Лекции по начертательной геометрии

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

Ю.Э. Шарикян, В.И. Гусев, Ю.И. Чекунов 
 
 
 
ЛЕКЦИИ  
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 

 
 
Методические указания для преподавателей 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

М о с к в а  

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 

2 0 0 7  

УДК 515 
ББК 22.151.3 
Ш259  
Рецензент О.Н. Косичкин 

 
  
  
 
Шарикян Ю.Э., Гусев В.И., Чекунов Ю.И. 
                    Лекции по начертательной геометрии: Метод. указания для 
преподавателей. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. — 
120 с.: ил. 
 
Представлен курс лекций по начертательной геометрии, читаемый 
авторами в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Приведен материал каждой лекции, 
даны методические указания по преподаванию отдельных разделов курса. 
Для преподавателей начертательной геометрии. 
 
УДК 515 
ББК 22.151.3 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

    © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007 

Ш259 

ВВЕДЕНИЕ  

При чтении курса начертательной геометрии в высших технических учебных заведениях преподавателями ставятся задачи научить студентов изображать на плоскости пространственные формы 
в виде проекций и, наоборот, по плоским изображениям — проекциям представлять пространственную форму, решать пространственные задачи графическим способом, а также развивать пространственное 
мышление. 
Этими 
задачами 
определяются 
содержание и характер преподавания курса начертательной геометрии в технических вузах.  
Прикладное значение изучаемой математической дисциплины 
огромно, так как очень большая сфера человеческой деятельности 
связана с изображениями. Начертательная геометрия также является основой всех графических способов и методов технического 
черчения, однако этим ее значение не ограничивается. Пространственное мышление, о развитии которого мы уже говорили, очень 
важно для инженера, особенно инженера-конструктора. Конструкторской деятельностью придется заниматься и инженерамисследователям, так как в их работе часто возникает необходимость в создании различных приборов для проведения экспериментов.  
Решение многих технических задач можно производить аналитически и графически, при этом всегда надо выбирать наиболее 
целесообразный метод решения. Многие задачи графически решаются быстрее, чем аналитически. Например, такие задачи в области самолетостроения, как определение положения оси вращения убирающегося шасси или построение необходимых зазоров 
между убирающимся колесом и крылом самолета, на практике 
можно решить только графически. Применению графических методов решения задач помогает начертательная геометрия. 

Курс начертательный геометрии студенты высших технических учебных заведений изучают в первом семестре первого курса. 
Пришедшие из средней школы первокурсники еще не привыкли к 
требованиям высшей школы, к большей самостоятельности при 
изучении учебных дисциплин, к меньшему, по сравнению со средней школой, контролю со стороны преподавателя. Ведь по Положению о высшей школе преподаватель не обучает студентов, а 
лишь помогает им в приобретении знаний.  
Для успешного освоения начертательной геометрии студенты 
должны иметь достаточные знания в области стереометрии. Еще в 
средней школе ими должны быть усвоены основные сведения, относящиеся к взаимному положению прямых в пространстве, относительному положению прямой и плоскости, двух плоскостей, 
свойствам углов между прямой и плоскостью и двумя плоскостями. К сожалению, все это приходится разъяснять на лекциях.  
Начертательная геометрия является для студентов новой дисциплиной по сравнению с изучаемыми в средней школе. Здесь вводится большое количество новых понятий, условностей, обозначений. 
Это обстоятельство осложняется еще и тем, что студенты слабо 
владеют техникой, необходимой для быстрой записи лекций.  
Лекции по начертательной геометрии по своему характеру отличаются от лекций по другим учебным дисциплинам. Здесь студенты не только слушают и записывают кратко основные мысли 
лектора, но и чертят. Необходимые формулировки для исключения 
в них ошибок лектору целесообразно диктовать. 
При выполнении чертежей в конспекте лекций студенты должны пользоваться чертежными принадлежностями (линейкой, 
угольником, циркулем и т. п.) и цветными карандашами. Темп лекции должен быть таким, чтобы у студентов была возможность 
конспектировать ее с выполнением четких чертежей. На первых 
лекциях решаются простые задачи, затем задачи усложняются — 
решение каждой может состоять из нескольких этапов. Вот для 
этих задач и требуются цветные карандаши — каждый этап задачи 
должен выполняться карандашом другого цвета. Лектор на доске 
выполняет решение каждого этапа мелом различного цвета.  
Особое внимание необходимо обратить на последовательность 
изложения материала, четкость формулировок. Должна обеспечиваться строгая согласованность лекций и практических занятий.  

Представленный курс лекций по начертательной геометрии 
довольно обширен. Мы специально его не сокращали. При необходимости это сможет сделать каждый преподаватель. Кроме того, 
иногда появляется возможность захватить для лекций и 10-ю неделю. Отметим, что одним из авторов пособия курс лекций по начертательной геометрии прочитан именно в представленном объеме в течение отведенных 18 часов.  
 

ЛЕКЦИЯ 1 

Постановка задачи 

Содержание этой лекции определяется необходимостью дать 
материал для проведения первого практического занятия на проецирование точки. На этом занятии студенты решают задачи на 
проецирование точки как на две, так и на три плоскости проекций, и этот материал должен быть представлен в первой лекции. 
В связи с этим меньше времени приходится уделять истории развития начертательной геометрии и ее значению для будущего 
инженера.  
Среди предметов, изучаемых в техническом вузе, особое значение имеет прикладное техническое черчение. Оно является одним из способов выражения инженерной мысли в графической 
форме. Чтобы овладеть языком технического черчения, необходимо в первую очередь изучить правила («азбуку» и «грамматику») 
составления и чтения изображений. 
«Азбука» чертежа — все те типы линий, которые применяются при его выполнении (сплошная, штриховая, штрихпунктирная 
и т. д.) и которые студенты изучают в курсе машиностроительного черчения. «Грамматикой» черчения является начертательная 
геометрия, которая изучает способы изображения объемных тел, 
имеющих три измерения (длину, ширину и высоту), на плоскости, у которой всего лишь два измерения (длина и ширина).  
Таким образом, предмет начертательной геометрии — это 
изложение и обоснование способов изображения пространственных форм (линий, поверхностей, тел) на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм.  
Это определение надо продиктовать. 

Из определения становится ясным 
значение начертательной геометрии — 
она разрабатывает теоретические основы черчения. Изображения, построенные по правилам, изучаемым в курсе 
начертательной геометрии, позволяют 
мысленно представить формы предметов, их взаимное расположение в пространстве, определить размеры, исследовать геометрические свойства.  
Геометрия, исторически зародившись 
из 
потребностей 
земледелия, 
вскоре переросла узкие рамки хозяйственных измерений земельных участков и стала наукой, изучающей 
геометрические фигуры — их свойства и взаимные отношения и 
позволяющей просто решать самые разнообразные задачи. Например, все помнят, сколько различных неприятностей было связано с 
доказательством равенства  

 
(а + b)2 = а2 + b2 + 2аb.  

На рис. 1.1 все видно без доказательства. Просто, ясно, наглядно, а 
главное, не надо ничего зазубривать.  
Чтобы подчеркнуть глубину проникновения геометрии в другие области математики, следует заметить, что мы редко читаем 
выражение а2 как «а во второй степени». Обычно говорим: «а 
квадрат», подчеркивая этим геометрическую интерпретацию записи а2, соответствующей площади квадрата со стороной а.  
Изучая начертательную геометрию, студенты знакомятся с методами графического решения задач. Эти методы, хотя и обладают 
меньшей точностью по сравнению с аналитическими, могут с успехом применяться, в частности, при решении задач с использованием ЭВМ. Это еще более повышает роль начертательной геометрии в инженерном образовании. 
Однако значение начертательной геометрии не ограничивается 
перечисленными факторами. Для будущего инженера, особенно инженера-конструктора, чрезвычайно важно пространственное мышление, пространственное воображение. Начертательная геометрия, вызывая усиленную работу пространственного воображения, развивает 

Рис. 1.1 

его. Студентов надо ориентировать на то, что большинство задач, 
решаемых в курсе начертательной геометрии, не встретятся им в будущей инженерной деятельности, но помогут столь необходимому 
инженеру развитию пространственного мышления и воображения. 
Начертательная геометрия необходима широкому кругу специалистов: инженерам-конструкторам машин и аппаратов, строителям различных сооружений, архитекторам, топографам и т. д.  
Таким образом, перед преподавателями начертательной геометрии ставятся следующие задачи:  
1) научить достаточно точно строить изображения предметов;  
2) научить читать изображения, т. е. по изображению предметов представлять их в пространстве;  
3) научить с помощью изображений решать задачи геометрического характера на определение формы, положения и размеров 
предмета; 
4) развить у студентов пространственное мышление, т. е. научить их быстро и отчетливо представлять в уме пространственные 
формы (без чего невозможно проектирование и конструирование). 

История развития начертательной геометрии 

Первые попытки построения изображений уходят своими истоками в отдаленное прошлое. Сначала схематично изображали 
различные здания и другие постройки, затем стали выполнять чертежи различных изделий. 
В 1525 г. немецкий художник Альбрехт Дюрер написал обширный трактат, по содержанию близкий к изложению основ начертательной геометрии. Затем им был написан еще ряд статей. В 
те времена, несмотря на развитие методов графического изображения и широкое применение их в технике, они излагались в технической литературе лишь в виде правил построения.  
В конце XVIII в. знаменитый французский инженер и геометр 
Гаспар Монж систематизировал и обобщил накопленные знания 
по теории и практике изображения пространственных предметов 
на плоскости. Решение задач проводилось в ортогональных проекциях на две взаимно перпендикулярные плоскости с совмещением 
этих плоскостей. В 1798 г. Монжем была издана работа под названием «Начертательная геометрия». 

В России курс начертательной геометрии впервые стал читаться в 1810 г. в Петербургском институте Корпуса инженеров путей 
сообщения французским инженером Потье, а с 1818 г. — его помощником Яковом Александровичем Севастьяновым, которому в 
1824 г. было присвоено звание первого русского профессора начертательной геометрии.  
После Я.А. Севастьянова в этом же институте курс начертательной геометрии читал профессор Александр Христофорович 
Редер, который впервые ввел аксонометрические проекции. Затем 
этот курс преподавали профессора Николай Павлович Дуров, Николай Иванович Макаров, Валерий Иванович Курдюмов.  
«Основания начертательной геометрии» В.А. Севастьянова являются первым печатным трудом в России в этой области. Этот 
учебник был гораздо глубже, значительно полнее всех изданных 
прежде работ по начертательной геометрии. А.Х. Редер опубликовал работу по теории проекций с указанием числовых отметок. Он 
связал теорию графических дисциплин с практикой инженерного 
дела. Классический труд по начертательной геометрии написал 
B.И. Курдюмов.  
После Октябрьской революции 1917 г. ученик В.И. Курдюмова 
профессор Н.А. Рынин опубликовал свыше 140 работ по начертательной геометрии. Большой вклад в развитие начертательной геометрии внесли российские профессора А.И. Добряков, Н.Ф. Чет- 
верухин, В.О. Гордон, И.И. Котов и другие.  
В МГТУ им. Н.Э. Баумана учебным планом по начертательной 
геометрии предусмотрено чтение лекций (одна лекция еженедельно в первые девять недель семестра), проведение практических 
занятий (еженедельно), выполнение студентами трех домашних 
заданий (по две задачи в каждом задании). Задачи домашнего задания студенты защищают перед преподавателем группы: объясняют решение, показывая понимание проделанной работы. После 
защиты преподаватель подписывает каждую задачу.  
Для консультаций студентов и приема домашних заданий преподаватели групп выделяют специальное время, о котором сообщают студентам.  
В конце семестра студенты сдают экзамен. К экзамену допускаются те студенты, у которых подписаны преподавателем группы все задачи и на последней стоит надпись: «Допускается к эк

замену». Все задачи домашнего задания студент представляет на 
экзамен.  
Для более глубокого изучения начертательной геометрии студенты пользуются учебником и задачником С.А. Фролова.  

Метод проекций 

Не всякое изображение предмета на листе бумаги позволяет 
точно определить его геометрическую форму. Поэтому необходимо, чтобы изображение предмета было построено по определенным геометрическим правилам, позволяющим от плоских форм 
переходить к пространственным формам изображаемого предмета.  
Такое геометрически закономерное изображение пространственного предмета на плоскости достигается с помощью метода 
проецирования, который является главным методом в начертательной геометрии.  
Различают два основных метода проецирования:  
1) центральное (полярное, коническое) проецирование; 
2) параллельное (цилиндрическое) проецирование.  
Рассмотрим метод центрального проецирования (рис. 1.2).  
Выберем в пространстве плоскость π, которая будет являться 
плоскостью проекций. Точка S — центр проецирования.  
Проекцией точки называют точку пересечения ее проецирующей прямой с плоскостью проекций. Для проецирующей прямой 
должно быть задано направление проецирования. При центральном проецировании все проецирующие прямые проходят через 
центр проецирования (точку S).  

 
Рис. 1.2