Винтовая линия и поверхность. Формы и устройства с участием винтовой поверхности

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

 

ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ И ПОВЕРХНОСТЬ.  
ФОРМЫ И УСТРОЙСТВА С УЧАСТИЕМ  
ВИНТОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 

 

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2010 

УДК 515.2(075.8) 
ББК 22.151.3+30.11 
В50 

Рецензенты: С.Г. Демидов, В.В. Юрашев 

Винтовая линия и поверхность. Формы и устройства 
В50 с участием винтовой поверхности : учеб. пособие / В.В. Бур- 
лай, Л.А. Седов, Р.А. Максутова, Л.Р. Юренкова. – М. : Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. – 44 с. : ил.  

 

В пособии содержатся сведения об основных характеристиках 
винтовой линии и поверхности, их изображении на чертеже, о применении винтовой поверхности в различных механизмах. 
Для студентов 1-го и 2-го курсов всех специальностей МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, изучающих дисциплину «Инженерная графика». 

УДК 515.2(075.8) 
ББК 22.151.3+30.11 

Учебное издание 

Бурлай Виктор Владимирович  
Седов Лев Алексеевич  
Максутова Раися Абдрахмановна  
Юренкова Любовь Романовна  

ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ И ПОВЕРХНОСТЬ. ФОРМЫ  
И УСТРОЙСТВА С УЧАСТИЕМ ВИНТОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 

Редактор О.М. Королева 
Корректор Р.В. Царева 
Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой 

Подписано в печать 04.05.2010. Формат 60×84/16. 
Усл. печ. л. 2,56. Тираж 200 экз. Изд. № 139. Заказ 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. 

 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Свойства плоских линий как инструмента построения изображений в курсах начертательной геометрии и машиностроительного черчения изучаются достаточно полно. В меньшей 
степени студенты знакомятся с пространственными линиями, которые составляют образы многих процессов, изделий и устройств 
в машиностроении. В прикладном отношении наиболее значимыми являются винтовые линии, в частности, винтовые линии 
постоянного шага. 
Пособие ставит своей целью ознакомить студентов со способом образования винтовой линии и винтовой поверхности, показать способы построения изображений этих фигур, в том числе и в 
системе AutoCAD, дать основные сведения по реальным техническим формам, в которых применяются винтовая линия и поверхность. 

1. ВИНТОВЫЕ ЛИНИЯ И ПОВЕРХНОСТЬ 

1.1. Кривые линии  

Кривую линию можно представить как траекторию движущейся 
точки или как множество точек, обладающих каким-либо общим 
свойством, или как результат пересечения двух поверхностей. 
Линия считается закономерной, если в своем образовании она подчинена какому-либо геометрическому закону. Закономерные кривые, 
например, образуются перемещением точки на окружности при качении окружности по прямой, перемещением точки на прямой при обкатывании прямой по окружности либо перемещением точки на окружности в случае качения этой окружности по другой окружности.  
Кривая может быть плоской или пространственной. Все точки 
плоской кривой принадлежат некоторой плоскости. Кривую, все 
точки которой не лежат в одной плоскости, называют пространственной. Примерами закономерных плоских кривых линий являются 
окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда, графики функций 
одной переменной, графики уравнений с двумя переменными. Пространственных закономерных линий науке известно немного. Это 
винтовая линия, линии пересечения кривых поверхностей. 
Искривленность кривой линии, плоской или пространственной, 
может быть неизменной (на всем протяжении кривой, на отдельных ее участках) или изменяться в разных точках кривой. Например, искривленность окружности или цилиндрической винтовой 
линии неизменна на всем их протяжении, а искривленность эллипса повторяется в его квадрантах, но в пределах одного квадранта 
непрерывно изменяется. 
Касательная прямая t к пространственной кривой линии k получается так же, как к плоской (рис. 1.1), из секущей s1 при слия- 

Рис. 1.1. Касательная и нормаль к кривой 

нии точек K и K1. Но если для плоской кривой можно было провести в точке K к касательной только один перпендикуляр KN, 
расположенный в плоскости кривой (см. рис. 1.1), то для пространственной кривой таких перпендикуляров к касательной бесчисленное множество, каждый из них принадлежит плоскости, которая перпендикулярна касательной.  

1.2. Пространственные кривые  

Рассмотрим пространственную кривую, полученную в результате перемещения точки M по кривой k (рис. 1.2) от L до N. Плоскость υ, проходящая через точку M перпендикулярно касательной t 
в этой точке, называется нормальной плоскостью. Все прямые, 
проходящие через точку M в плоскости υ, т. е. перпендикулярные 
касательной t, называются нормалями.  

Рис. 1.2. Макет кривой в системе трех взаимно  
перпендикулярных плоскостей 

Все плоскости, проходящие через касательную t в точке Mk, 
называются касательными плоскостями кривой k в точке M. В 
пучке касательных плоскостей выделяются две особые плоскости: 
соприкасающаяся и спрямляющая. 
Соприкасающейся плоскостью  к кривой k в точке M называют предельное положение плоскости, проходящей через точку M 

и две другие ее точки L и N, неограниченно приближающиеся по 
кривой к точке M. Поскольку прямая MN в пределе становится 
касательной t, то соприкасающаяся плоскость  содержит касательную t. 
Спрямляющей плоскостью  кривой k в точке M называется 
плоскость, проходящая через касательную t перпендикулярно соприкасающейся плоскости . 
Нормали кривой в точке M, лежащие в соприкасающейся и 
спрямляющей плоскостях, называют соответственно главной нормалью n и бинормалью b. 
Таким образом, υ(nb), (tn), (tb) – три попарно перпендикулярные плоскости, а t = ∩, n = υ∩, b = υ∩ – три попарно перпендикулярные прямые. Они образуют так называемый сопровождающий трехгранник кривой в ее точке M. 
Соприкасающаяся плоскость имеет с пространственной кривой 
три совпавшие общие точки в отличие от любой другой касательной плоскости, у которой таких точек только две. Поэтому малый 
отрезок кривой в окрестности точки касания можно приближенно 
считать плоским и лежащим именно в соприкасающейся плоскости. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с 
плоскостью этой кривой просто по определению. 
На рис. 1.3 построены три проекции кривой k = LMN в окрестности точки M. Плоскости проекций выбраны параллельно граням 
соприкасающегося трехгранника: 1||, 2||, 3|| υ. Кривая расположена по одну сторону от спрямляющей плоскости (это видно на 
2 и 3) и по разные стороны от соприкасающейся плоскости (это 
видно на 1 и 3). Проекция кривой на 1 (или на спрямляющую 
плоскость ) имеет в точке М  точку перегиба, проекция на 3 
(или на нормальную плоскость υ) имеет в точке М  точку возврата первого рода. 
Для пространственных кривых так же, как для плоских кривых, 
определяются соприкасающаяся окружность и кривизна. Соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости, а ее 
центр – на главной нормали. Можно определить кривизну в точке 
M и как предел отношения угла между касательными в точках M и 
N к длине дуги MN при неограниченном приближении точки N к 
точке M. 
В дополнение к кривизне у пространственных кривых есть еще 
одна числовая характеристика – кручение. Кручением в точке M 

называют предел отношения угла между соприкасающимися плоскостями в точках M и N к длине дуги MN при стремлении точки N 
к точке M. Кривизна – это мера отклонения кривой от касательной, 
а кручение – мера отклонения кривой от соприкасающейся плоскости. Для плоских кривых кручение равно нулю. Чем меньше 
кручение, тем меньше кривая отличается от плоской кривой, и чем 
больше кручение, тем кривая «пространственнее». 

Рис. 1.3. Ортогональные проекции кривой 

Как кривизна, так и кручение в разных точках кривой различны. Существуют, однако, три линии с постоянной кривизной и с 
постоянным кручением – это прямая, окружность и цилиндрическая винтовая линия. При этом для окружности кручение равно 
нулю, а для прямой равны нулю и кривизна, и кручение.  
Две ортогональные проекции пространственной кривой определяют ее форму, если на чертеже заданы проекции хотя бы одной 
точки, принадлежащей этой кривой. 

1.3. Винтовые линии 

Винтовые линии относятся к пространственным кривым. Винтовая линия – линия, образованная на боковой поверхности реаль

ного или воображаемого тела вращения точкой, совершающей движение 
таким 
образом, 
что  
перемещение ее в осевом направлении пропорционально углу поворота точки вокруг оси тела 
вращения. Различают цилиндрические, конические, сферические, 
гиперболические и другие винтовые линии (рис. 1.4). 
Винтовые линии разделяют 
на правые и левые. Если точка, 
удаляясь от наблюдателя по 
винтовой линии в направлении 
ее оси, поворачивается по ходу 
часовой стрелки, то линия – 
правая, а если против хода часовой стрелки, то линия – левая (рис. 1.5). 
На боковой поверхности реального или воображаемого тела вращения могут двигаться одновременно две (или более) точки, делящие окружность поперечного сечения на равные части. Такие линии условно называют 
многоходовыми (рис. 1.6), а 
винтовые линии от движения 
одной движущейся точки – 
одноходовыми линиями.  
Одной из наиболее часто 
встречающихся на практике 
пространственных кривых является цилиндрическая винтовая линия – гелиса.  
Образование винтовой цилиндрической линии можно 
представить так: подведем конец резца к боковой поверхности цилиндра до соприкосновения. 
При 
одновременном 
вращении цилиндра и прямолинейном движении резца вдоль оси цилиндра резец на поверхности цилиндра прочертит пространственную 
кривую линию, которую и называют цилиндрической винтовой линией. Поскольку и поступательное, и вращательное движения равно
Рис. 1.4. Винтовые линии 

                 а                               б 

Рис. 1.5. Левая (а) и правая (б) винтовые линии 

мерны, то путь, пройденный точкой по 
поверхности цилиндра, пропорционален 
углу поворота вокруг оси цилиндра. 
Смещение точки вдоль оси при одном 
полном обороте называется шагом Н 
винтовой линии. Коэффициент пропорциональности p = Н/2 называется параметром винтовой линии. «Отрезок 
винтовой линии», описанный точкой за 
один оборот, называется витком винтовой линии. Ось цилиндра z и его радиус 
R называются осью и радиусом винтовой 
линии. Если ось цилиндра z является 
координатной осью, то цилиндр определяется уравнением x2 + y2 = R или параметрическими уравнениями 

x = R cos; y = R sin; z =  H/2, 

а винтовая линия – уравнениями 

x = R cos; y = R sin; z = p, 

где  – угол поворота вокруг оси z. Поэтому фронтальная проекция винтовой линии определяется уравнением R = cosz/p, т. е. представляет собой косинусоиду и строится 
так же, как строится график косинуса. На рис. 1.7 построены 12 ее 
точек. Повернувшись на угол 2/12 = 30о, точка К0 (R, 0, 0) поднимается на расстояние H/12 в положение К1 (R cos /6, R sin /6, p 
/6) и т. д. Описав один виток, точка поднимется на высоту, равную 
Н. При дальнейшем перемещении она начнет описывать второй виток и т. д. 
Если цилиндрическую поверхность рассечь по ее прямолинейной образующей и, разгибая совместить с плоскостью, то получится развертка цилиндрической поверхности – прямоугольник с высотой Н и основанием 2R, в которое развернется окружность основания цилиндра. Винтовая линия в результате развертывания 
превратится в прямую – диагональ прямоугольника. Это означает, 
что винтовая линия пересекает все образующие цилиндра под одним и тем же углом. Иначе говоря, касательные к винтовой линии 
образуют с плоскостью основания цилиндра постоянный угол , 

Рис. 1.6. Двухзаходная 
правая винтовая линия 

который называется углом подъема винтовой цилиндрической линии и определяется по уравнению tq = Н/2R. 

Рис. 1.7. Правая винтовая линия. Развертка винтовой линии 

То, что развертка винтовой линии есть прямая, означает также, 
что винтовая линия является геодезической линией на цилиндрической поверхности. Так называют кратчайшую из всех линий, которые можно провести по поверхности через две ее точки. 
Цилиндрическая винтовая линия обладает свойством сдвигаемости, т. е. может передвигаться сама по себе. Две «дуги» одинаковой 
длины одной и той же винтовой линии совпадают при наложении 
друг на друга. Свойство сдвигаемости цилиндрической винтовой линии является черезвычайно важным с практической точки зрения и в 
определенном смысле уникальным (так как свойством сдвигаемости 
среди известных плоских линий обладают лишь прямая и окруж