям.
Все вышеизложенные выкладки могут быть использованы при разработке аналитических программ 
для компьютерной графики [24; 29–31].

3. Строим линию пересечения (не показана) Ω и Δ.
4. Строим плоскость Γ Σ
Γ
∧
∪  (касательная) Δ ⇒ 1 
(S1≡l).
5. Перемещая S по линии b, получаем ∞1 прямых — 
искомую линейчатую поверхность.

Рис. 11

Можно вместо плоскости Г || Σ строить к каждой 
точке линии пересечения поверхностей Ω и Δ нормали n′ и выбирать нормаль n′ || n. 

Литература

1. Антонова И.В. Математическое описание вращения 
точки вокруг эллиптической оси в некоторых частных 
случаях [Текст] / И.В. Антонова, И.А. Беглов, Е.В. Соломонова // Геометрия и графика. 2019. — Т. 7. — № 3. —  
С. 36–50. — DOI: 10.12737/article_5dce66dd9fb966.59423840
2. Беглов И.А. Математическое описание метода вращения точки вокруг криволинейной оси второго порядка 
[Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян, И.В. Антонова // 
Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 4. — С. 39–46. — 
DOI: 10.12737/article_5c21f6e832b4d2.25216268
3. Беглов И.А. Поверхности квазивращения и их применение в параметрической архитектуре [Текст]: дис. … 
канд. техн. наук: 05.01.01 / И.А. Беглов. — Омск, 2022. — 
200 с.
4. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и 

графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — С. 23–46. — DOI: 
10.12737/ article_5b559c70becf44.21848537
5. Волошинов Д.В. Единый конструктивный алгоритм 
построения фокусов кривых второго порядка образов 
[Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. — 
2018. — Т. 6. — № 2. — С. 47–54. — DOI: 10.12737/ 
article_5b559dc3551f95.26045830
6. Волошинов Д.В. Об особенностях конструктивного решения задачи о сферах Данделена [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. —  
С. 55–62. — DOI: 10.12737/ article_5b559f018f85a7.77112269
7. Вышнепольский 
В.И. 
Геометрические 
места 
точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский,  
Н.А. Сальков, Е.В. Заварихина // Геометрия и графи- 
ка. — 2017. — Т. 5. — № 3. — С. 21–35. — DOI: 10/12737/
article_59fa3beb72932.73328568
8. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // 
Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 3–8. 
DOI: 10.12737/5583

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 1. 3–11

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2024

9. Графский О.А. Геометрия электростатических полей 
[Текст] / О.А. Графский, Ю.В. Пономарчук, А.А. Холодилов // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 1. —  
C. 10–19. — DOI: 10.12737/article_5ad085a6d75bb5.99078854
10. Грохот-питатель: авторское свидетельство 1025461 
СССР; МКИ В 07 В 1/16 / Н.А. Сальков (СССР). —  
№ 3333233/29-03; заявлен 25.06.81; опубликован 
30.06.83. Бюллетень № 24. — 3 с.
11. Двухчервячный смеситель для пастообразных материалов: авторское свидетельство 1199625 СССР: МКИ 
В 29 В 7/42, В 29 С 47/40 / Н.А. Сальков (СССР). —  
№ 3773765/23-05; заявлен 23.07.84; опубликован 
23.12.85. Бюллетень № 47. — 3 с.
12. Жихарев Л.А. Геометрические методы оптимизации топологии конструктивных элементов на основе теории 
фракталов [Текст]: автореф. … дис. канд. техн. наук: 
2.5.1 / Л.А. Жихарев. — Нижний Новгород, 2023. — 22 с.
13. Жихарев Л.А. Применение кривой Коха для повышения 
прочности деталей самолета [Текст] / Л.А. Жихарев // 
Геометрия и графика. — 2022. — Т. 10. — № 4. — С. 13–
25. — DOI: 10.12737/2308-4898-2022-10-4-13-25
14. Камалов А. Конструирование линейчатых поверхностей 
каркасно-параметрическим методом и их применение 
[Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук: 2.5.1 / А. Камалов. — Самарканд, 1980. — 16 c.
15. Кокарева Я.А. Синтез уравнений линейчатых поверхностей с двумя криволинейными и одной прямолинейной 
направляющими [Текст] / Я.А. Кокарева // Геометрия 
и графика. — 2018. — Т. 6. — № 3. — С. 3–12. — DOI: 
10.12737/article_5bc454948a7d90.80979486
16. Кононов П.В. Принципы построения геометрических 
моделей нанокластеров по тетраэдрической линии 
[Текст] / П.В. Кононов, И.Е. Кононова, О.Н. Мороз // 
Геометрия и графика. — 2022. — Т. 10. — № 3. — С. 12–
22. — DOI: 10.12737/2308-4898-2022-10-3-12-22
17. Короткий В.А. Аппроксимация физического сплайна с 
большими прогибами [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2022. — Т. 10. — № 3. — С. 23–34. — 
DOI: 10.12737/2308-4898-2021-9-1-3-18
18. Нитейский А.С. Конструирование торсовой поверхности методом подвижного трехгранника Френе [Текст] / 
А.С. Нитейский // Омский научный вестник. — 2013. — 
№ 2. — С. 151–153.
19. Пилипака С.Ф. Конструирование линейчатых поверхностей общего вида в системе сопроводительного 
трехгранника направляющей пространственной кривой [Текст] / С.Ф. Пилипака, Н.Н. Муквич // Труды 
Таврической государственной агротехнической академии. — Мелитополь: Изд-во ТДАТУ, 2007. — № 4. — 
Прикладная геометрия и инж. графика. — Т. 35. —  
С. 10–18.
20. Рачковская Г.С. Геометрическое моделирование и графика кинематических линейчатых поверхностей на 
основе триады контактирующих аксоидов [Текст] /  
Г.С. Рачковская // Геометрия и графика. — 2016. —  
Т. 4. — № 3. — С. 46–52. — DOI: 10.12737/21533

21. Сальков Н.А. Введение в кинетическую геометрию 
[Текст] / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2016. — 142 с.
22. Сальков Н.А. Геометрическая составляющая технических инноваций [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и 
графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — C. 85–93. — DOI: 
10.12737/article_5b55a5163fa053.07622109.
23. Сальков Н.А. Моделирование автомобильных дорог 
[Текст]: монография / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 
2012. — 120 с.
24. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — база для компьютерной графики [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия 
и графика. — 2016. — Т. 4. — № 2. — С. 37–47. — DOI: 
10.12737/19832
25. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия 
и графика. — 2018. — Т. 6. — № 4. — С. 20–31. — DOI: 
10.12737/article_5c21f4a06dbb74.56415078
26. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия 
и графика. — 2019. — Т. 7. — № 1. — С. 14–27. — DOI: 
10.12737/article_5c9201eb1c5f06.47425839
27. Сальков Н.А. Эллипс: касательная и нормаль [Текст] / 
Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — 
№ 1. — C. 35–37. — DOI: 10.12737/470
28. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и ее приложение [Текст] / 
Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2016. — 142 с.
29. Сальков Н.А., Волошинов Д.В. Парабола. Свидетельство 
о регистрации программы для ЭВМ RU 2020614640. Заявка № 2020612401 от 04 марта 2020.
30. Сальков Н.А., Волошинов Д.В. Гипербола. Свидетельство 
о регистрации программы для ЭВМ RU 2020616015. Заявка № 2020612357 от 04 марта 2020.
31. Сальков Н.А., Волошинов Д.В. Эллипс. Свидетельство о 
регистрации программы для ЭВМ RU 2020616140. Заявка № 2020612388 от 04 марта 2020.
32. Способ профилирования автомобильных дорог: авторское свидетельство 1714046 СССР. МКИ4 E 02 F 1/00 / Сальков Н.А. (СССР) — № 1714046 А1; заявлено 27.04.89, 
опубликовано 23.02.92, Бюллетень № 7, 1992. — 6 с.
33. Станок Сальковых для обработки многогранных поверхностей: авторское свидетельство 1505669 СССР, 
МКИ4 В 23 В 5/44 / Сальков Н.А., Сальков А.В., 
Салькова В.А. (СССР). — № 4293668/31-08; заявлено 
01.06.87; опубликовано 07.09.89, Бюллетень № 33. — 4 с. 
34. Страшнов С.В. Велародальные оболочки и оболочки 
велароидального типа [Текст] / С.В. Страшнов // Геометрия и графика. — 2022. — Т. 10. — № 2. — С. 11–19. — 
DOI: 10.12737/2308-4898-2022-10-2-11-19
35. Швиденко Ю.З. Сопряжения линейчатыми поверхностями и их применение для конструирования оболочек 
[Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / Ю.З. Швиденко. — Киев, 1966. — 14 c.
36. Щеглов Г.А. О геометрической интерпретации кватернионов конусами [Текст] / Г.А. Щеглов // Геометрия и 
графика. — 2022. — Т. 10. — № 3. — С. 23–34. — DOI: 
10.12737/2308-4898-2022-10-3-23-34

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 1. 3–11

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2024

37. Sal’kov N.A., Ivanov G.S., Slavin R.B. Areas of existence 
of ruled surfaces. IOP Conf. Series: Journal of Physics: 
Conf. Series 1260 (2019) 072018. DOI:10.1088/17426596/1260/7/072018
38. Sal’kov N.A. Visualization of the Ruled surfaces of General 
Type / N.A. Salkov // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Ser. 1441 (2020) 012078. DOI: 10.1088/17426596/1441/1/012078
39. Sal’kov N.A. Application of the Dupin cyclide in temple architecture / N.A. Salkov // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1546 (2020) 012042. DOI: 
10.1088/1742-6596/1546/1/012042
40. Sal’kov N.A. Setting of the Dupin cyclide by three straight 
lines and sphere / N.A. Salkov // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Ser. 1791 (2021) 012060. DOI: 
10.1088/1742-6596/1791/1/012060

References

1. Antonova I.V., Beglov I.A., Solomonova E.V. Matematicheskoe opisanie vrashheniya tochki vokrug e`llipticheskoj osi 
v nekotory`h chastny`h sluchayah [Mathematical description of the rotation of a point around an elliptical axis in 
some particular cases]. Geometriya i grafika [Geometry and 
Graphics]. 2019, V. 7, I. 3, pp. 36–50. DOI: 10.12737/article_5dce66dd9fb966.59423840. (in Russian)
2. Beglov I.A. Rustamyan V.V. Antonova I.V. Matematicheskoe opisanie metoda vrashcheniya tochki vokrug krivolinejnoj osi vtorogo poryadka [A mathematical description 
of the method of rotation of a point around a curvilinear axis 
of the second order]. Geometriya i grafika [Geometry and 
Graphics]. 2018, V. 6, I. 4, pp. 39–46. DOI: 10.12737/article_5c21f6e832b4d2.25216268. (in Russian)
3. Beglov I.A. Poverhnosti kvazivrashheniya i ih primenenie v 
parametricheskoj arhitekture. Kand. Diss. [Quasi-rotation 
surfaces and their application in parametric architecture. 
Cand. Diss.]: dis. … kand. texn. nauk: 05.01.01. Omsk, 2022. 
200 p. (in Russian)
4. Voloshinov D.V. Vizual'no-graficheskoe proektirovanie edinoj konstruktivnoj modeli dlya resheniya analogov zadachi 
Apolloniya s uchyotom mnimyh geometricheskih obrazov 
[Visual graphic design of a uni fied constructive model for 
solving analogs of the Apollonian problem taking into account imaginary geometric images]. Geometriya i grafika 
[Geometry and graphics]. 2018, V. 6, I. 2, pp. 23–46. DOI 
10.12737/issn.2308-4898. (in Russian)
5. Voloshinov D.V. Ediny`j konstruktivny`j algoritm postroeniya fokusov krivy`h vtorogo poryadka [Unified constructive algorithm for constructing foci of second-order 
curves]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 
2018, V. 6, I. 2, pp. 47–54. DOI: 10.12737/article_5b559dc3551f95.26045830. (in Russian)
6. Voloshinov D.V. Ob osobennostyah konstruktivnogo resheniya zadachi o sferah Dandelena [About the features of 
constructive solutions to the problem of spheres of Dandelin]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2018, 

V. 6, I. 2, pp. 55–62. DOI: 10.12737/ article_5b559f018f85a7.77112269. (in Russian)
7. Vyshnepol'skij V.I., Sal'kov N.A., Zavarihina E.V. Geometricheskie mesta tochek, ravnootstoyashchih ot dvuh zadannyh geometricheskih figur. Chast' 1 [Loci of Points Equally 
Spaced From Two Given Geometrical Figures. Part 1]. Geo- 
metriya i grafika [Geometry and graphics]. 2017, V. 5, I. 3,  
pp. 21–35. DOI: 10/12737/article_59fa3beb72932.73328 
568. (in Russian)
8. Girsh A.G. Mnimosti v geometrii [Imaginaries in Geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2014,  
V. 2, I. 2, pp. 3–8. DOI: 10.12737/5583. (in Russian)
9. Grafskij O.A., Ponomarchuk YU.V., Holodilov A.A. Geo- 
metriya elektrostaticheskih polej [Electrostatic field geo- 
metry]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 
2018, V. 6, I. 1, pp. 10–19. DOI: 10.12737/article_5ad085a6d75bb5.99078854. (in Russian)
10. Grohot-pitatel` [Grokhot-feeder]: avtorskoe svidetel`stvo 
1025461 SSSR, MKI3 V 07 V 1/16 / N.A. Sal`kov (SSSR). 
№ 3333233/29-03; zayavleno 25.06.81; opublikovano 
30.06.83, Byulleten` I. 24, 3 p. (in Russian)
11. Dvuhchervyachny`j smesitel` dlya pastoobrazny`h materialov [Two-worm mixer for pasty materials]: avtorskoe svidetel`stvo 1199625 SSSR, MKI4 V 29 V 7/42 / Sal`kov N.A. 
(SSSR). № 3773765/23-05; zayavleno 23.07.84; opublikovano 23.12.85, Byulleten` I. 47, 3 p. (in Russian)
12. Zhiharev L.A. Geometricheskie metody` optimizatsii topologii 
konstruktivny`h e`lementov na osnove teorii fraktalov. Kand. 
Diss. [Geometric methods for optimizing the topology of 
structural elements based on fractal theory Cand. Diss.]: 
avtoref. dis. ... kand. tehn. nauk: 2.5.1. Nizhnij Novgorod, 
2023. 22 p. (in Russian).
13. Zhiharev L.A. Primenenie krivoj Koha dlya povy`sheniya 
prochnosti detalej samolyota [The use of the Koch curve to 
increase the strength of aircraft parts]. Geometriya i grafika 
[Geometry and graphics]. 2022, V. 10, I. 4, рp. 13–25. DOI: 
10.12737/2308-4898-2022-10-4-13-25. (in Russian)
14. Kamalov A. Konstruirovanie lineychatyh poverhnostey karkasno-parametricheskim metodom i ih primenenie. Kand. Diss. 
[The design of the ruled surfaces of frame-parametric method and their application. Cand. Diss.]: avtoref. dis. ... kand. 
tehn. nauk. Samarkand, 1980. 16 p. (in Russian)
15. Kokareva Ya.A. Sintez uravnenij linejchaty`h poverhnostej 
s dvumya krivolinejny`mi i odnoj pryamolinejnoj napravlyayushhimi [Synthesis of the equations of the ruled surfaces with two curvilinear and one rectilinear guide]. Geo- 
metriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2018, V. 6, I. 3,  
pp. 3–12. DOI: 10.12737/article_5bc454948a7d90.8097 
9486. (in Russian)
16. Kononov P.V., Kononova I.E., Moroz O.N. Printsipy` 
postroeniya geometricheskih modelej nanoklasterov po 
tetrae`dricheskoj linii [Principle the constructed geometric 
pattern of nanoclusters along tetrahedral Lines]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2022, V. 10, I. 3,  
рp. 12–22. DOI: 10.12737/2308-4898-2022-10-3-12-22. 
(in Russian)

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 1. 3–11

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2024

17. Korotkij V.A. Approksimatsiya fizicheskogo splajna s bol`shimi progibami [Approximation of a physical spline with large 
deflections]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 
2022, V. 10, I. 3, рp. 23–34. DOI: 10.12737/2308-48982021-9-1-3-18. (in Russian)
18. Nitejskij A.S. Konstruirovanie torsovoj poverhnosti metodom 
podvizhnogo tryohgrannika Frene [Construction of a torso 
surface by the method of a movable triaxial Frenet]. Omskij nauchnyj vestnik [Omsk Scientific Herald]. 2013, I. 2,  
pp. 151–153. (in Russian)
19. Pilipaka S.F., Mukvich N.N. Konstruirovanie linejchatyh 
poverhnostej obshchego vida v sisteme soprovoditel'nogo 
tryohgrannika napravlyayushchej prostranstvennoj krivoj 
[Construction of ruled surfaces of general form in the system of the accompanying trihedron of the directional spatial 
curve]. Trudy Tavricheskoj gosudarstvennoj agrotehnicheskoj 
akademii [Proceedings of the Taurian State Agrotechnical 
Academy]. Melitopol: TDATU Publ., 2007, I. 4. (in Russian)
20. Rachkovskaya G.S. Geometricheskoe modelirovanie i grafika kinematicheskih linejchatyh poverhnostej na osnove triady kontaktiruyushchih aksoidov [Geometric modeling and 
graph of kinematic ruled surfaces based on the triad of contacting axoids]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, I. 3, pp. 46–52. DOI: 10.12737/21533 (in 
Russian)
21. Sal`kov N.A. Vvedenie v kineticheskuyu geometriyu [Introduction to kinetic geometry]. Moscow, INFRA-M Pubi., 
2016. 142 p. (in Russian)
22. Sal'kov N.A. Geometricheskaja sostavljajushhaja tehnicheskih innovatsij [Geometric component of technical 
innovations]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2018, V. 18, I. 2, pp. 85–94. DOI: 10.12737/ article_
5b55a-5163fa053.0722109. (in Russian)
23. Salkov N.A. Modelirovanie avtomobil'nyh dorog: monografija 
[Modeling of highways]. Moscow, INFRA-M Pubi., 120 p. 
(in Russian)
24. Sal`kov N.A. Nachertatel`naya geometriya — baza dlya 
komp`yuternoj grafiki [Descriptive geometry — a base for 
computer graphics]. Geometriya i grafika [Geometry and 
graphics]. 2016, V. 4, I. 2, рp. 37–47. DOI: 10.12737/19832. 
(in Russian)
25. Sal`kov N.A. Obshhie principy` zadaniya linejchaty`h poverhnostej. Chast` 1 [General principles of setting ruled surfaces. Part 1]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 
2018. V. 6, I. 4, pp. 20–31. DOI: 10.12737/article_5c21f4a06dbb74.56415078. (in Russian)
26. Sal`kov N.A. Obshhie printsipy` zadaniya linejchaty`h poverhnostej. Chast` 2 [General principles of setting ruled surfaces. Part 2]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 
2019. V. 7, I. 1, рр. 14–27. DOI: 10.12737/article_5c9201eb1c5f06.47425839. (in Russian)

27. Sal'kov N. A. Ellips: kasatel'naya i normal' [Ellipse: tangent 
and normal]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 
2013, V. 1, I. 1, pp. 35–37. DOI: 10.12737/470. (in Russian).
28. Sal`kov N.A. Tsiklida Dyupena i eyo prilozhenie [Dupin's Cyclide and its appendix]. Moscow, INFRA-M Publ.,  
142 p. (in Russian)
29. Sal`kov N.A., Voloshinov D.V. Parabola. Svidetel`stvo o registratsii programmy` dlya E`VM RU 2020614640. Zayavka 
№ 2020612401 ot 04 marta 2020. (in Russian)
30. Sal`kov N.A., Voloshinov D.V. Giperbola. Svidetel`stvo o 
registratsii programmy` dlya E`VM RU 2020616015. Zayavka № 2020612357 ot 04 marta 2020. (in Russian)
31. Sal`kov N.A., Voloshinov D.V. E`llips. Svidetel`stvo o registracii programmy` dlya E`VM RU 2020616140. Zayavka № 
2020612388 ot 04 marta 2020. (in Russian)
32. Sposob profilirovaniya avtomobil`ny`h dorog: avtorskoe svidetel`stvo 1714046 SSSR. MKI4 E 02 F 1/00 / Sal`kov N.A. 
(SSSR) № 1714046 A1; zayavleno 27.04.89, opublikovano 
23.02.92, Byulleten` № 7, 1992. 6 p. (in Russian)
33. Stanok Sal`kovy`h dlya obrabotki mnogogranny`h poverhnostej: avtorskoe svidetel`stvo 1505669 SSSR, MKI4 V 23 
V 5/44. Sal`kov N.A., Sal`kov A.V., Sal`kova V.A. (SSSR).  
№ 4293668/31-08; zayavleno 01.06.87; opublikovano 
07.09.89, Byulleten` № 33. 4 p. 
34. Strashnov S.V. Velarodal`ny`e obolochki i obolochki velaroidal`nogo tipa [Velaroidal obolochs and obolochs velaroidal 
type]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2022, 
V. 10, I. 2, рp. 11–19. DOI: 10.12737/2308-4898-2022-102-11-19. (in Russian)
35. Shvidenko Yu.Z. Sopryazheniya lineychatymi povrekhnostyami i ih primenenie dlya konstruirovaniya obolochek. Kand. 
Diss. [Mate bar poverhnosti and their use of for constructing 
shells.Cand. Diss.]: avtoref. dis. ... kand. tehn. nauk. Kiev, 
1966. 14 p. (in Russian)
36. Shheglov G.A. O geometricheskoj interpretatsii kvaternionov konusami [Geometric interpretations of quaternion 
cones]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2022, 
V. 10, I. 3, рp. 23–34. DOI: 10.12737/2308-4898-2022-103-23-34. (in Russian)
37. Sal’kov N.A., Ivanov G.S., Slavin R.B. Areas of existence 
of ruled surfaces. IOP Conf. Series: Journal of Physics: 
Conf. Series 1260 (2019) 072018. DOI: 10.1088/17426596/1260/7/072018
38. Sal’kov N.A. Visualization of the Ruled surfaces of General 
Type IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Ser. 1441 
(2020) 012078. DOI:10.1088/1742-6596/1441/1/012078
39. Sal’kov N.A. Application of the Dupin cyclide in temple architecture IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1546 
(2020) 012042. DOI: 10.1088/1742-6596/1546/1/012042
40. Sal’kov N.A. Setting of the Dupin cyclide by three straight 
lines and sphere / N.A. Salkov // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Ser. 1791 (2021) 012060. DOI: 
10.1088/1742-6596/1791/1/012060

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 1. 3–11

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2024

УДК 514.1
DOI: 10.12737/2308-4898-2024-12-1-12-21

Л.С. Соколова 
Канд. техн. наук, доцент,
Московский государственный технический университет им. 
Н.Э. Баумана, 
Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1

Теорема К. Польке в модельном 
пространстве компьютера при 
2D-моделировании  

Аннотация. Рассмотрено применение теоремы Польке при 
поиске координатной системы для электронной геометрической модели в модельном пространстве компьютера при 
2D-геометрическом моделировании.
Показана возможность создания электронной геометрической модели в системе аксонометрических осей при 
2D-моделировании в научных и учебных целях координатным 
способом.
На аксонометрических координатных плоскостях удается 
решать задачи, не дающие решения в прямоугольной системе 
координат. В модельном пространстве компьютера стало 
возможно решение классических задач начертательной геометрии, решение которых связывают только со способом 
проецирования пространства на плоскость проекций.
Вторичная аксонометрия в системе аксонометрических 
координатных осей при 2D-моделировании позволила решить 
ряд задач, не имеющих решение в прямоугольной системе 
координат:
• моделировать параллельное (косоугольное) направление 
соответствия двух родственных фигур;
• перемещать фигуру в пространстве вращением вокруг 
аксонометрических координатных осей;
• строить произвольное родство двух аффинно соответственных фигур при взаимной перпендикулярности оси родства 
и направления родства;
• переходить на координатный способ решения вместо 
проецирования на плоскости проекций;
• исходя из численного равенства изометрических координат натурным, прямо в процессе решения задач можно 
переходить из одной системы координат в другую.
Новое прочтение теоремы Польке расширяет возможности 
модельного пространства персональных компьютеров для 
решения научных и учебных задач. Однако необходимым 
условием для реализации этих возможностей является доступность построений на изометрическом виде программным 
обеспечением.
Показана возможность обучения созданию электронного 
чертежа с натурной детали в учебном процессе. В качестве 
электронной модели в этом случае целесообразно использовать 
изометрическое изображение как обладающее наглядностью 
при однокартинном виде и простотой вычерчивания координатным способом.
По построенному аксонометрическому виду программным 
способом получают прямоугольные виды, используя прямоугольные координаты. Из этих видов формируют прямоугольный электронный чертеж. Если целью его создания является 

построение 3D-геометрической модели объекта, то построение можно продолжить, рассматривая созданный электронный 
чертеж как начальные условия для построения 3D-модели 
объекта.
Ключевые слова: теорема Польке, аксонометрия, 2D-геометрическое моделирование, электронный чертеж.

L.S. Sokolova
Ph.D. of Engineering, Associate Professor,
Bauman Moscow State Technical University,
5, 2nd Baumanskaya str., Moscow, 105005, Russia

K. Polke's Theorem in Computer Model Space 
in 2D Modeling

Abstract. The application of Polke's theorem in the search for 
a coordinate system for an electronic geometric model in the model space of a computer in 2D geometric modeling is considered.
The possibility of creating an electronic geometric model in a 
system of axonometric axes in 2D modeling for scientific and educational purposes using a coordinate method is shown.
It is possible to solve problems on axonometric coordinate 
planes that do not provide solutions in a rectangular coordinate 
system. In the computer model space, it has become possible to 
solve classical problems of descriptive geometry, the solution of 
which is associated only with the method of projecting space onto 
the projection plane.
Secondary axonometry in the system of axonometric coordinate 
axes in 2D modeling has allowed us to solve a number of problems 
that do not have a solution in a rectangular coordinate system:
• simulate the parallel (oblique) direction of the correspondence 
of two related shapes;
• move the shape in space by rotating around the axonometric 
coordinate axes;
• the construction of an arbitrary relationship of two affine corresponding figures with mutual perpendicularity of the axis of 
kinship and the direction of kinship;
• switch to the coordinate solution method instead of projecting 
on the projection plane;
• вased on the numerical equality of isometric coordinates with 
natural ones, it is possible to switch from one coordinate system 
to another right in the process of solving problems.
A new reading of Polke's theorem expands the possibilities of 
the model space of personal computers for solving scientific and 
educational problems. However, a necessary condition for the 
implementation of these capabilities is the availability of isometric 
constructions by software.
The possibility of learning how to create an electronic drawing 
from a full-scale part in the educational process is shown. In this 
case, it is advisable to use an isometric image as an electronic 
model, as it has visibility in a single-picture view and simplicity of 
drawing in a coordinate way.
According to the constructed axonometric view, rectangular 
views are programmatically obtained using rectangular coordinates. 
A rectangular electronic drawing is formed from these types. If the 
purpose of its creation is to build a 3D geometric model of an 
object, then the construction can be continued, considering the 
created electronic drawing as the initial conditions for building a 
3D model of the object.
Keywords: Polke's theorem, axonometry, 2D geometric modeling, electronic drawing.

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 1. 12–21