Методы моделирования и прогнозирования стационарных временных рядов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение  

высшего образования 

«Оренбургский государственный университет»  

 
 

 

 

 

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И 

ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ 

ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 

 

Учебное пособие 

 
 

 
 

 
Рекомендовано ученым советом федерального государственного бюджетного 
образовательного 
учреждения 
высшего 
образования 
«Оренбургский 

государственный университет» для обучающихся по образовательным программам 
высшего образования по направлению подготовки 01.03.04 Прикладная математика 

 
 
 
 
 
 
 
 

Оренбург  

2023

УДК 330.4:519.86:519.246.8(075.8) 
ББК 65.051.03я73+22.172я73 
М 54 
 

Рецензент – доцент, кандидат экономических наук Раменская А.В.  

 

М 54

Васянина, В.И.
Методы 
моделирования 
и 
прогнозирования 
стационарных 

временных рядов [Электронный ресурс]:
учебное пособие / 

В.И. Васянина, Е.Н. Корнейченко, А.Г. Реннер и др.; Оренбургский 
гос. ун-т. – Электрон. текстовые дан. (1 файл: 3,6 Мб). – Оренбург: 
ОГУ, 2023. – 1 электрон. опт. диск (CD-R): зв., цв.; 12 см. –
Системные требования: Intel Core или аналогич.; Microsoft Windows
7, 8, 10; 512 Mб; монитор, поддерживающий режим 1024х768; 
мышь или аналогич. устройство. – Загл. с этикетки диска. 

ISBN 978-5-7410-3019-6

В учебном пособии рассмотрены математический инструментарий 

моделирования, включающий методы оценивания и прогнозирования 
структурно-детерминированных временных рядов; методы тестирования 
временных 
рядов; 
методы 
построения 
и 
исследования 
моделей: 

авторегрессии, скользящего среднего, авторегрессии скользящего среднего, 
авторегрессии с условной гетероскедастичностью. Каждый раздел состоит 
из теоретической части, вопросов и заданий к практическим занятиям, 
заданий к лабораторным работам и примеров их выполнения с помощью 
статистических пакетов прикладных программ Mathcad, Statistica, Gretl. 

Учебное пособие предназначено для обучающихся по образовательной 

программе высшего образования по направлению подготовки 01.03.04 
Прикладная математика. 

 

УДК 330.4:519.86:519.246.8(075.8)
ББК 65.051.03я73+22.172я73

 

©Васянина В.И,
Корнейченко Е.Н., 
Реннер А.Г.,
Туктамышева Л.М.,
Чудинова О.С., 2023

ISBN 978-5-7410-3019-6
© ОГУ, 2023

 

Содержание 

 

Введение ............................................................................................................................... 5 

1 Временные ряды: основные понятия ............................................................................. 6 

1.1 Случайные процессы и временные ряды .................................................................... 6 

1.2 Конечномерные законы распределения случайного процесса ................................. 7 

1.3 Математическое ожидание, ковариационная матрица и ковариационная функция 

случайного процесса ........................................................................................................... 8 

1.4 Стационарные случайные процессы ........................................................................... 9 

1.5 Эргодические случайные процессы .......................................................................... 11 

1.6 Математические модели структурно-детерминированных временных рядов ..... 12 

1.7 Линейное прогнозирование структурно-детерминированных рядов .................... 16 

1.8 Анализ остатков модели (тестирование остаточной компоненты) ........................ 21 

1.8.1 Критерии, основанные на анализе оценок асимметрии и эксцесса .................... 22 

1.8.2 Проверка нормальности распределения остатков модели, основанная на 

анализе графиков ............................................................................................................... 23 

1.8.3 Проверка автокоррелированности остатков .......................................................... 23 

1.9 Показатели точности моделей и прогнозов .............................................................. 25 

1.10 Тестовые задания для самоконтроля ....................................................................... 30 

1.11 Вопросы для самоконтроля ...................................................................................... 33 

1.12 Практическая часть ................................................................................................... 34 

1.12.1 Постановка лабораторной работы ........................................................................ 34 

1.12.2 Порядок выполнения лабораторной работы в ППП Mathcad ............................ 35 

1.12.3 Содержание письменного отчета .......................................................................... 40 

1.12.4 Вопросы к защите лабораторной работы ............................................................. 40 

2 Стационарные временные ряды .................................................................................... 42 

2.1 Предварительный анализ стационарных временных рядов ................................... 42 

2.1.1 Описательные характеристики стационарных временных рядов ....................... 42 

2.1.2 Выборочные автокорреляционная и частная автокорреляционная функции 

стационарных временных рядов ...................................................................................... 45 

2.2 Тестирование отсутствия тренда во временных рядах ........................................... 48 

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий .......................................................... 58 

2.3  Тестирование сезонности стационарных временных рядов .................................. 72 

2.3.1 Критерий «пиков и ям» проверки гипотезы об отсутствии периодичности ...... 74 

2.3.2 Сведение задачи проверки наличия периодичности к задаче дисперсионного 

анализа ................................................................................................................................ 75 

2.4  Сезонная декомпозиция стационарных временных рядов .................................... 77 

2.5 Рекуррентное прогнозирование стационарных временных рядов ......................... 81 

2.6 Модели стационарных временных рядов и их идентификация ............................. 86 

2.6.1 Модели скользящего среднего порядка q (МА(q)) ............................................... 95 

2.6.2 
Модели авторегрессии порядка р (AR(p)) ........................................................ 106 

2.6.3 
Модели авторегрессии скользящего среднего порядка p,q (ARMA(p,q)) .... 117 

2.6.4 Сезонные модели ARMA ....................................................................................... 124 

2.6.5 Модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью (ARCH) ...... 127 

2.6.6 Обзор информационных критериев выбора модели .......................................... 134 

2.7 Пороговые модели авторегрессии ........................................................................... 135 

2.8 Тестовые задания для самоконтроля ....................................................................... 137 

2.9 Вопросы для самоконтроля ...................................................................................... 144 

2.10 
Практическая часть ............................................................................................. 147 

2.10.1 
Постановка задачи лабораторной работы ..................................................... 147 

2.10.2 Порядок выполнения лабораторной работы в ППП Gretl ................................ 147 

2.10.3 Содержание письменного отчета ........................................................................ 175 

2.10.4 Вопросы к защите лабораторной работы ........................................................... 175 

Список использованных источников ............................................................................ 178 

Приложение А .................................................................................................................. 187 

Приложение Б .................................................................................................................. 189 

Приложение В .................................................................................................................. 190 

Приложение Г .................................................................................................................. 196 

 
 

Введение 

 

Инструментарий эконометрики включает большой набор методов и подходов, 

специально разработанных для данных по временным рядам. 

В первой главе приведены основные понятия временных рядов, рассмотрены 

их виды (стационарные в узком и широком смысле, эргодические) и 

характеристики. 
Описан 
подход 
к 
прогнозированию 
структурно
детерминированных временных рядов. 

Вторая глава, посвященная анализу и прогнозированию стационарных 

временных рядов, включает в себя процедуры начиная от тестирования временного 

ряда на предварительном этапе, заканчивая прогнозированием, в том числе, на 

основе 
современных 
моделей 
прогнозирования, 
таких 
как: 
модели 
с 

авторегрессионной условной гетероскедастичностью и т.п. 

В 
первых 
параграфах 
каждой 
главы 
дается 
описание 
основного 

математического аппарата, приводятся содержательные примеры с последующим 

анализом результатов, а в последующих параграфах описан порядок выполнения 

лабораторных работ по обозначенной теме с помощью прикладного программного 

обеспечения: Statistica, Gretl, MathCad. В конце каждой главы приводятся вопросы и 

тесты для самоконтроля, а также задания к лабораторным работам (исходные 

данные для выполнения студентами лабораторных работ представлены в 

приложении). 

Учебное пособие предназначено для студентов математических направлений 

подготовки, бакалавров, магистрантов, аспирантов, преподавателей, научных 

работников и 
специалистов 
аналитических 
подразделений 
предприятий и 

организаций. 

В память любимому учителю - Реннеру Александру Георгиевичу. Не было и 

нет равных Александру Георгиевичу в преданности профессии, принципиальности в 

вопросах качества образования, бесконечной самоотверженности в работе с 

учениками. 

1 Временные ряды: основные понятия 

 

1.1 Случайные процессы и временные ряды 
 

 

Пусть 
рассматривается 
скалярная 
случайная 
величина 
𝜉(𝜔),𝜔 ∈ 𝛺 

определенная на некотором вероятностном пространстве (,A, Р). Если считать, что 

случайная 
величина 
зависит 
от 
некоторого 
параметра  𝑡 ∈ 𝑇, 
который 

интерпретируется как время, то речь идет о скалярном случайном процессе𝜉(𝑡, 𝜔), 

𝑡 ∈ 𝑇, 𝜔 ∈ 𝛺1. В зависимости от того, что понимается под областью определения, по 

времени различают случайные процессы с непрерывным временем и случайные 

процессы с дискретным временем 𝜉(𝑡1, 𝜔), 𝜉(𝑡2, 𝜔) … 𝜉(𝑡𝑁, 𝜔). Отметим, что, 

рассматривая процессы в естествознании мы иногда имеем возможность 

непрерывно измерять значения случайных процессов (к примеру, температуру 

физического процесса). Процессы в социальной и экономической сфере измеряются 

в некоторые оговоренные фиксированные моменты времени𝑡1, 𝑡2, …. 

Определение 
1.1. 
Случайные 
процессы 
с 
дискретным 
временем 

𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑁 … ∈ Т, 
будем 
называть 
априорным 
временным 
рядом 

𝜉(𝑡1, 𝜔), 𝜉(𝑡2, 𝜔) … 𝜉(𝑡𝑁, 𝜔) …. 

Определение 1.2. Наблюденные при одном и том же фиксированном 𝜔 

значения временного ряда в моменты 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑁, называют реализацией 

(траекторией) 
или 
апостериорным 
временным 
рядом 
и 
обозначают 

у(𝑡1), у(𝑡2), … , у(𝑡𝑁);(в некоторых случаях для удобства введены обозначения 

𝑦1,𝑁 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑁)𝑇). 

 

 

 

 

1 Здесь рассматриваются только скалярные случайные процессы. 

1.2 Конечномерные законы распределения случайного процесса 
 

 

При любом фиксированном 𝑡 ∈ 𝑇𝜉(𝑡, 𝜔) - скалярная случайная величина. 

Одномерное распределение вероятностей:  

 

𝑝𝜉(𝑥/𝑡) = 𝑃(𝜔: 𝜉(𝑡, 𝜔) = 𝑥).                              (1.1) 

 

В 
многомерном 
случае 
(в 
случае 
l-мерного 
случайного 
вектора 

(𝜉(𝑡1, 𝜔), 𝜉(𝑡2, 𝜔), … , 𝜉(𝑡𝑙, 𝜔))Т) многомерное распределение вероятностей: 

𝑝𝜉(𝑥1, х2, … х𝑙/𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑙) = 𝑃(ω1: ξ(t1, ω1)=x1,…, ωl: ξ(tl, ωl)=xl) 

Определение 1.3. Одномерной функцией распределения случайного процесса 

𝜉(𝑡, 𝜔) будем называть функцию распределения случайной величины, полученной в 

сечении 𝑡 ∈ 𝑇 

 

𝐹𝜉(𝑥/𝑡) = 𝑃(𝜉(𝑡, 𝜔) < 𝑥),
𝑥 ∈ 𝑅                                     (1.2) 

 

Зафиксируем 
𝑡𝑘, 𝑘 = 1, … , 𝑙, 𝑘 ∈ 𝑇. 
Рассматривается 

(𝜉(𝑡1, 𝜔), 𝜉(𝑡2, 𝜔), … , 𝜉(𝑡𝑙, 𝜔))Т - случайный l-мерный вектор [8]. 

Определение 1.4.  l-мерной функцией распределения случайного процесса 

𝜉(𝑡, 𝜔)назовем 
функцию 
распределения 
l-мерного 
случайного 
вектора 

(𝜉(𝑡1, 𝜔), 𝜉(𝑡2, 𝜔), … , 𝜉(𝑡𝑙, 𝜔))Ти обозначим 

 

𝐹𝜉 (𝑥1, х2, … , х𝑙

𝑡1

, 𝑡2, … , 𝑡𝑙) = 𝑃(𝜉(𝑡1, 𝜔) < 𝑥1, … , 𝜉(𝑡𝑙, 𝜔) < 𝑥𝑙), 

(х1, … , 𝑥𝑙)𝑇
∈ 𝑅𝑙.                                                  (1.3) 

 

Для случая непрерывного распределения можно ввести понятия одномерной и 

многомерной плотностей (Приложение А). 

1.3 
Математическое 
ожидание, 
ковариационная 
матрица 
и 

ковариационная функция случайного процесса 

 

 

Совокупность конечномерных законов распределения случайного процесса 

безусловно полностью характеризуют случайный процесс, но при решении 

большинства 
прикладных 
задач 
обычно 
ограничиваются 
использованием 

одномерных и двумерных законов распределения случайного процесса и связанных 

с ними моментами первого и второго порядка (если они существуют).  

Определение 1.7. Математическим ожиданием случайного процесса 𝜉(𝑡, 𝜔), 

называют неслучайную функцию 𝑚𝜉(𝑡), определенную ∀𝑡 ∈ 𝑇, значение которой 

при каждом фиксированном 𝑡 ∈ 𝑇 равно математическому ожиданию случайной 

величины 𝜉(𝑡, 𝜔), полученному в сечении случайного процесса в момент «t». 

 

𝑚𝜉(𝑡) = 𝑀[𝜉(𝑡, 𝜔)]                                                (1.4) 

 

в дискретном случае: 

 

𝑚𝜉(𝑡) = ∑
𝑥𝑖𝑝𝜉(
𝑥𝑖
𝑥𝑖/𝑡).                                            (1.5) 

 

Определение 1.8. Ковариационной функцией случайного процесса 𝜉(𝑡, 𝜔) 

называют неслучайную функцию переменных (𝑡1, 𝑡2) ∈ 𝑇 ∗ 𝑇 по определению 

равную: 

 

𝐾𝜉(𝑡1, 𝑡2) = 𝑀 [(𝜉(𝑡1, 𝜔) − 𝑚𝜉(𝑡1)) (𝜉(𝑡2, 𝜔) − 𝑚𝜉(𝑡2))]               (1.6) 

 

в дискретном случае: 

 

𝐾𝜉(𝑡1, 𝑡2) = ∑
∑
(𝑥𝑖 − 𝑚𝜉(𝑡1)) (𝑦𝑗 − 𝑚𝜉(𝑡2)) 𝑝𝜉(𝑥𝑖𝑦𝑗/𝑡1𝑡2)
𝑦𝑗
𝑥𝑖
             (1.7) 

Заметим, что 

 

𝐷𝜉(𝑡) = 𝐾𝜉(𝑡, 𝑡),                                                           (1.8) 

 

где 𝐷𝜉(𝑡)дисперсия. 

 

 

1.4 Стационарные случайные процессы 

 

 

Среди случайных процессов выделим важнейший с практической точки 

зрения класс стационарных случайных процессов. 

Определение 1.9. Случайный процесс 𝜉(𝑡, 𝜔), 𝑡 ∈ 𝑇 = [𝑎, 𝑏] называют 

стационарным в узком смысле, если ∀𝑁 ≥ 1,
𝑡𝑘 ∈ 𝑇,
𝑘 = 1, … , 𝑁,
и ℎ ∈ 𝑅, 

такого что 𝑡𝑘 + ℎ ∈ 𝑇,
𝑘 = 1, … , 𝑁, 

 




k
2
1
k
2
1
t
,...,
t,
t/
х
,...,
х
,
x
F
𝐹𝜉(𝑥1, х2, … , х𝑘/𝑡1 + ℎ, 𝑡2 + ℎ, … , 𝑡𝑘 + ℎ)     (1.9) 

 

или 

 




k
2
1
k
2
1
t
,...,
t,
t/
х
,...,
х
,
x
p
𝑝𝜉(𝑥1, х2, … , х𝑘/𝑡1ℎ, 𝑡2 + ℎ, … , 𝑡𝑘 + ℎ),     (1.10) 

 

где 𝑝𝜉(𝑥1, х2, … , х𝑘/𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑘) плотность распределения 

Теорема 1.1. Если стационарный в узком смысле случайный процесс𝜉(𝑡, 𝜔), 

𝑡 ∈ 𝑇 = [𝑎, 𝑏] имеет моменты первого и второго порядка, то его математическое 

ожидание постоянная величина  𝑀[𝜉(𝑡, 𝜔)] ≡ 𝑚𝜉=const, а ковариационная функция 

зависит лишь от разности аргументов, то есть 𝐾𝜉(𝑡1, 𝑡2) = 𝐾𝜉(𝑡2 − 𝑡1). 

Доказательство можно найти в [2, 8, 13]. 

Определение 1.10. Случайный процесс 𝜉(𝑡, 𝜔), 𝑡 ∈ 𝑇 называют стационарным 

в широком смысле, если его математическое ожидание 𝑀[𝜉(𝑡, 𝜔)] =𝑚𝜉- постоянная 

величина, а ковариационная функция зависит от разности аргументов  

 

𝐾𝜉(𝑡1, 𝑡2) = 𝐾𝜉(𝑡2 − 𝑡1) = 𝐾𝜉(𝜏).                                 (1.11) 

 

где 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1 [53]. 

Для стационарных случайных процессов 

 

𝐷[𝜉(𝑡, 𝜔)] = 𝐾𝜉(0)                                       (1.12) 

 

В силу свойств стационарного временного ряда его корреляционная функция 

также зависит только от разности аргументов:  

 

𝑅𝜉(𝑡1, 𝑡2) = 𝑅𝜉(𝑡2 − 𝑡1) = 𝑅𝜉(𝜏),                       (1.13) 

 

где   𝑅𝜉(𝜏) =

𝐾𝜉(𝜏)

𝐾𝜉(0) (доказать самостоятельно). 

В анализе стационарных временных рядов, помимо терминов ковариационная 

и корреляционная функции, используются термины автоковариационная и 

автокорреляционная функции [40]. 

Автоковариационную функцию – обозначают 𝛾(𝜏): 

 

𝛾(𝜏) ≡ 𝐾𝜉(𝜏) = 𝑐𝑜𝑣[ 𝜉(𝑡𝑖, 𝜔)(𝜉(𝑡𝑖−𝜏, 𝜔)] = 

= 𝑀[(𝜉(𝑡𝑖, 𝜔) − 𝑚𝜉)(𝜉(𝑡𝑖−𝜏, 𝜔) − 𝑚𝜉)]                                  (1.14) 

𝛾(0) = 𝐷[𝜉(𝑡, 𝜔)]. 

 

Автокорреляционную функцию обозначают𝜌(𝜏): 

 

𝜌(𝜏) ≡ 𝑅𝜉(𝜏) =

𝛾(𝜏)

𝛾(0).                                            (1.15) 

 

 

1.5 Эргодические случайные процессы 

 

 

Оценка приведенных в 1.4-1.15 характеристик требует получения в каждом 

временном сечении «t» (𝑡 ∈ 𝑇) апостериорной выборки достаточно большого 

объема. Это в принципе невозможно, тем более имея объектом изучения экономику, 

социальную сферу и т.п. Однако среди стационарных случайных процессов 

существуют класс, так называемых, эргодических процессов, которые позволяют 

оценивать 
характеристики 
по 
траектории 
[53, 54]. 
Определим 
понятие 

эргодического процесса. 

Определение. Пусть 𝜉(𝑡, 𝜔) - стационарный случайный процесс, 𝑥(𝑡) - 

некоторая его реализация (траектория), 𝑡 ∈ 𝑇. Существуют: 

 

𝑚̃ = 𝑙𝑖𝑚

𝑇→∞

1

𝑇 ∑
𝑥(𝑡)
𝑇
𝑡=0
                                               (1.16) 

 

𝐷̃ = 𝑙𝑖𝑚

𝑇→∞

1

𝑇 ∑
(𝑥(𝑡) − 𝑚̃)2
𝑇
𝑡=0
                                        (1.17) 

 

𝐾̃𝜏 = 𝑙𝑖𝑚

𝑇→∞

1

𝑇 ∑
(𝑥(𝑡) − 𝑚̃)(𝑥(𝑡 + 𝜏) − 𝑚̃)

𝑇

𝑡=0

                    (1.18) 

 

Пусть случайный процесс 𝜉(𝑡, 𝜔) имеет математическое ожидание 𝑚𝜉, 

дисперсию 𝐷𝜉 и ковариационную функцию 𝐾𝜉(𝜏), определяемые (1.16-1.18). 

Определение 1.11. Стационарный в узком смысле случайный процесс 𝜉(𝑡, 𝜔) 

называется эргодическим по математическому ожиданию и ковариационной 

функции, если с вероятностью равной единице: 𝑚̃ = 𝑚𝜉; 𝐾̃(𝜏) = 𝐾𝜉(𝜏) (в том числе 

и 𝐷̃ = 𝐷𝜉). 

P.S.1. Отметим, что различают случайные процессы эргодические по 

математическому ожиданию и (или) дисперсии. 

P.S.2. Для эргодичности гауссова стационарного случайного процесса 

достаточно, чтобы он был стационарным в широком смысле, а его ковариационная 

функция обладала свойством [13]: 

 

1

Т ∫ |𝐾𝜉(𝜏)|

𝑇
0
𝑑𝜏 → 0, Т → ∞                                 (1.19) 

 

Более подробно об условиях эргодичности можно прочитать в [8]. 

 

 

1.6 Математические модели структурно-детерминированных временных 

рядов 

 

 

Допустим, что имеется апостериорный временной ряд 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑁, ему 

соответствует априорный временной ряд 𝜂1, 𝜂2, … , 𝜂𝑁. Будем всякий уровень 

временного 
ряда 
𝜂𝑖, 𝑖 = 1, 𝑁 представлять 
в 
виде 
некоторой 
неслучайной 

(квазидетерминированной или структурно-детерминированной) составляющей 𝑓𝑖 и 

центрированной случайной величиной 𝜀𝑖, 𝑖 = 1, 𝑁 (𝑀(𝜀𝑖) = 0;
𝐷(𝜀𝑖) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =

𝜎2;
𝑐𝑜𝑣( 𝜀𝑖𝜀𝑖−𝜏) = 0, ∀𝜏 ≠ 0): 

 

𝜂𝑖 = 𝑓𝑖 + 𝜀𝑖, 𝑖 = 1, 𝑁                                      (1.20) 

 

или 

 

𝜂 = 𝑓 + 𝜀,                                                 (1.21)