Выполнение домашнего задания по начертательной геометрии

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

Ю.Э. Шарикян, А.Е. Одинцова,  
А.А. Кашу 
 
Выполнение  
домашнего задания  
по начертательной  
геометрии 
 
Методические указания 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

М о с к в а  

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 

2 0 1 2  

УДК 515.91 
ББК 22.151.3 
 Ш25 
Рецензент Б.Г. Жирных 

 
Шарикян Ю.Э. 
  
 
        Выполнение домашнего задания по начертательной геометрии: метод. указания. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. — 61, [3] с. : ил.  
 
Методические указания написаны в помощь студентам, выполняющим домашнее задание по начертательной геометрии. Рассмотрены общие схемы и принципы решения задач, требования к оформлению домашнего задания. Приведены вопросы для проработки 
учебного материала перед защитой домашнего задания. 
Для студентов первого курса, изучающих начертательную геометрию. 
УДК 515.91 
ББК 22.151.3 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
  МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012 

 Ш25

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 

1.1. Некоторые методические рекомендации  
к изучению начертательной геометрии 

Целью изучения начертательной геометрии является овладение 
методами построения графически точных и метрически определенных изображений пространственных форм на плоскости и 
применение графических способов решения задач, относящихся к 
этим формам. Владение методами построения и преобразования 
пространственных образов составляет основу профессионального 
инженерного мышления, формирование которого является главной 
задачей обучения в техническом вузе. Важно отметить, что студенты, которые не усвоили твердо основные принципы построения 
чертежей, не смогут впоследствии использовать компьютер как 
средство конструирования. 
Начертательная геометрия относится к числу наиболее трудных предметов, как в силу своей специфики, так и вследствие того, 
что этот предмет не имеет прямых аналогов среди школьных дисциплин. В этом курсе вводится большое число новых понятий, 
условностей, обозначений. Затрудняет обучение также отсутствие 
у большинства студентов навыков точных геометрических построений. Сложность восприятия материала обусловлена и тем, что 
непосредственные построения на чертеже, выполняемые по законам планиметрии и адекватно отражающие определенные действия в пространстве, не тождественны друг другу. 
Из всего сказанного следует, что изучение начертательной 
геометрии требует от студента постоянной и систематической 
проработки материала с самого начала обучения и наличия соответствующих базовых знаний по элементарной геометрии. Отсутствие такой базы следует восполнить самостоятельно. Особенно 

важно на самых первых этапах изучения начертательной геометрии понять и выучить основные определения и положения (в частности, как определить координаты точки в пространстве по чертежу; как выяснить, в какой четверти пространства расположена 
точка; какое положение относительно плоскости проекций занимает прямая и т. д.), правильно применять специальные термины 
(плоскости и оси проекции, четверти пространства, проекции точки). Без свободного владения этой «азбукой» предмета дальнейшее 
его изучение будет чрезвычайно затруднено. 

1.2. Общий подход к решению задач  
начертательной геометрии 

Специфика начертательной геометрии заключается в том, что 
изучение теоретического материала происходит при его использовании для решения конкретных задач. Основное содержание курса 
состоит в решении задач. 
Все задачи начертательной геометрии можно условно подразделить на две группы; 
1) элементарные задачи — операции, являющиеся реализацией 
на чертеже правил, теорем, приемов и выполняемые по образцу 
или точному предписанию; 
2) комплексные задачи, представляющие собой некоторый 
набор элементарных задач, которые надо выполнить в определенной, логически оправданной последовательности. Выявление такой последовательности и составление плана решения задачи, как 
правило, вызывают наибольшие затруднения у студентов. 
Основной класс задач в начертательной геометрии — задачи на 
построение. Чаще всего в задаче требуется построить проекции 
какой-либо фигуры по заданным условиям или (и) определить  
некоторые метрические характеристики фигуры по чертежу. Несмотря на то что содержание каждой конкретной задачи уникально, можно выявить общую методологию их решения, которой следует придерживаться. Опыт показывает, что когда студент 
применяет правильный подход к проблеме, многие трудности, связанные с решением задачи, отступают. Организованный подход к 
решению задачи ценен тем, что указывает не только последовательность действий в случаях, когда ход решения для студентов 

очевиден, но и направление поиска решения в затруднительных 
случаях. 
Общая схема решения задач на построение известна из элементарной геометрии. Она состоит из пяти этапов. 
1. Анализ условия задачи. 
2. Определение последовательности действий, т. е. составление 
плана решения задачи в пространстве. 
3. Выполнение построений — реализация плана решения на 
чертеже конкретными способами. 
4. Исследование — выявление условий существования решения и числа возможных решений (ответов). 
5. Доказательство правильности решения. 
Анализ условия задачи — очень важный этап ее решения, который, как правило, недооценивается студентами, проводится наспех 
или не проводится совсем, что ведет к неправильному определению последовательности действий, ошибкам в решении либо  
вообще к невозможности для студента решить задачу. Цель анализа — установить связи между заданными и искомыми геометрическими фигурами, определить, какие построения и в какой последовательности 
надо 
выполнить, 
чтобы 
получить 
искомую 
геометрическую фигуру. Анализ заключается в разбиении условий 
задачи на части, т. е. на ряд отдельных относительно независимых 
условий, наложенных на искомую фигуру. Каждому из выделенных условий надо поставить в соответствие некоторую геометрическую фигуру, все точки которой обладают определенным свойством. Пересечение выявленных геометрических фигур дает 
множество точек (фигуру), которые будут обладать всеми свойствами одновременно и удовлетворять условию задачи. 
Анализ можно проводить устно или письменно, сопровождать 
наглядным изображением, построенным лишь приблизительно и 
отражающим требования к искомой фигуре. Результатом анализа 
является определение последовательности действий, промежуточных построений и составление плана решения задачи в пространстве. План должен содержать основные этапы решения задачи и 
быть инвариантным (не зависимым от конкретного способа его 
реализации). Отдельные пункты этого плана могут быть выполнены различными способами, арсенал которых к концу изучения 
курса будет достаточно богат. 

Выполнение построений на чертеже сводится к решению ряда 
элементарных задач и выполнению операций конкретными способами в установленной планом последовательности на основании правил 
и теорем начертательной геометрии, знание которых, а также точность построений обеспечат правильность решения задачи. 
Исследование имеет целью выявление возможного числа решений (ответов) задачи и условий их существования. Исследование можно проводить и сразу после анализа условий задачи с тем, 
чтобы при решении задачи не «потерять» другие возможные положения искомой геометрической фигуры, также удовлетворяющие условию задачи. 
Доказательство устанавливает правильность решения, подтверждая соблюдение всех свойств искомых геометрических фигур. 
Рассмотрим действие приведенной схемы на конкретном примере (рис. 1). Даны прямая l и точка Α. Построить квадрат ABCD 
со стороной ВС, принадлежащей прямой l. 
Проведем анализ. Рассмотрим геометрические свойства квадрата. 
Все стороны квадрата равны по величине, противоположные 
стороны параллельны, углы при вершинах составляют 90. 
Теперь можем составить план решения в пространстве:  
а) так как стороны квадрата AB и ВС перпендикулярны, а сторона ВС принадлежит прямой l, надо из точки A опустить перпендикуляр на прямую l для нахождения точки В;  
б) сторона квадрата ВС принадлежит прямой l, следовательно, 
на прямой l от точки В надо отложить отрезок прямой, равный 
стороне квадрата (АВ) (находим точку С);  
в) противоположные стороны квадрата параллельны, следовательно, из точки А проводим прямую, параллельную l (стороне 
ВС), а через точку С — прямую, параллельную стороне АВ, и на пересечении проведенных прямых получаем точку D. Точку D можно было 
найти, проведя одну из указанных 
прямых и отложив на ней величину 
стороны квадрата. Перед выполнением построений на чертеже проведем исследование. После нахождения точки B мы должны на прямой l 
Ðèñ.1Рис. 1 

отложить от этой точки отрезок, равный стороне квадрата. Его 
можно отложить в разные стороны от точки В. Следовательно, 
задача имеет два решения. В дальнейшем мы выберем одно из 
решений.  
Теперь реализуем план решения на чертеже, где геометрические фигуры заданы своими проекциями (рис. 2). Согласно составленному алгоритму решения задачи, мы должны из точки А опустить перпендикуляр на прямую l. Так как прямая l не параллельна 
какой-либо плоскости проекций, нет частного случая проецирования прямого угла. Множеством прямых, проходящих через точку 
А и составляющих с прямой l угол, равный 90°, является плоскость, проходящая через точку A и перпендикулярная прямой l. 
Через точку А проведем такую плоскость и зададим ее горизон- 
талью h (h', h) и фронталью f (f ', f ). Этой плоскости принадлежит искомый перпендикуляр. Теперь найдем точку пересечения 
прямой l с проведенной плоскостью, для чего заключим прямую l 
в плоскость  (горизонтально проецирующую, заданную горизонтальным следом h0). Найдем пересечение плоскости  с плоскостью, проведенной через точку A (прямая 1, 2). На пересечении 
прямой (1, 2) с l получим точку В. Теперь определим длину отрезка АВ известным построением прямоугольного треугольника.  
Далее на прямой l от точки В отложим (в выбранную нами сторону) отрезок, равный стороне квадрата. И, наконец, определим 
точку D, проведя из точек A и С прямые параллельно соответствующим сторонам квадрата и найдя их пересечение. Более подробное объяснение всех построений на чертеже будет дано при рассмотрении соответствующих примеров. 
Правильность построений при решении задачи можно определить подтверждением соблюдения всех свойств искомой фигуры 
(квадрата). Точки А, В, С и D являются вершинами квадрата. Их 
одноименные проекции расположены на одной вертикальной линии связи и на пересечении одноименных проекций сторон квадрата. Стороны квадрата равны по величине, и углы при их вершинах составляют 90°. Это было обеспечено соответствующими 
построениями. Противоположные стороны квадрата параллельны, 
так как на чертеже параллельны их одноименные проекции. Сторона квадрата ВС принадлежит прямой l, так как ее проекции принадлежит одноименным проекциям прямой l.