Основания начертательной геометрии. Сборник вопросов и задач

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

В.Н. Калинкин

ОСНОВАНИЯ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ

Сборник вопросов и задач

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2007

УДК 515
ББК 22.151.3
К 17

К 17

Рецензент И.Д. Фаликова

Калинкин В.Н.
Основания начертательной геометрии. Сборник вопросов и
задач. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 48 с.: ил.

Методические указания написаны в помощь студентам, изучающим основы проективной геометрии, являющейся фундаментальной теоретической базой геометрии начертательной.
Рассматриваются синтетический подход к построению проективного пространства, соответствие форм первой и второй
ступеней, центральная коллинеация, а также гомология и ее
частные случаи. В целях закрепления полученных знаний в
пособии помимо теоретических положений представлены и
задачи.
Избранная форма пособия удобна как для изучения курса,
так и для проверки полученных знаний.
Для студентов 1-го и 2-го курсов, преподавателей начертательной геометрии и слушателей факультета повышения квалификации.
Ил. 89.
УДК 515
ББК 22.151.3

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007

ПРЕДИСЛОВИЕ

Представляемые методические указания посвящены изучению
проективных основ геометрии и направлены в помощь тем, кто
желает как проверить полученные знания, так и закрепить их путем
решения комплексных задач.
Круг рассмотренных тем определен объемом теоретического
курса, читаемого студентам факультативно. Основополагающим
принципом является синтетический подход к построению проектного пространства, образуемого расширением пространства Евклида путем присоединения к нему несобственных элементов.
Выбранная форма изложения материала удобна как для приобретения знания, так и для контроля его усвоения. Приобретение
знаний может рассматриваться при этом как первая стадия работы
с данными указаниями.
Следует обратить внимание на принятый способ нумерации
рисунков. По мнению автора, такой способ с указанием номеров
раздела и вопроса повышает адресность рисунка по сравнению с
традиционной сквозной нумерацией.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1. Введение

1.1. Что Вы понимаете под термином «геометрическое преобразование»?
1.2. Какие свойства геометрических образов называются инвариантными?
1.3. Какие геометрические фигуры называются аффинными?
1.4. Какие свойства фигур называются аффинными?
1.5. Какие свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника,
квадрата сохраняются при аффинном преобразовании?
1.6. Какое преобразование называется проективным?
1.7. Какие фигуры называются проективными?
1.8. Какие свойства фигур называются проективными?
1.9. Является ли понятие инцидентности проективным?
1.10. Назовите элементы аппарата центрального проецирования.
1.11. Какие две операции включает в себя способ центрального
проецирования?

2. Построение проективного пространства

2.1. Какая точка называется несобственной?
2.2. Что Вы понимаете под проективной прямой?
2.3. Какими свойствами обладает проективная прямая?
2.4. Что представляет собой геометрическое множество несобственных точек плоскости?
2.5. Что называется проективной плоскостью?

4

2.6. Что представляет собой множество несобственных прямых
пространства?
2.7. Что понимается под проективным пространством?
2.8. Равноправны ли в проективном смысле собственные и несобственные элементы в проективном пространстве?
2.9. Проведите прямую a через собственную точку A и несобственную точку B∞, заданную прямой b.
2.10. Даны три прямые a, b и c, попарно скрещивающиеся и не
параллельные одной плоскости. Проведите через несобственную
точку прямой a прямую d, пересекающую прямые b и c.
2.11. Постройте плоскость α, проходящую через собственную
точку A и несобственные точки B∞ и C∞.

3. Основные геометрические формы

3.1 На какое количество ступеней разделены все геометрические формы?
3.2. Какие геометрические формы относятся к формам первой
ступени?
3.3. Что понимается под прямолинейным рядом точек?
3.4. Что называется носителем ряда?
3.5. Как называется совокупность прямых плоскости, проходящих через одну точку?
3.6. Что называется пучком плоскостей?
3.7. Справедливо ли утверждать, что каждая из форм первой
ступени может быть приведена во взаимно однозначное соответствие с любой другой формой этой ступени?
3.8. Какие геометрические формы принадлежат к формам второй ступени?
3.9. Назовите геометрические формы второй ступени, образующиеся при проецировании из некоторой точки пространства плоского поля точек и плоского поля прямых.
3.10. Какие геометрические формы относятся к формам третьей
ступени?

5

4. Принципы двойственности

4.1. В чем состоит содержание принципа двойственности на
плоскости?
4.2. Каким условиям должно удовлетворять взаимно однозначное соответствие между элементами фигур F и F ′, если они двойственны по малому принципу двойственности (МПД)?
4.3. Что соответствует прямолинейному ряду точек по МПД?
4.4. Сформулируйте предложение, симметричное данному, по
МПД: «Две различные прямые принадлежат одной и только одной
точке A».
4.5. Какая фигура соответствует по МПД треугольнику ABC?
4.6. Как формулируется большой принцип двойственности
(БПД)?
4.7. Какая геометрическая форма соответствует прямолинейному ряду точек по БПД?
4.8. Какая фигура соответствует треугольнику ABC по БПД?
4.9. Какие правильные многогранники по БПД соответствуют
тетраэдру, гексаэдру и додекаэдру?
4.10. Какая объединенная форма соответствует по БПД плоскому полю точек и прямых?
4.11. Как читается предложение, симметричное по БПД аксиоме: «Имеется не менее четырех точек, не лежащих на одной
плоскости».

5. Теорема Дезарга

5.1. Сформулируйте прямую теорему Дезарга.
5.2. Как читается предложение, симметричное теореме Дезарга,
по малому принципу двойственности?
5.3. Выполните чертеж теоремы Дезарга для случая, когда
S /∈ s, S – несобственная точка (рис. 5.3).

6

Рис. 5.3

Рис. 5.5

5.4.
Выполните
чертеж
теоремы
Дезарга для случая, когда S ∈ s, S –
несобственная точка.
5.5. Даны в плоскости две прямые
a, b и точка C, им не принадлежащая.
Через точку C провести прямую, проходящую через точку пересечения a и b
(рис. 5.5).
5.6. Даны две параллельные прямые a и b и не лежащая на них
точка C в плоскости. Пользуясь только линейкой, провести через
точку C прямую, параллельную a и b.

6. Основные понятия проективной геометрии
на плоскости

6.1. Что называется простым отношением трех точек прямой?
6.2. Определите величину простого отношения трех точек
(ABC) – рис. 6.2.

Рис. 6.2

6.3. Какой знак имеет (ABC), если точка C делит отрезок AB
внутренним образом?

7

6.4. Укажите положение делящей точки (рис. 6.4), если:

1. (ABC) = 0
2. (DEF) = −1
3. (KLM) → ∞

Рис. 6.4

6.5. Чему равно (ABC), если точка C – несобственная?
6.6. Какая геометрическая форма симметрична прямолинейному ряду точек по малому принципу двойственности?
6.7. Постройте делящую прямую (рис. 6.7), если:

1. (abc) = −1
2. (efg) = 0

Рис. 6.7

6.8. Какие координаты имеют базисные прямые a и b?
6.9. Как определяется знак простого отношения трех прямых
пучка?
6.10.
Постройте
пучок
S,
перспективный
данному
ряду
(рис. 6.10).
6.11. Постройте ряд, перспективный данному пучку (рис. 6.11).

Рис. 6.10
Рис. 6.11

8

6.12. Установите зависимость простого отношения трех точек
прямолинейного ряда s (A, B, C) и простого отношения трех прямых a, b, c перспективного пучка (рис. 6.12).

6.13. Какова зависимость отношений CK
BK и AC
AB , если AK –
биссектриса угла A (рис. 6.13)?

Рис. 6.12
Рис. 6.13
6.14. Является ли величина простого отношения трех точек
прямолинейного ряда инвариантом центрального проецирования?
6.15. Что называется сложным отношением четырех точек прямой?
6.16. Какие пары точек называются базисными и делящими?
6.17. Запишите выражение (ABCD) в развернутом виде.
6.18. Изменится ли величина (ABCD), если поменять местами
базисную и делящую пары?
6.19. Какова зависимость между сложными отношениями
(ABCD) и (BADC)?
6.20. Как изменится величина (ABCD), если поменять местами
точки в одной паре – (BACD) или (ABDC)?
6.21. Определите величину сложного отношения четырех точек
(ABCD), (EFGH), (KLMN) – рис. 6.21, а, б, в.

Рис. 6.21

6.22. Чему равна величина (ABCD), если точка D – несобственная?

9

6.23. Чему равна величина (EFGH) (см. рис. 6.21), если
H ≡ G?
6.24. Чему равна величина (KLMN) (см. рис. 6.21), если
N ≡ K?
6.25. Чему равна величина (KLMN) (см. рис. 6.21), если
N ≡ L?
6.26. Запишите выражение для определения величины сложного отношения четырех прямых a, b, c, d пучка S.
6.27. Постройте прямую d пучка S (рис. 6.27), если (abcd) = −1
(т. е. если c – биссектриса).
6.28. Постройте прямую h пучка S (рис. 6.28), если (efgh) = 0.

Рис. 6.27
Рис. 6.28
6.29. Постройте прямую n пучка S (рис. 6.29), если (klmn) → ∞.
6.30. Постройте прямую w пучка S (рис. 6.30), если (qfuw) = 1.

Рис. 6.29
Рис. 6.30
6.31. Определите знак сложного отношения четырех элементов
формы первой ступени (рис. 6.31).

10