ЕГЭ. Математика. Базовый и профильный уровни. Типовые тренировочные варианты

МАТЕМАТИКА
Базовый и профильный 
уровни

ЕГЭ

ТИПОВЫЕ ТРЕНИРОВОЧНЫЕ  
ВАРИАНТЫ

А. Н. АЛЕКСЕЕВА

С

О

О

Т

В

Е

Т

С

Т

В

У

Е

Т

 

Т

Р

Е

Б

О

В

А

Н

И

Я

М

едерального

государственного
образовательного
стандарта

4-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

МОСКВА 
 2023

Р е ц е н з е н т  – учитель математики высшей квалификационной категории  
ГБОУ «Школа № 192» г. Москвы В.И. Ахременкова.

6+

Издание допущено к использованию в образовательном процессе  
на основании приказа Министерства образования и науки РФ от 09.06.2016 № 699.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от 
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-408-06465-6

Алексеева А.Н.
ЕГЭ. Математика : базовый и профильный уровни : типовые тренировочные варианты / А.Н. Алексеева. – 4-е изд., эл. – 1 файл pdf :  
163 с. – Москва : ВАКО, 2023. – Систем. требования: Adobe Reader XI 
либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10,5″. – Текст : электронный.

ISBN 978-5-408-06465-6

Пособие-тренажёр позволит подготовить выпускников школ к успешной сдаче 
единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике. В издание вошли 10 тренировочных вариантов экзаменационной работы базового уровня и 15 вариантов – 
профильного. Представленные задания являются типовыми и разработаны на основе 
контрольных измерительных материалов по математике. В конце пособия ко всем 
заданиям даны ответы, приведены решения сложных заданий профильного уровня.
Адресовано учителям, выпускникам школ и их родителям, которые с помощью 
данного издания смогут контролировать усвоение школьных знаний своими детьми.

А47

Электронное издание на основе печатного издания: ЕГЭ. Математика : базовый  
и профильный уровни : типовые тренировочные варианты / А.Н. Алексеева. –  
3-е изд., перераб. – Москва : ВАКО, 2023. – 160 с. – ISBN 978-5-408-06445-8. –  
Текст : непосредственный.

УДК 372.851
ББК 74.262.21

УДК 372.851
ББК 74.262.21
 
А47

©  ООО «ВАКО», 2022, 
2023, с изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемые выпускники и абитуриенты!
Цель данного пособия – помочь выпускникам подготовиться к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике.
Сборник включает 10 вариантов заданий экзаменационной работы базового уровня и 15 вариантов – профильного, которые по форме и содержанию приближены к демоверсии ЕГЭ.
Экзаменационная работа базового уровня состоит из одной части, содержащей 
21 задание с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых 
умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных 
ситуациях. Ответом к каждому из заданий 1–21 является целое число, или конечная 
десятичная дробь, или последовательность цифр. Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов № 1 в той форме, 
которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания. Правильное решение 
каждого из заданий 1–21 оценивается 1 баллом.
Экзаменационная работа профильного уровня состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:
 
• часть 1 содержит 11 заданий (задания 1–11) с кратким ответом в виде целого 
числа или конечной десятичной дроби;
 
• часть 2 содержит 7 заданий (задания 12–18) с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Задания части 1 направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях. Посредством заданий части 2 осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной 
деятельности и на творческом уровне. Задания части 1 предназначены для определения математических компетентностей выпускников образовательных организаций, 
реализующих программы среднего (полного) общего образования на базовом уровне. 
Задания 12–18 с развёрнутым ответом, в числе которых 5 заданий повышенного уровня и 2 задания высокого уровня сложности, предназначены для более точной дифференциации абитуриентов вузов.
Правильное решение каждого из заданий 1–11 оценивается 1 баллом. Задание 
считается выполненным верно, если экзаменуемый дал правильный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Решения заданий с развёрнутым ответом 
оцениваются от 0 до 4 баллов. Полное правильное решение каждого из заданий 12, 
14 и 15 оценивается 2 баллами; каждого из заданий 13 и 16 – 3 баллами; каждого 
из заданий 17 и 18 – 4 баллами.
Пособие адресовано старшеклассникам и абитуриентам для самоподготовки и самоконтроля. Кроме того, оно может быть использовано в учебном процессе учителями 
и методистами, осуществляющими подготовку обучающихся к ЕГЭ по математике.

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

ОБОБЩЁННЫЙ ПЛАН ВАРИАНТА КИМ  
ЕГЭ 2023 ГОДА ПО МАТЕМАТИКЕ  
(базовый уровень)

Используется следующее условное обозначение:
Уровень сложности заданий: Б – базовый.

Номер 
задания
Проверяемые требования (умения)

Уровень 
сложности

Максимальный 
балл 
за выполнение 
задания

Примерное время 
выполнения задания выпускником, 
изучавшим математику на базовом 
уровне (в мин)
1
Уметь выполнять вычисления и преобразования
Б
1
7

2
Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

Б
1
5

3
Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

Б
1
5

4
Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

Б
1
4

5
Уметь строить и исследовать простейшие 
математические модели
Б
1
10

6
Уметь строить и исследовать простейшие 
математические модели
Б
1
11

7
Уметь выполнять действия с функциями
Б
1
7
8
Уметь строить и исследовать простейшие 
математические модели
Б
1
8

9
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами
Б
1
6

10
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами
Б
1
10

11
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами
Б
1
11

12
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами
Б
1
8

13
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами
Б
1
8

Номер 
задания
Проверяемые требования (умения)

Уровень 
сложности

Максимальный 
балл 
за выполнение 
задания

Примерное время 
выполнения задания выпускником, 
изучавшим математику на базовом 
уровне (в мин)
14
Уметь выполнять вычисления и преобразования
Б
1
5

15
Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

Б
1
8

16
Уметь выполнять вычисления и преобразования
Б
1
7

17
Уметь решать уравнения и неравенства
Б
1
7
18
Уметь решать уравнения и неравенства
Б
1
8
19
Уметь выполнять вычисления и преобразования
Б
1
15

20
Уметь строить и исследовать простейшие 
математические модели
Б
1
15

21
Уметь строить и исследовать простейшие 
математические модели
Б
1
15

Всего заданий – 21; из них
по типу заданий: с кратким ответом – 21;
по уровню сложности: Б – 21.
Максимальный первичный балл за работу – 21.
Общее время выполнения работы – 3 часа (180 мин)

ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

На выполнение экзаменационной работы отводится 3 часа (180 минут).
Экзаменационная работа состоит из 21 задания и содержит задания только базового уровня сложности.
Оценивание правильности выполнения заданий, предусматривающих краткий ответ, осуществляется с использованием специальных аппаратно-программных средств.
Правильное решение каждого из заданий 1–21 оценивается 1 баллом.
Задание считается выполненным верно, если экзаменуемый дал правильный ответ 
в виде целого числа, или конечной десятичной дроби, или последовательности цифр.
Общий максимальный первичный балл за выполнение всей экзаменационной работы – 21.
Ответы к заданиям записываются по приведённым ниже образцам в виде числа 
или последовательности цифр. Сначала запишите ответы к заданиям в поле ответа 
в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1 справа от номера соответствующего задания.

КИМ
Бланк

О т в е т:  –0,6 
–
,
6
0

Если ответом является последовательность цифр, как в приведённом ниже примере, то запишите эту последовательность в бланк ответов № 1 без пробелов, запятых 
и других дополнительных символов.

КИМ
Бланк

О т в е т:
А
Б
В
Г
4
3
1
2
4
1 2
3

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, 
а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь 
выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланке ответов № 1 был записан под правильным номером.

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

А Л Г Е Б Р А

Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99

Десятки
Единицы

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81

1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361

2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841

3
900
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521

4
1600
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2401

5
2500
2601
2704
2809
2916
3025
3136
3249
3364
3481

6
3600
3721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761

7
4900
5041
5184
5329
5476
5625
5776
5929
6084
6241

8
6400
6561
6724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921

9
8100
8281
8464
8649
8836
9025
9216
9409
9604
9801

Свойства арифметического квадратного корня

ab
a
b
=
⋅
 при a ≥ 0, b ≥ 0 
 
 
a
b

a
b
=
 при a ≥ 0, b > 0

Корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

= − −
−
= − +
−
x
b
b
ac

a
x
b
b
ac

a

4

2
,
4

2
1

2

2

2

 при b2 – 4ac > 0

x
b
a
2
= −
 при b2 − 4ac = 0

Формулы сокращённого умножения
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Степень и логарифм
Свойства степени
при a > 0, b > 0

a
a
1
n
n
=
−

an ∙ am = an + m

=
−
a
a
a

n

m

n m

(an)m = anm

(ab)n = an ∙ bn

a
b

a
b

n
n

n
( )
=

Свойства логарифма
при a > 0, a ≠ 1, b > 0, x > 0, y > 0
a
b
b
loga
=

loga a = 1
loga 1 = 0
loga(xy) = loga x + loga y

x
y
x
y
log
log
log
a
a
a




 =
−

loga bk = k loga b

Г Е О М Е Т Р И Я

Средняя линия треугольника и трапеции

MN – ср. лин.
MN | | AC

MN
AC
2
=

BC | | AD
MN – ср. лин.
MN | | AD

MN
BC
AD
2
=
+

Теорема Пифагора

a2 + b2 = c2

Длина окружности С = 2πr
Площадь круга S = πr2

r

Правильный треугольник

R
a 3
3
=

S
a
3
4

2

=

r
a 3
6
=

h
a 3
2
=

Площади фигур
Параллелограмм
S = aha
S = ab sin γ

Треугольник

S
ah
1
2
a
=

S
ab
1
2
sin
=
γ

Трапеция

=
+
S
a
b h
2

Ромб
d1, d2 – диагонали

S
d d
1
2
1 2
=

Площади поверхностей и объёмы тел
Прямоугольный параллелепипед

V = abc

Прямая призма

V = Sоснh

Пирамида

=
V
S
h
1
3
осн

Конус

=

=

π

π

V
r h

S
rl

1
3

2

бок

Цилиндр

V = πr2h
Sбок = 2πrh

Шар

V
r
4
3

3
=
π

S = 4πr2

A

B

C

N
M

D
A

B
C

N
M

b

a
c

R

a

r
h
a

b
ha

a

γ
ha

b
γ

a

b

h

a

d1
d2

a

b

c
h

Sосн

h

Sосн

h l

r

h

r

r

Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Е  Ф У Н К Ц И И

Прямоугольный треугольник

α =

α =

α =

a
c
b
c
a
b

sin

cos

tg

Тригонометрическая окружность

sin α
α
сos α

Pα

1

1

Основное тригонометрическое тождество: sin2 α + cos2 α = 1

Некоторые значения тригонометрических функций

α радианы
0
6
π

4
π

3
π

2
π
π
3
2
π
2π

градусы
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°

sin α
0
1
2

2
2

3
2
1
0
–1
0

cos α
1
3
2

2
2

1
2
0
–1
0
1

tg α
0
3
3
1
3
–
0
–
0

Ф У Н К Ц И И

Линейная функция

y

x
0
b

 y = kx + b

α

k = tg α

Геометрический смысл производной

y

x
0
x0

y = f(x)

α

α

f′(x0) = tg α

α

b

a
c

ВАРИАНТ 1

Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, или целое число, 
или последовательность цифр. Ответ сначала запишите в поле ответа в тексте работы, 
а затем перенесите в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

 1  Сырок стоит 14 руб. 20 коп. Какое наибольшее число сырков можно купить 
на 120 руб.?

О т в е т:  
.

 2  Установите соответствие между величиной и её возможным значением: к каждому 
элементу левого столбца подберите соответствующий элемент из правого столбца.

ВЕЛИЧИНА
ВОЗМОЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

А)  время обращения Марса вокруг Солнца
Б)  длительность полнометражного мультипликационного фильма
В)  длительность звучания одной песни
Г)  продолжительность вспышки фотоаппарата

1)  90 минут
2)  4 минуты
3)  687 суток
4)  0,2 секунды

В ответе под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.

О т в е т:
А
Б
В
Г

 3  На школьной игре КВН судьи выставили командам за конкурсы следующие баллы (см. табл.). Для каждой команды баллы по всем конкурсам суммируются. 
Победителем считается команда, набравшая в сумме наибольшее количество 
баллов. Какое место заняла команда 11 «А» класса?

Команда
Баллы за конкурс 
«Приветствие»
Баллы за конкурс 
«Разминка»
Баллы за музыкальный конкурс
11 «А»
11 «Б»
11 «В»
11 «Г»

25
28
24
20

28
21
22
26

19
24
25
29

О т в е т:  
.

 4  Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле A
U t
R

2

=
, где U – 

напряжение (в вольтах), R – сопротивление (в омах), t – время (в секундах). 
Пользуясь этой формулой, найдите A (в джоулях), если t = 12 с, U = 6 В 
и R = 15 Ом.

О т в е т:  
.