Определение геометрических параметров проекций линии пересечения поверхностей второго порядка на общие плоскости симметрии

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 

Л.Д. Чинарева 

 
Определение  
геометрических параметров проекций  
линии пересечения поверхностей  
второго порядка на общие плоскости  
симметрии 

 

Методические указания к изучению курса 
«Начертательная геометрия» 

Москва 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2011 

УДК 515(076.5) 
ББК 22.151.3 
  Ч-63 

Рецензент В.И. Гусев 

Чинарева Л.Д. 
Ч-63 
Определение геометрических параметров проекций линии 
пересечения поверхностей второго порядка на общие плоскости симметрии : метод. указания к изучению курса 
«Начертательная геометрия» / Л.Д. Чинарева. – М.: Изд-во 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 94, [2] с. : ил.  
 
Рассмотрены важные построения начертательной геометрии как 

части и основы курса «Инженерная графика». Основное внимание 
уделено определению геометрических параметров проекций линии 
пересечения на общие плоскости симметрии пересекающихся поверхностей. 

Для студентов, изучающих курс начертательной геометрии, а 

также слушателей факультета повышения квалификации и преподавателей. 

Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК РК 

МГТУ им. Н.Э. Баумана. 

 

                                                                                                    УДК 515(076.5) 
                                                                                                 ББК 22.151.3 

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 

z 

ВВЕДЕНИЕ 

Две поверхности пересекаются по некоторой линии. Порядок 

линий пересечения поверхностей определяется порядком пересекающихся поверхностей. Так, поверхности второго порядка пересекаются по линии четвертого порядка. 
Если пересекающиеся поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения на плоскость, 
параллельную плоскости симметрии, проецируется в виде кривой 
второго порядка. Для поверхностей второго порядка возможны случаи проецирования линии пересечения на общую плоскость симметрии (или параллельную ей) в виде гиперболы, параболы, эллипса, т. е. кривых второго порядка.  
В гиперболу проецируются линии пересечения всевозможных комбинаций поверхностей цилиндров, параболоидов, конусов, гиперболоидов однополостных и двуполостных. В гиперболу равностороннюю проецируются линии пересечения двух 
цилиндров, двух параболоидов, параболоида и цилиндра, двух 
подобных конусов, двух гиперболоидов с подобными асимптотическими конусами, конуса и гиперболоида, если конус и 
асимптотический конус гиперболоида подобны, двух подобных 
эллипсоидов (рис. 1); в параболу – линия пересечения поверхностей второго порядка со сферой (рис. 2); в эллипс – линия пересечения поверхностей второго порядка со сжатым эллипсоидом (рис. 3). 

Методические указания позволяют быстрее сориентиро
ваться в определении вида кривой – проекции линии пересечения и выявить ошибку в работах по построению линии пересечения поверхностей, не прибегая к графической проверке 
построений. 

Рис. 1 

Рис. 2 

Рис. 3 

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ 

1. Построение средней линии 

Проекции линии пересечения поверхностей второго порядка на 

общую плоскость симметрии можно построить, не имея второй 
проекции пересекающихся поверхностей, зная лишь некоторые 
особые точки кривой и параметры, характеризующие ее. К таким 
точкам относят точки пересечения очерков проекций пересекающихся поверхностей. Эллипс и гипербола – кривые центральные, 
парабола имеет лишь действительную (фокальную) ось. 

Для простоты и точности построения центров и осей кривых 

(проекций линии пересечения) воспользуемся понятием средней 
линии. 

1.1. Конус вращения 

Возьмем на оси конyca (рис. 1.1) произвольную точку N и из нее, 

как из центра, проведем окружность радиуса ρ – проекцию cферы s. 

Рис. 1.1 

Эта сфера пересечет коническую поверхность по двум окружностям, проецирующимся соответственно в прямые f1 и f2 . Для всякой 
пары прямых f1 и f2 (проекций окружностей) существует средняя 
линия m (тоже проекция окружности), по которой происходит касание вписанной в конус (или в любую другую поверхность вращения) сферы из того же центра N радиуса R = Nh. Нетрудно убедиться, что средняя линия m делит расстояние С1С2 (расстояние между 
линиями f1 и f2) пополам. Прямая LN, перпендикулярная образующей конуса, есть не что иное, как нормаль к поверхности конуса в 
точке L; прямая t – касательная к поверхности конуса в точке L. 

1.2. Гиперболоид вращения 

Однополостный. Гипербола l – очерковая образующая, или 

очерк проекции поверхности гиперболоида (рис. 1.2). На произвольном расстоянии е от центра гиперболы О зададимся точкой N  

 

Рис. 1.2 

(как в предыдущем случае). Можно окружность s радиуса ρ не 
строить, а сразу из точки N провести прямую ND, перпендикулярную образующей асимптотического конуса, через точку D провести прямую m, перпендикулярную оси вращения гиперболоида. 
Прямая m – проекция окружности, по которой сфера радиуса ρ =  
= NL касается поверхности гиперболоида. Расстояние от центра 
гиперболы до средней линии ОМ не зависит от радиуса ρ окружности (проекции сферы s), а зависит от положения центра N этой 
сферы: 

[С1С2] : 2 = [C1M] = [C2M], 

ОМ = е sin2α = ОD sin ODM = OD sin α =  

= (ОN sin OND) sin α = е sin2α. 

Прямая NL является нормалью для гиперболы, пpямaя t – каса
тельной (с достаточной для данной задачи точностью построений). 

Двуполостный. Гипербола l – образующая (очерковая) проек
ции поверхности гиперболоида (рис. 1.3), m – средняя линия (проекция вписанной в гиперболоид сферы из центра N ). Тогда ОМ =  
= e sin2α. 

Рис. 1.3 

Прямая NL является нормалью к поверхности гиперболоида; 

прямая t – касательной. 

1.3. Параболоид вращения 

Парабола l – образующая (очерковая) проекции поверхности 

параболоида (рис. 1.4). На произвольном расстоянии e от вершины 

Рис. 1.4 

параболы А зададимся точкой N. Из точки N, как из центра, проведем окружность s радиуса ρ – проекцию сферы. Для построения 
средней линии для всякой пары окружностей f1 и f2 нужно от проекции центра сферы N отложить к вершине параболы отрезок p, 
равный параметру параболы. Через полученную точку M провести 
прямую m, перпендикулярную оси вращения параболоида. Окружность радиуса NL из центра N касается параболоида по окружности, проекция которой и есть средняя линия m; AM = AN – p,  
т. е. зависит только от параметра p параболы, образующей параболоид вращения. Прямая NL является нормалью к поверхности в 
точке L, t – касательной к поверхности в точке L. 

1.4. Эллипсоид вращения 

Растянутый. Эллипс l – образующая (очерковая) проекции 

растянутого эллипсоида вращения (рис. 1.5). На произвольном 

расстоянии e от центра эллипса О выберем точку N и из нее, как из 
центра, проведем окружность s радиуса ρ. 

Рис. 1.5 

Для построения средней линии для всякой пары окружностей f1 

и f2 воспользуемся гипотенузой прямоугольного треугольника 
OFE, в котором катет FE равен малой полуоси (половине малой 
оси) эллипса l. Через точку N проведем прямую, перпендикулярную оси ОХ эллипса до пересечения с гипотенузой ОЕ в точке D. 
Из полученной точки D проводим прямую, перпендикулярную гипотенузе ОЕ, до пересечения в точке М с большой осью эллипса 
ОХ. Через точку М проходит прямая m, перпендикулярная оси 
вращения ОХ растянутого эллипсоида. Прямая m – проекция 
окружности, по которой сфера радиуса R = NL касается поверхности растянутого эллипсоида (средняя линия). 

Тогда 

OM = OD : cos α = ON : cos2 α = e : cos2 α, 

т. е. расстояние ОМ не зависит от радиуса ρ окружности s с центром N, а зависит только от положения центра N. 

Прямая NL – нормаль к поверхности растянутого эллипсоида; 

прямая t – касательная к поверхности в точке L. 

Сжатый. Эллипс l – образующая (очерковая) проекции сжатого 

эллипсоида вращения (рис. 1.6). На произвольном расстоянии e от